Lecția 2 din 2 · Organizarea datelor și probabilități

Probabilitate elementară

Q: De ce trebuie ca toate cazurile să fie egal probabile?

Formula P(A) = numără cât la sută din cazurile posibile sunt favorabile. Ea are sens doar dacă fiecare caz are aceeași șansă de a apărea; altfel, unele cazuri „cântăresc” mai mult decât altele, iar simpla numărare nu mai dă probabilitatea corectă.

Q: Ce înseamnă o probabilitate egală cu 0 sau cu 1?

Probabilitatea 0 arată un eveniment imposibil, care nu are niciun caz favorabil. Probabilitatea 1 arată un eveniment sigur, la care toate cazurile posibile sunt favorabile. Orice alt eveniment are probabilitatea între 0 și 1.

Aici înveți ce este un eveniment, cum numeri cazurile posibile și cazurile favorabile și cum calculezi probabilitatea unui eveniment simplu, exprimată ca fracție, zecimal sau procent.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști noțiunile de experiment aleatoriu, rezultat posibil și eveniment.
Identifici cazurile posibile și cazurile favorabile ale unui eveniment simplu.
Calculezi probabilitatea unui eveniment ca raport între cazurile favorabile și cazurile posibile.
Exprimi o probabilitate ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent.
Recunoști evenimentul sigur și evenimentul imposibil.

Recomandat înainte: Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală, Regula de trei simplă. Procente

Ideea de bază

Arunci un zar cu $6$ fețe, numerotate de la $1$ la $6$ Te întrebi cât de probabil este să apară un număr par. Există $6$ rezultate posibile, la fel de probabile, și $3$ dintre ele, $2$ $4$ și $6$ sunt numere pare.

P(\text{număr par}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Jumătate dintre rezultatele posibile fac evenimentul să se producă. Probabilitatea este exact acest raport: cazurile favorabile împărțite la cazurile posibile.

Experiment aleatoriu, rezultat posibil, eveniment

Un experiment aleatoriu este o acțiune al cărei rezultat nu poate fi prevăzut dinainte cu siguranță, dar ale cărei rezultate posibile sunt cunoscute dinainte. Aruncarea unui zar, aruncarea unei monede și extragerea unei bile dintr-o urnă sunt experimente aleatorii.

Rezultat posibil: o situație care poate apărea la o desfășurare a experimentului. La aruncarea unui zar, rezultatele posibile sunt $1, 2, 3, 4, 5, 6$
Eveniment: o condiție care descrie unul sau mai multe rezultate posibile. „Apare un număr par” este un eveniment; el se produce dacă rezultatul este $2$ $4$ sau $6$

Un eveniment se produce sau nu

După fiecare desfășurare a experimentului, un eveniment fie s-a produs (rezultatul obținut se potrivește condiției lui), fie nu s-a produs.

Cazuri posibile și cazuri favorabile

Cazurile posibile sunt toate rezultatele pe care le poate avea experimentul. Cazurile favorabile unui eveniment sunt acele cazuri posibile care fac evenimentul să se producă, adică o parte din cazurile posibile, niciodată o listă separată de ele.

Zar cu $6$ fețe, evenimentul „numărul este mai mare decât $4$
Cazuri posibile	Cazuri favorabile
$1, 2, 3, 4, 5, 6$ adică $6$ cazuri	$5, 6$ adică $2$ cazuri

Cazurile trebuie să fie egal probabile

Formula de mai jos se aplică doar dacă fiecare caz posibil are aceeași șansă de a apărea: un zar corect, o monedă corectă, bile identice ca formă și mărime, deosebite doar prin culoare. Dacă un zar este măsluit, cazurile nu mai sunt egal probabile, iar formula nu se mai aplică direct.

Probabilitatea unui eveniment

Probabilitatea unui eveniment $A$ notată $P(A)$ se calculează astfel.

P(A) = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}

Numeri toate cazurile posibile ale experimentului.
Numeri cazurile favorabile evenimentului, adică acele cazuri posibile care se potrivesc condiției.
Scrii raportul dintre cazurile favorabile și cazurile posibile și îl simplifici, dacă se poate.

Este aceeași idee de raport pe care ai folosit-o la rapoarte și proporții, aplicată acum la un experiment cu rezultate egal probabile.

\text{Urnă cu } 5 \text{ roșii și } 3 \text{ albastre, total } 8 \text{ bile}

P(\text{albastră}) = \dfrac{3}{8}

Cazuri favorabile: cele

3

bile albastre. Cazuri posibile: toate cele

8

bile.

Cum exprimi o probabilitate

Probabilitatea este un raport, deci se scrie la fel de natural ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent, exact ca la un procent obișnuit.

P(A) = \dfrac{3}{8}

Ca fracție.

