Instrument

Calculator con

Introdu raza bazei, înălțimea și generatoarea unui con circular drept și calculează aria bazei, aria laterală, aria totală și volumul. Calculatorul verifică mai întâi dacă valorile respectă relația g² = r² + h², apoi afișează rezultatele în forma exactă cu π, împreună cu aproximarea și pașii de calcul.

Unitatea de măsură

Raza bazei r (cm)Raza bazei circulare.Înălțimea conului h (cm)Înălțimea este segmentul perpendicular de la vârf la centrul bazei.Generatoarea g (cm)Generatoarea este segmentul de pe suprafața laterală, de la vârf la cercul bazei.

Poți scrie zecimale cu virgulă sau cu punct, cu cel mult trei zecimale. Cele trei valori trebuie să respecte relația g² = r² + h². Unitatea aleasă se aplică tuturor, fără conversii.

Înălțimea h (punctată) merge de la vârf la centrul bazei, raza r pornește din centrul bazei, iar generatoarea g (îngroșată) unește vârful cu marginea bazei. Schema nu este desenată la scară.

Rezultatul

Introdu raza bazei, înălțimea conului și generatoarea pentru a vedea ariile, volumul și pașii de calcul.

Ce este conul circular drept

Conul circular drept este un corp geometric cu o bază circulară și un vârf situat deasupra centrului bazei, pe perpendiculara ridicată în acest centru. Suprafața laterală este curbă și este formată din toate segmentele care unesc vârful cu punctele cercului bazei. Spre deosebire de cilindru, conul are o singură bază.

Raza bazei

Raza $r$ este raza cercului de la bază, adică distanța de la centrul bazei la un punct al cercului. Ea apare în aria bazei, în aria laterală și în volum.

Înălțimea conului

Înălțimea $h$ este segmentul perpendicular dus din vârf pe planul bazei. Într-un con circular drept ea cade chiar în centrul bazei. Se folosește în formula volumului.

Generatoarea

Generatoarea $g$ este segmentul de pe suprafața laterală, de la vârf la un punct al cercului bazei. Toate generatoarele au aceeași lungime. Nu o confunda cu înălțimea: generatoarea este înclinată, deci este mai lungă decât $h$ și decât $r$ . Se folosește în formula ariei laterale.

Aria bazei

Baza este un cerc de rază $r$ , deci $A_b = \pi r^2$ . Pentru $r = 3$ cm avem $A_b = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\ \text{cm}^2$ , adică aproximativ 28,27 cm².

Aria laterală

Aria laterală se calculează cu $A_l = \pi r g$ . Pentru $r = 3$ cm și $g = 5$ cm avem $A_l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi\ \text{cm}^2$ , adică aproximativ 47,12 cm².

Aria totală

Aria totală adună aria bazei și aria laterală, deci $A_t = A_b + A_l$ , adică $A_t = \pi r^2 + \pi r g = \pi r (r + g)$ . Pentru $r = 3$ cm și $g = 5$ cm avem $A_t = 9\pi + 15\pi = 24\pi\ \text{cm}^2$ .

Volumul conului

Volumul conului este o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime, deci $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ . Pentru $r = 3$ cm și $h = 4$ cm avem $V = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 4}{3} = 12\pi\ \text{cm}^3$ . Volumul se măsoară în unități cubice.

Relația dintre r, h și g

În secțiunea axială a conului, $r$ , $h$ și $g$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic, cu ipotenuza $g$ . Din teorema lui Pitagora rezultă $g^2 = r^2 + h^2$ . De aceea cele trei valori nu se pot alege independent: pentru $r = 3$ și $h = 4$ avem $g^2 = 9 + 16 = 25$ , deci $g = 5$ . Dacă valorile introduse nu respectă relația, calculatorul nu continuă, pentru că ele nu descriu același con.

Dacă ai doar două dintre cele trei lungimi, găsește-o pe a treia cu Calculatorul Teorema lui Pitagora; regula este explicată în lecția Teorema lui Pitagora. Pentru corpul cu două baze circulare, folosește Calculatorul cilindru, iar pentru aria și lungimea cercului bazei, Calculatorul perimetru și arie.

Întrebări frecvente

Cum se calculează volumul unui con?

Volumul este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime, deci V = πr²h / 3. Pentru r = 3 cm și h = 4 cm obținem V = π · 9 · 4 / 3 = 12π cm³, adică aproximativ 37,70 cm³.

Cum se calculează aria laterală?

Aria laterală a conului circular drept este Al = πrg, unde r este raza bazei și g este generatoarea. Pentru r = 3 cm și g = 5 cm obținem Al = π · 3 · 5 = 15π cm², adică aproximativ 47,12 cm².

Cum se calculează aria totală?

Aria totală este suma dintre aria bazei și aria laterală, deci At = Ab + Al, adică At = πr² + πrg = πr(r + g). Pentru r = 3 cm și g = 5 cm obținem At = 9π + 15π = 24π cm², adică aproximativ 75,40 cm².

Ce este generatoarea conului?

Generatoarea este segmentul de pe suprafața laterală care unește vârful conului cu un punct al cercului bazei. Toate generatoarele conului circular drept au aceeași lungime g. Ea nu este înălțimea: înălțimea h coboară perpendicular din vârf în centrul bazei, deci g este mai mare decât h.

Ce relație există între rază, înălțime și generatoare?

În secțiunea axială, r, h și g sunt laturile unui triunghi dreptunghic, cu ipotenuza g. Din teorema lui Pitagora rezultă g² = r² + h². De exemplu, pentru r = 3 cm și h = 4 cm avem g² = 9 + 16 = 25, deci g = 5 cm.