Teorema lui Pitagora

Q: Ce este un triplet pitagoreic?

Trei numere naturale a, b, c pentru care a²+b²=c². Cele mai folosite sunt (3,4,5), (6,8,10), (5,12,13) și (8,15,17).

Q: Ce este reciproca teoremei lui Pitagora?

Dacă într-un triunghi cu laturile a, b, c (unde c este cea mai lungă) este adevărată relația a²+b²=c², atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii c.

Ce vei învăța

Identifici catetele și ipotenuza într-un triunghi dreptunghic.
Scrii și aplici teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza.
Aplici teorema lui Pitagora pentru a afla o catetă.
Recunoști triplete pitagoreice uzuale.
Folosești reciproca teoremei pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic.

Recomandat înainte: Proprietățile triunghiului dreptunghic

Ideea de bază

Un triunghi dreptunghic are un unghi drept. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

Teorema lui Pitagora spune că, într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

\text{catetă}^2 + \text{catetă}^2 = \text{ipotenuză}^2

Cu ea poți afla lungimea unei laturi a triunghiului dreptunghic dacă le cunoști pe celelalte două.

Triunghiul dreptunghic și teorema lui Pitagora

Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ unghiul din $A$ are $90°$ Laturile $AB$ și $AC$ formează acest unghi drept, deci sunt catetele triunghiului. Latura $BC$ opusă unghiului drept, este ipotenuza. Ipotenuza este mereu cea mai lungă latură a triunghiului.

a

și

b

sunt catetele,

c

este ipotenuza.

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a^2 + b^2 = c^2

$a^2 + b^2$ este suma pătratelor celor două catete, iar $c^2$ este pătratul ipotenuzei. Relația este adevărată în orice triunghi dreptunghic, indiferent de mărimea lui.

Ipotenuza este mereu singură în formulă

$c$ este mereu ipotenuza, latura opusă unghiului drept. Nu poți alege orice latură drept „ipotenuza” din formulă; ea se vede din figură, nu se ghicește.

Ideea teoremei: pătratele construite pe laturi

Teorema are și o interpretare vizuală directă. Construiești un pătrat pe fiecare latură a triunghiului dreptunghic, spre exterior. Aria pătratului de pe o catetă plus aria pătratului de pe cealaltă catetă dă exact aria pătratului de pe ipotenuză.

Aria pătratului de pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor de pe cele două catete:

a^2 + b^2 = c^2

Această imagine este chiar motivul pentru care relația se scrie cu pătrate: nu este o coincidență de calcul, este o egalitate de arii.

Triplete pitagoreice

Un triplet pitagoreic este un set de trei numere naturale $a$ $b$ $c$ pentru care $a^2 + b^2 = c^2$ Când recunoști un triplet pitagoreic uzual, afli latura necunoscută fără calcul.

Cele mai folosite triplete pitagoreice
Catetă	Catetă	Ipotenuză	Verificare
$3$	$4$	$5$	$3^2+4^2=9+16=25=5^2$
$6$	$8$	$10$	$6^2+8^2=36+64=100=10^2$
$5$	$12$	$13$	$5^2+12^2=25+144=169=13^2$
$8$	$15$	$17$	$8^2+15^2=64+225=289=17^2$

Tripletul $(6,8,10)$ este chiar $(3,4,5)$ înmulțit cu $2$ Orice multiplu al unui triplet pitagoreic este tot un triplet pitagoreic.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Reciproca funcționează în sens invers: dacă într-un triunghi cu laturile $a$ $b$ $c$ (unde $c$ este cea mai lungă) este adevărată relația $a^2+b^2=c^2$ atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $c$

Nu presupui de la început că unghiul din A este drept. Verifici mai întâi relația dintre laturi.

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

suma pătratelor laturilor mici

5^2 = 25

pătratul laturii celei mai lungi

Cum $3^2+4^2 = 5^2$ relația este adevărată, deci triunghiul cu laturile $3$ $4$ și $5$ este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $5$

Cum folosești reciproca

Ridici la pătrat toate cele trei laturi, aduni pătratele celor mai mici două și compari suma cu pătratul celei mai mari. Dacă sunt egale, triunghiul este dreptunghic; dacă nu, nu este.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: afli ipotenuza

Un triunghi dreptunghic are catetele de $3\text{ cm}$ și $4\text{ cm}$ Calculează ipotenuza.

Vezi rezolvarea

Notez catetele $a=4$ și $b=3$ și scriu teorema lui Pitagora.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 4^2 + 3^2

înlocuiesc valorile

c^2 = 16 + 9 = 25

c = \sqrt{25} = 5

nu uit radicalul

La ultimul pas, din $c^2=25$ afli $c$ căutând numărul care, înmulțit cu el însuși, dă $25$ $c=5$ pentru că $5^2=25$ Acest număr se notează $\sqrt{25}$ și se citește „radical din 25”. Aici folosim notația doar pentru pătrate perfecte $25$ $100$ $169$ radicalii se studiază pe larg în clasa a VII-a.