\dfrac{3}{8} = 0{,}375

Ca număr zecimal.

0{,}375 = 37{,}5\%

Ca procent.

Alege forma potrivită contextului

Fracția arată direct cazurile favorabile și cele posibile. Procentul este mai ușor de comparat cu alte probabilități, la fel ca la compararea a două clase prin procente.

Evenimentul sigur și evenimentul imposibil

Cazurile favorabile nu pot fi mai multe decât cazurile posibile și nici mai puține decât $0$ De aceea, probabilitatea unui eveniment este mereu un număr între $0$ și $1$ adică între $0\%$ și $100\%$

Eveniment sigur: toate cazurile posibile sunt favorabile. Probabilitatea lui este $1$ adică $100\%$ La aruncarea unui zar, „apare un număr de la $1$ la $6$ este un eveniment sigur.
Eveniment imposibil: niciun caz posibil nu este favorabil. Probabilitatea lui este $0$ adică $0\%$ La aruncarea unui zar, „apare $8$ este un eveniment imposibil, pentru că $8$ nu este printre rezultatele posibile.

Cu cât probabilitatea este mai aproape de $1$

Cu atât evenimentul este mai probabil să se producă. O probabilitate aproape de $0$ arată un eveniment rar, nu unul imposibil, atât timp cât are măcar un caz favorabil.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: eveniment cu mai multe cazuri favorabile

La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea evenimentului „apare un divizor al lui $6$

Vezi rezolvarea

Cazurile posibile sunt $1, 2, 3, 4, 5, 6$ deci $6$ cazuri posibile. Divizorii lui $6$ dintre aceste numere sunt $1, 2, 3, 6$

P = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

4

cazuri favorabile din

6

posibile, simplificat.

Interpretare: probabilitatea este $\dfrac{2}{3}$ adică aproximativ $66,7\%$

Exemplul 2: monedă

Arunci o monedă corectă o singură dată. Calculează probabilitatea evenimentului „apare cap”.

Vezi rezolvarea

Cazurile posibile sunt cap și pajură, deci $2$ cazuri posibile, egal probabile. Cazul favorabil este unul singur: cap.

P(\text{cap}) = \dfrac{1}{2} = 50\%

Exemplul 3: urnă cu bile de trei culori, eveniment cu „sau”

O urnă are $5$ bile roșii, $3$ albastre și $2$ verzi. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă roșie sau albastră.

Vezi rezolvarea

Cazurile posibile sunt toate bilele din urnă.

5 + 3 + 2 = 10

Total bile, deci

10

cazuri posibile.

Cazurile favorabile sunt bilele roșii sau albastre, adică toate în afară de cele verzi.

5 + 3 = 8

Cazuri favorabile.

P = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 80\%

Exemplul 4: bilete numerotate

Din bilete numerotate de la $1$ la $20$ se extrage unul la întâmplare. Calculează probabilitatea ca numărul extras să fie multiplu de $4$

Vezi rezolvarea

Cazurile posibile sunt numerele de la $1$ la $20$ deci $20$ de cazuri posibile.

Multiplii lui $4$ dintre acestea sunt $4, 8, 12, 16, 20$ adică $5$ cazuri favorabile.

P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 25\%

Exemplul 5: roată cu sectoare

O roată este împărțită în $10$ sectoare egale, dintre care $4$ sunt galbene, iar restul albastre. Calculează probabilitatea ca săgeata să se oprească pe un sector albastru.

Vezi rezolvarea

Sectoarele sunt egale, deci egal probabile. Cazurile posibile sunt cele $10$ sectoare.

10 - 4 = 6

Sectoare albastre, cazuri favorabile.

P(\text{albastru}) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 60\%

Exemplul 6: eveniment sigur și eveniment imposibil

La aruncarea unui zar, compară probabilitatea evenimentului „apare un număr de la $1$ la $6$ cu probabilitatea evenimentului „apare $8$

Vezi rezolvarea

Toate cele $6$ cazuri posibile sunt numere de la $1$ la $6$ deci toate sunt favorabile evenimentului „apare un număr de la $1$ la $6$

P = \dfrac{6}{6} = 1

Eveniment sigur.

Numărul $8$ nu este printre cazurile posibile ale zarului, deci evenimentul „apare $8$ nu are niciun caz favorabil.

P = \dfrac{0}{6} = 0

Eveniment imposibil.

Exemplul 7: problemă cu elevii unei clase

O clasă are $25$ de elevi, dintre care $10$ băieți și $15$ fete. Se alege la întâmplare un elev pentru a reprezenta clasa la un concurs. Calculează probabilitatea ca elevul ales să fie fată.

Vezi rezolvarea

Fiecare elev are aceeași șansă de a fi ales, deci cazurile posibile sunt cei $25$ de elevi.

