Instrument

Calculator sisteme de ecuații

Scrie cele două ecuații ale sistemului așa cum le vezi în exercițiu și vezi soluția exactă și pașii metodei reducerii. Calculatorul recunoaște și sistemele fără soluție sau cu o infinitate de soluții.

Ecuația 1

Ecuația 2

Folosește necunoscutele x și y, numere întregi sau zecimale (cu virgulă sau cu punct) și semnele + și -. Nu se acceptă paranteze, puteri, produse xy sau fracții.

Rezultatul

Scrie cele două ecuații ale sistemului, de exemplu 2x + y = 7 și x - y = 2, și vezi rezolvarea pas cu pas.

Ce este un sistem de ecuații

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma $a_1x+b_1y=c_1$ și $a_2x+b_2y=c_2$ . Cele două ecuații trebuie să fie adevărate în același timp, pentru aceleași valori ale lui x și y.

Soluția unui sistem

Soluția este o pereche $(x,y)$ care verifică ambele ecuații. Pentru $2x+y=7$ și $x-y=2$ perechea $(3,1)$ este soluție: $2\cdot3+1=7$ și $3-1=2$ . Ordinea contează: (3, 1) nu este același lucru cu (1, 3).

Metoda reducerii

Aducem coeficienții unei necunoscute la aceeași valoare în modul, apoi adunăm sau scădem ecuațiile membru cu membru, astfel încât acea necunoscută să dispară. Rezolvăm ecuația rămasă și înlocuim valoarea găsită într-una dintre ecuații.

Sistem cu soluție unică

Dacă $a_1b_2-a_2b_1\neq0$ , sistemul are o singură soluție. La $2x+y=1$ și $x-y=0$ adunăm ecuațiile, obținem $3x=1$ , deci $x=\frac13$ , apoi $y=\frac13$ . Soluția rămâne exactă, sub formă de fracție.

Sistem fără soluție

La $x+y=2$ și $2x+2y=5$ , înmulțim prima ecuație cu 2 și obținem $2x+2y=4$ . Scăzând, ambele necunoscute dispar și rămâne $0=-1$ , o egalitate falsă. Condițiile sunt incompatibile, deci sistemul nu are soluție.

Sistem cu o infinitate de soluții

La $x+y=2$ și $2x+2y=4$ a doua ecuație este prima înmulțită cu 2. După reducere rămâne $0=0$ , adevărat pentru orice x și y. Orice pereche care verifică prima ecuație este soluție, deci nu putem alege una singură.

Exemple

Soluție unică: adunăm ecuațiile și dispare y $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\Rightarrow(3,1)$
Soluție fracționară, păstrată exact $\begin{cases}2x+y=1\\x-y=0\end{cases}\Rightarrow\left(\frac13,\frac13\right)$
Zecimale, cu virgulă sau cu punct $\begin{cases}0{,}5x+y=2\\x-y=1\end{cases}\Rightarrow(2,1)$
Infinitate de soluții: rămâne 0 = 0 $\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}$
Fără soluție: rămâne 0 = −1 $\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=5\end{cases}$

\begin{aligned}\left(2x+y\right)+\left(x-y\right) &= 7+2 \\ &\Rightarrow\; 3x=9 \\ &\Rightarrow\; x=3 \\ &\Rightarrow\; y=1\end{aligned}

Lecții conexe

Sisteme de ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii
Știi deja să rezolvi o ecuație de gradul I cu o necunoscută. Acum înveți să rezolvi un sistem format din două ecuații cu două necunoscute, prin metoda substituției și prin metoda reducerii, să înțelegi de ce soluția trebuie să verifice ambele ecuații deodată și să rezolvi probleme cu ajutorul sistemelor.

Instrumente conexe

Întrebări frecvente

Ce este un sistem de ecuații?

Un sistem de ecuații este un grup de ecuații care trebuie verificate în același timp de aceleași valori ale necunoscutelor. Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma a₁x + b₁y = c₁ și a₂x + b₂y = c₂, iar soluția lui este o pereche (x, y) care verifică amândouă ecuațiile.

Cum se rezolvă un sistem prin metoda reducerii?

Alegi o necunoscută și aduci coeficienții ei la aceeași valoare în modul, înmulțind ecuațiile cu numere potrivite. Apoi aduni ecuațiile (dacă coeficienții sunt opuși) sau le scazi (dacă sunt egali), astfel încât necunoscuta să dispară. Rezolvi ecuația rămasă, apoi înlocuiești valoarea găsită într-o ecuație ca să afli cealaltă necunoscută. Pentru 2x + y = 7 și x − y = 2, adunând ecuațiile obții 3x = 9, deci x = 3, iar apoi y = 1.

Când are un sistem o singură soluție?

Când ecuațiile nu sunt proporționale în coeficienții necunoscutelor, adică a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0. Reducerea duce atunci la o ecuație cu o singură necunoscută, care are o valoare bine determinată. Exemplu: 2x + y = 1 și x − y = 0 au soluția unică (1/3, 1/3).

Când nu are un sistem soluție?

Când coeficienții necunoscutelor sunt proporționali, dar termenii liberi nu. La reducere dispar ambele necunoscute și rămâne o egalitate falsă, de exemplu 0 = −1. Exemplu: x + y = 2 și 2x + 2y = 5, deoarece prima ecuație, înmulțită cu 2, dă 2x + 2y = 4, nu 5.

Când are un sistem o infinitate de soluții?

Când a doua ecuație este echivalentă cu prima, adică se obține din ea prin înmulțire cu un număr nenul. La reducere dispar ambele necunoscute și rămâne 0 = 0. Exemplu: x + y = 2 și 2x + 2y = 4. Orice pereche care verifică prima ecuație verifică și a doua, deci nu există o singură soluție.