Ipotenuza are $5\text{ cm}$ Recunoști aici tripletul pitagoreic $(3,4,5)$

Exemplul 2: afli o catetă

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $13\text{ cm}$ și o catetă de $5\text{ cm}$ Calculează cealaltă catetă.

Vezi rezolvarea

Aici este cunoscută ipotenuza, nu o catetă. Scriu teorema lui Pitagora și izolez catetă necunoscută.

a^2 + b^2 = c^2 \;\Longrightarrow\; b^2 = c^2 - a^2

Ideea importantă

Când cauți o catetă, nu aduni pătratele, ci scazi: din pătratul ipotenuzei scazi pătratul catetei cunoscute.

b^2 = 13^2 - 5^2

înlocuiesc valorile

b^2 = 169 - 25 = 144

b = \sqrt{144} = 12

Cealaltă catetă are $12\text{ cm}$ Recunoști tripletul pitagoreic $(5,12,13)$

Exemplul 3: diagonala unui dreptunghi

Un dreptunghi are lungimea de $8\text{ cm}$ și lățimea de $6\text{ cm}$ Calculează diagonala dreptunghiului.

Vezi rezolvarea

Diagonala $AC$ împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente. Iau triunghiul $ACD$ unghiul din $D$ este drept, pentru că este un unghi al dreptunghiului, $AD=6\text{ cm}$ și $DC=8\text{ cm}$ sunt catete, iar $AC$ este ipotenuza.

AC^2 = AD^2 + DC^2

teorema lui Pitagora în triunghiul ACD

AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

AC = \sqrt{100} = 10

Diagonala dreptunghiului are $10\text{ cm}$

Exemplul 4: reciproca, când triunghiul nu este dreptunghic

Un triunghi are laturile de $7\text{ cm}$ $8\text{ cm}$ și $11\text{ cm}$ Este triunghiul dreptunghic?

Vezi rezolvarea

Cea mai lungă latură este $11\text{ cm}$ doar ea poate fi ipotenuza. Compar suma pătratelor celorlalte două laturi cu pătratul ei.

7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113

suma pătratelor laturilor mai mici

11^2 = 121

pătratul celei mai lungi laturi

113 \ne 121

Relația $a^2+b^2=c^2$ nu este adevărată, deci triunghiul nu este dreptunghic.

Greșeli frecvente

Confund ipotenuza cu o catetă și aplic formula pe laturi greșite.
Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept, cea mai lungă latură a triunghiului. Catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept.
Folosesc teorema lui Pitagora într-un triunghi care nu este dreptunghic.
Relația $a^2+b^2=c^2$ este valabilă doar în triunghiuri dreptunghice. Fără un unghi de $90°$ nu ai voie să o aplici.
Scriu $a+b=c$ în loc de $a^2+b^2=c^2$
Teorema lucrează cu pătratele laturilor, nu cu laturile direct. $3+4=7$ nu $5$ corect este $3^2+4^2=5^2$
Calculez $c^2=25$ și scriu direct $c=25$ uitând radicalul.
$c^2=25$ îți dă pătratul laturii, nu latura. Latura este $c=\sqrt{25}=5$

Exerciții

Ușor

Un triunghi dreptunghic are catetele $6\text{ cm}$ și $8\text{ cm}$ Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $10\text{ cm}$
$c^2 = 6^2+8^2 = 36+64=100$ deci $c=\sqrt{100}=10$
Un triunghi dreptunghic are catetele $5\text{ cm}$ și $12\text{ cm}$ Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $13\text{ cm}$
$c^2 = 5^2+12^2 = 25+144=169$ deci $c=\sqrt{169}=13$
Într-un triunghi dreptunghic în $A$ care este ipotenuza: $AB$ $AC$ sau $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BC$
Ipotenuza este latura opusă unghiului drept din $A$ deci $BC$
Este $(2,3,4)$ un triplet pitagoreic?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$2^2+3^2=4+9=13$ dar $4^2=16$ $13\ne 16$ deci relația nu este adevărată.