P(\text{fată}) = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 60\%

Interpretare: este mai probabil să fie aleasă o fată decât un băiat, pentru că sunt mai multe fete în clasă.

Greșeli frecvente

La aruncarea unei monede, evenimentul „apare cap” are probabilitatea $1$ pentru că sigur apare ceva.
Sigur apare un rezultat, dar nu neapărat cap. Există $2$ cazuri posibile și doar $1$ favorabil evenimentului „apare cap”, deci $P = \dfrac{1}{2}$
Zarul are $6$ fețe, deci probabilitatea oricărui eveniment este $\dfrac{1}{6}$
$\dfrac{1}{6}$ este probabilitatea pentru un singur rezultat. Un eveniment cu mai multe rezultate favorabile are un numărător mai mare: „numărul este par” are $3$ cazuri favorabile, deci $P = \dfrac{3}{6}$
Într-o urnă cu $5$ bile roșii și $3$ albastre, probabilitatea de a extrage o bilă albastră este $\dfrac{3}{5}$
Numitorul trebuie să fie numărul total de bile, $5 + 3 = 8$ nu doar bilele roșii. Probabilitatea corectă este $\dfrac{3}{8}$
$\dfrac{3}{10}$ scris ca procent este $3\%$
$\dfrac{3}{10} = 30\%$ Fracția se înmulțește cu $100\%$ numărătorul nu devine direct procentul.
Zarul poate fi măsluit, iar formula $P = \dfrac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$ se aplică la fel de bine.
Formula presupune cazuri egal probabile. Dacă unele rezultate sunt mai probabile decât altele, formula nu se mai aplică direct.
Evenimentul „apare $8$ la aruncarea unui zar are o probabilitate foarte mică, dar nenulă.
$8$ nu este printre cazurile posibile ale zarului. Evenimentul este imposibil, iar probabilitatea lui este exact $0$ nu doar mică.
Probabilitatea unui eveniment poate fi $1{,}5$ sau $120\%$
Probabilitatea este mereu între $0$ și $1$ (sau între $0\%$ și $100\%$ pentru că numărul cazurilor favorabile nu poate depăși numărul cazurilor posibile.

Exerciții

Ușor

Un zar are $6$ fețe. Câte cazuri posibile există la o aruncare?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
La aruncarea unui zar, care sunt cazurile favorabile evenimentului „apare un număr impar”?
Arată răspunsul
Răspuns: $1, 3, 5$ adică $3$ cazuri
Calculează probabilitatea evenimentului „apare cap” la aruncarea unei monede corecte.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2} = 50\%$
O urnă are $4$ bile roșii și $6$ bile albastre. Câte cazuri posibile are experimentul „extragerea unei bile”?
Arată răspunsul
Răspuns: $10$
$4 + 6 = 10$
Ce probabilitate are evenimentul sigur?
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ adică $100\%$

Mediu

O urnă are $4$ bile roșii și $6$ bile albastre. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă roșie.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 40\%$
Din bilete numerotate de la $1$ la $24$ se extrage unul la întâmplare. Calculează probabilitatea ca numărul extras să fie multiplu de $6$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{4}{24}=\dfrac16$
Cazurile favorabile sunt $6,12,18,24$ adică $4$ din $24$
La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea evenimentului „numărul apărut este mai mare decât $4$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
Cazuri favorabile: $5, 6$
O roată este împărțită în $12$ sectoare egale, dintre care $5$ sunt verzi, iar restul portocalii. Calculează probabilitatea de a nimeri un sector portocaliu.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{12}$
$12-5=7$ sectoare sunt portocalii, deci probabilitatea este $\dfrac7{12}$
Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ sunt fete. Se alege la întâmplare un elev pentru a reprezenta clasa. Calculează probabilitatea ca elevul ales să fie băiat.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} = 40\%$
Băieți: $30 - 18 = 12$

