Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

Un raport compară două numere sau două mărimi prin împărțire: raportul lui $a$ la $b$ este câtul $a : b$, cu $b \neq 0$.

Un raport și o fracție se scriu la fel, dar au sensuri diferite: fracția poate arăta o parte dintr-un întreg, iar raportul compară două mărimi. Într-o grupă cu $12$ fete și $8$ băieți, raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.

O proporție este o egalitate între două rapoarte, de exemplu $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$. Proprietatea fundamentală a proporției spune că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Ea te ajută atât să verifici o proporție, cât și să afli un termen necunoscut.

Într-o grupă sunt $12$ fete și $8$ băieți. Raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\dfrac{12}{8}$, sau, cu notația $:$, $12 : 8$.

Raportul compară cele două numere prin împărțire. $\dfrac{12}{8}$ se simplifică la $\dfrac{3}{2}$, deci raportul fetelor față de băieți este $\dfrac{3}{2}$. Asta înseamnă că la fiecare $3$ fete sunt $2$ băieți.

Pentru două numere $a$ și $b$, cu $b$ nenul, raportul lui $a$ la $b$ se scrie $\dfrac{a}{b}$ sau $a : b$. Când folosești notația cu $:$, ea înseamnă exact împărțirea lui $a$ la $b$.

În raportul $\dfrac{3}{5}$, $3$ este primul termen al raportului, iar $5$ este al doilea termen al raportului.

Al doilea termen al unui raport nu poate fi $0$, pentru că raportul înseamnă o împărțire, iar împărțirea la $0$ nu are sens. Primul termen poate fi $0$: raportul $0 : 5$ este egal cu $0$.

Raportul dintre $6$ și $3$ este $\dfrac{6}{3} = 2$. Raportul dintre $3$ și $6$ este $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Nu sunt același raport, deși implică aceleași două numere.

Exemplu contextual: o rețetă folosește $6$ linguri de făină la $3$ linguri de zahăr. Raportul făină : zahăr este $\dfrac{6}{3}=2$ (de două ori mai multă făină decât zahăr). Raportul zahăr : făină este $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ (jumătate din cantitatea de făină). Amândouă rapoartele descriu aceeași rețetă, dar răspund la întrebări diferite, în funcție de ordine.

Ideea de rapoarte echivalente se leagă direct de fracțiile echivalente, deja cunoscute din clasa a V-a: dacă amplifici sau simplifici ambii termeni ai unui raport cu același număr nenul, obții un raport echivalent.

$\dfrac{4}{6}$ se obține din $\dfrac{2}{3}$ amplificând cu $2$, iar $\dfrac{6}{9}$ se obține amplificând cu $3$. Toate trei descriu aceeași comparație între cele două mărimi, doar scrise cu numere diferite.

Simplificarea raportului $\dfrac{12}{8}$ de mai devreme funcționează la fel: împarți ambii termeni la divizorul lor comun $4$, și obții raportul echivalent $\dfrac{3}{2}$.

O proporție este o egalitate între două rapoarte.

Nu orice două rapoarte formează o proporție. De exemplu, $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{5}{6}$ nu sunt egale, pentru că $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, iar $\dfrac{4}{6} \neq \dfrac{5}{6}$. Între ele nu se poate scrie o proporție.

O proporție se scrie general $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, cu $b \neq 0$ și $d \neq 0$, sau $a : b = c : d$. Cele patru numere $a, b, c, d$ se numesc termenii proporției.

• $a$ și $d$ (primul și ultimul termen, cei de la margini în scrierea $a : b = c : d$) sunt extremii proporției.
• $b$ și $c$ (al doilea și al treilea termen, cei din mijloc) sunt mezii proporției.

Deci în $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, extremii sunt $2$ și $6$, iar mezii sunt $3$ și $4$.

Fie $b \neq 0$ și $d \neq 0$. Egalitatea $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ este adevărată exact atunci când produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

De ce este așa? Înmulțești ambii membri ai egalității cu $b \times d$, un număr nenul. În stânga se simplifică $b$, în dreapta se simplifică $d$. Pașii se pot parcurge și invers, împărțind la $b \times d$, de aceea proprietatea merge în ambele sensuri.

Pe un exemplu numeric, în $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ extremii sunt $2$ și $6$, iar mezii sunt $3$ și $4$.

Cele două produse sunt egale, $12 = 12$, deci egalitatea este o proporție adevărată.

Este $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$ o proporție? Calculezi produsul extremilor și produsul mezilor.

Cele două produse sunt egale, $45 = 45$, deci $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$ este o proporție.

Este $\dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{15}$ o proporție?

$60 \neq 56$, deci $\dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{15}$ nu este o proporție.

Când într-o proporție lipsește un termen, îl afli folosind proprietatea fundamentală: scrii egalitatea dintre produsul extremilor și produsul mezilor, apoi rezolvi ecuația obținută.

Cazul 1: necunoscuta este primul termen (un extrem). Rezolvă $\dfrac{x}{5} = \dfrac{6}{15}$.

Verificare: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$, iar $2 \times 15 = 30$ și $5 \times 6 = 30$, produse egale.

Cazul 2: necunoscuta este al treilea termen (un mez). Rezolvă $\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{20}$.

Verificare: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$, iar $3 \times 20 = 60$ și $4 \times 15 = 60$.

Cazul 3: necunoscuta este al doilea termen (un mez) și se află la numitor, deci $x \neq 0$. Rezolvă $\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{6}$.

Verificare: $\dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{6}$, iar $5 \times 6 = 30$ și $3 \times 10 = 30$.

Dacă cele două mărimi ale unui raport au unități de măsură diferite, dar comparabile, le transformi mai întâi în aceeași unitate, înainte de a scrie raportul.

Vrei raportul dintre $2$ m și $50$ cm. Nu calculezi direct $\dfrac{2}{50}$, pentru că cele două numere sunt exprimate în unități diferite.

Raportul dintre $2$ m și $50$ cm este $4$, un număr fără unitate de măsură: prima lungime este de $4$ ori mai mare decât a doua.