Mediu

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $17\text{ cm}$ și o catetă $8\text{ cm}$ Calculează cealaltă catetă.
Arată răspunsul
Răspuns: $15\text{ cm}$
$b^2 = 17^2-8^2 = 289-64=225$ deci $b=\sqrt{225}=15$
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $10\text{ cm}$ și o catetă $6\text{ cm}$ Calculează cealaltă catetă.
Arată răspunsul
Răspuns: $8\text{ cm}$
$b^2 = 10^2-6^2 = 100-36=64$ deci $b=\sqrt{64}=8$
Verifică, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, dacă un triunghi cu laturile $6\text{ cm}$ $8\text{ cm}$ și $10\text{ cm}$ este dreptunghic.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este dreptunghic.
$6^2+8^2=36+64=100=10^2$ deci relația este adevărată și triunghiul este dreptunghic.
Verifică dacă un triunghi cu laturile $4\text{ cm}$ $5\text{ cm}$ și $6\text{ cm}$ este dreptunghic.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu este dreptunghic.
$4^2+5^2=16+25=41$ dar $6^2=36$ $41\ne 36$ deci triunghiul nu este dreptunghic.

Provocare

Un dreptunghi $ABCD$ are diagonala $AC = 25\text{ cm}$ și lățimea $BC = 7\text{ cm}$ Calculează perimetrul dreptunghiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $62\text{ cm}$
Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ cu ipotenuza $AC$ $AB^2=25^2-7^2=625-49=576$ deci $AB=\sqrt{576}=24\text{ cm}$ Perimetrul este $2\cdot(24+7)=62\text{ cm}$
O scară de $5\text{ m}$ este sprijinită de un perete vertical, cu baza la $3\text{ m}$ de perete. La ce înălțime pe perete ajunge scara?
Arată răspunsul
Răspuns: $4\text{ m}$
Scara este ipotenuza $5$ distanța bazei este o catetă $3$ Înălțimea este cealaltă catetă: $h^2=5^2-3^2=25-9=16$ deci $h=\sqrt{16}=4$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Într-un triunghi dreptunghic în $A$ catetele sunt:
1. $AB$ și $AC$
2. $AB$ și $BC$
3. $AC$ și $BC$
4. toate cele trei laturi
Arată răspunsul
Răspuns: $AB$ și $AC$
Catetele formează unghiul drept din $A$ deci sunt $AB$ și $AC$
2. Teorema lui Pitagora se scrie:
1. $a+b=c$
2. $a^2+b^2=c^2$
3. $a^2-b^2=c^2$
4. $a \cdot b = c$
Arată răspunsul
Răspuns: $a^2+b^2=c^2$
Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
3. Un triunghi dreptunghic are catetele $9\text{ cm}$ și $12\text{ cm}$ Ipotenuza este:
1. $15\text{ cm}$
2. $21\text{ cm}$
3. $225\text{ cm}$
4. $13\text{ cm}$
Arată răspunsul
Răspuns: $15\text{ cm}$
$c^2=9^2+12^2=81+144=225$ deci $c=\sqrt{225}=15$
4. Un triunghi cu laturile $5$ $6$ și $7$ este dreptunghic?
1. Da
2. Nu
3. Doar dacă e isoscel
4. Nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: Nu
$5^2+6^2=25+36=61$ dar $7^2=49$ Nu sunt egale, deci nu este dreptunghic.
5. Ce este ipotenuza într-un triunghi dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Latura opusă unghiului drept, cea mai lungă latură a triunghiului.
Catetele sunt laturile care formează unghiul drept; ipotenuza este cealaltă.
6. De ce nu poți aplica teorema lui Pitagora în orice triunghi?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că teorema este adevărată doar în triunghiuri dreptunghice.
Relația $a^2+b^2=c^2$ vine din unghiul de $90°$ fără el, relația nu se mai verifică.

Întrebări frecvente

Ce este teorema lui Pitagora?

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei: $a^2+b^2=c^2$ unde $a$ și $b$ sunt catetele, iar $c$ este ipotenuza.

Cum recunosc cateta și ipotenuza?

Catetele sunt laturile care formează unghiul drept. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este mereu cea mai lungă latură a triunghiului.

Ce este un triplet pitagoreic?

Trei numere naturale $a$ $b$ $c$ pentru care $a^2+b^2=c^2$ Cele mai folosite sunt $(3,4,5)$ $(6,8,10)$ $(5,12,13)$ și $(8,15,17)$

Ce este reciproca teoremei lui Pitagora?

Dacă într-un triunghi cu laturile $a$ $b$ $c$ (unde $c$ este cea mai lungă) este adevărată relația $a^2+b^2=c^2$ atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $c$

Cum aflu o catetă, nu ipotenuza?

Din teorema lui Pitagora izolezi cateta necunoscută prin scădere: dacă $c$ este ipotenuza și $a$ o catetă cunoscută, cealaltă catetă este $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Triunghiul dreptunghic și teorema lui Pitagora

Ideea teoremei: pătratele construite pe laturi

Triplete pitagoreice

Reciproca teoremei lui Pitagora

Exemple rezolvate

Exemplul 1: afli ipotenuza

Exemplul 2: afli o catetă

Exemplul 3: diagonala unui dreptunghi

Exemplul 4: reciproca, când triunghiul nu este dreptunghic

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a