Provocare

O urnă are bile roșii, albastre și verzi, în total $20$ Probabilitatea de a extrage o bilă roșie este $\dfrac{2}{5}$ iar de a extrage una albastră este $\dfrac{3}{10}$ Câte bile verzi sunt în urnă?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ bile verzi
Roșii: $\dfrac{2}{5} \cdot 20 = 8$ Albastre: $\dfrac{3}{10} \cdot 20 = 6$ Verzi: $20 - 8 - 6 = 6$
Din bilete numerotate de la $1$ la $50$ se extrage unul la întâmplare. Calculează probabilitatea ca numărul extras să fie pătrat perfect.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{50} = 14\%$
Pătratele perfecte de la $1$ la $50$ sunt $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ adică $7$ cazuri favorabile.
Un zar este aruncat o singură dată. Probabilitatea unui eveniment $A$ este $\dfrac{1}{3}$ Câte cazuri favorabile are evenimentul $A$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cazuri favorabile
$6 \cdot \dfrac{1}{3} = 2$
Într-o urnă cu $40$ de bile, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este $35\%$ Câte bile negre sunt în urnă?
Arată răspunsul
Răspuns: $14$ bile negre
$\dfrac{35}{100} \cdot 40 = 14$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este un caz favorabil unui eveniment?
1. Orice rezultat posibil al experimentului
2. Un rezultat posibil care se potrivește condiției evenimentului
3. Numărul total de rezultate posibile
4. Rezultatul cel mai probabil
Arată răspunsul
Răspuns: Un rezultat posibil care se potrivește condiției evenimentului
Cazurile favorabile sunt acele cazuri posibile care fac evenimentul să se producă, deci o parte din cazurile posibile.
2. Dintr-o cutie cu bilețele numerotate de la $1$ la $32$ se extrage la întâmplare unul. Câte cazuri posibile există?
Arată răspunsul
Răspuns: $32$
Fiecare bilețel poate fi extras, deci sunt $32$ de cazuri posibile, câte unul pentru fiecare număr.
3. O urnă are $3$ bile roșii și $7$ bile albastre. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă roșie.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3}{10} = 30\%$
$3$ cazuri favorabile din $10$ cazuri posibile.
4. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
1. $0$
2. $1$
3. $0{,}5$
4. Nu se poate calcula
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
Un eveniment imposibil nu are niciun caz favorabil, deci probabilitatea lui este $0$
5. Ce condiție trebuie să îndeplinească cazurile posibile pentru ca formula probabilității să se aplice direct?
1. Să fie cel puțin $10$ cazuri
2. Să fie egal probabile
3. Să fie numere naturale
4. Să fie în număr par
Arată răspunsul
Răspuns: Să fie egal probabile
Formula favorabile/posibile presupune că toate cazurile posibile au aceeași șansă de a apărea.
6. Scrie $\dfrac{2}{5}$ ca procent.
Arată răspunsul
Răspuns: $40\%$
$\dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%$
7. Un zar este aruncat o dată. Care afirmație este corectă?
1. Probabilitatea evenimentului „apare un număr par” este $\dfrac{1}{6}$
2. Probabilitatea evenimentului „apare un număr par” este $\dfrac{3}{6}$
3. Probabilitatea evenimentului „apare un număr par” este $6$
4. Evenimentul „apare un număr par” este imposibil
Arată răspunsul
Răspuns: Probabilitatea evenimentului „apare un număr par” este $\dfrac{3}{6}$
Cazurile favorabile sunt $2, 4, 6$ deci $3$ din $6$ cazuri posibile.
8. Într-o clasă de $20$ de elevi, $8$ poartă ochelari. Care este probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să poarte ochelari?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 40\%$

Întrebări frecvente

Ce este un caz favorabil?

Un caz favorabil unui eveniment este un rezultat posibil al experimentului care se potrivește condiției evenimentului. Cazurile favorabile sunt mereu o parte din cazurile posibile, nu o listă separată de ele.

De ce trebuie ca toate cazurile să fie egal probabile?

Formula $P(A) = \dfrac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$ numără cât la sută din cazurile posibile sunt favorabile. Ea are sens doar dacă fiecare caz are aceeași șansă de a apărea; altfel, unele cazuri „cântăresc” mai mult decât altele, iar simpla numărare nu mai dă probabilitatea corectă.

Cum exprim o probabilitate ca procent?

Scrii probabilitatea ca fracție, apoi o transformi în procent la fel ca orice fracție: o înmulțești cu $100\%$ De exemplu, $\dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\%$

Ce înseamnă o probabilitate egală cu

0

sau cu

1

Probabilitatea $0$ arată un eveniment imposibil, care nu are niciun caz favorabil. Probabilitatea $1$ arată un eveniment sigur, la care toate cazurile posibile sunt favorabile. Orice alt eveniment are probabilitatea între $0$ și $1$

Resurse utile

Ai terminat lecția

Probabilitate elementară

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VI-a

Probabilitate elementară

Ce vei învăța

Ideea de bază

Experiment aleatoriu, rezultat posibil, eveniment

Cazuri posibile și cazuri favorabile

Probabilitatea unui eveniment

Cum exprimi o probabilitate

Evenimentul sigur și evenimentul imposibil

Exemple rezolvate

Exemplul 1: eveniment cu mai multe cazuri favorabile

Exemplul 2: monedă

Exemplul 3: urnă cu bile de trei culori, eveniment cu „sau”

Exemplul 4: bilete numerotate

Exemplul 5: roată cu sectoare

Exemplul 6: eveniment sigur și eveniment imposibil

Exemplul 7: problemă cu elevii unei clase

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme