Numere întregi. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

Numerele întregi sunt numerele naturale, opusele lor și $0$: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$. Mulțimea lor se notează $\mathbb{Z}$.

Pe axa numerelor, cu cât un număr este mai la dreapta, cu atât este mai mare. Numerele negative stau la stânga lui $0$, deci sunt mai mici decât $0$ și mai mici decât orice număr pozitiv.

Opusul unui număr este numărul de la aceeași distanță de $0$, dar de partea cealaltă. Modulul unui număr este chiar acea distanță, un număr niciodată negativ.

Numerele naturale sunt $0, 1, 2, 3, \ldots$. Pentru fiecare număr natural nenul, precum $5$, mai există un număr nou, $-5$, care se citește „minus cinci” și se numește număr întreg negativ.

• Numere întregi pozitive: $1, 2, 3, 4, \ldots$ (numerele naturale nenule).
• Zero: $0$. Nu este nici pozitiv, nici negativ.
• Numere întregi negative: $-1, -2, -3, -4, \ldots$

Toate aceste numere, la un loc, formează mulțimea numerelor întregi, notată $\mathbb{Z}$:

Un număr negativ apare des în viața de zi cu zi: o temperatură de $-5$ grade, un etaj $-2$ la subsol, o datorie de $-100$ de lei. Semnul $-$ scris în față arată că numărul este de partea cealaltă a lui $0$ față de numărul pozitiv corespunzător.

Pe axa numerelor, $0$ este reperul din mijloc. Numerele pozitive se așază la dreapta lui $0$, numerele negative la stânga. Cu cât un număr este mai la dreapta, cu atât este mai mare.

• $-5 < -2$: $-5$ este mai la stânga decât $-2$.
• $-3 < 0$: orice număr negativ este la stânga lui $0$.
• $0 < 4$: orice număr pozitiv este la dreapta lui $0$.
• $-7 < 2$: un număr negativ este mereu la stânga unui număr pozitiv.

Două numere întregi sunt opuse dacă sunt la aceeași distanță de $0$, dar de o parte și de alta a lui $0$ pe axă. Opusul unui număr $a$ se notează $-a$.

• Opusul lui $5$ este $-5$.
• Opusul lui $-8$ este $8$.
• Opusul lui $0$ este $0$.

$5$ și $-5$ sunt amândouă la $5$ unități de $0$, doar în părți diferite. De aceea sunt opuse. Fiecare număr întreg are exact un opus.

Modulul unui număr întreg $a$ se notează $|a|$ și este distanța de la $a$ la $0$ pe axa numerelor. O distanță nu este niciodată negativă.

• $|5| = 5$: numărul $5$ este la $5$ unități de $0$.
• $|-5| = 5$: numărul $-5$ este tot la $5$ unități de $0$.
• $|0| = 0$: numărul $0$ este chiar în origine, la distanța $0$.

Modulul unui număr pozitiv este chiar numărul. Modulul lui $0$ este $0$. Modulul unui număr negativ este opusul lui, adică numărul fără semnul $-$.

Opusul unui număr schimbă semnul. Modulul unui număr dă distanța față de $0$, mereu un număr nenegativ. Pentru numere pozitive, opusul devine negativ, dar modulul rămâne același număr.

Pentru $-7$, opusul este $7$ și modulul este tot $7$. Nu este o coincidență: opusul unui număr negativ este întotdeauna pozitiv, iar modulul unui număr negativ este tot numărul pozitiv corespunzător. Dar pentru numere pozitive lucrurile se despart: opusul lui $7$ este $-7$ (negativ), în timp ce modulul lui $7$ rămâne $7$ (pozitiv).

Ca să compari două numere întregi, te uiți la poziția lor pe axă. Numărul mai la dreapta este mai mare.

1. Orice număr pozitiv este mai mare decât $0$.
2. Orice număr negativ este mai mic decât $0$.
3. Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.
4. Dintre două numere negative, este mai mare cel mai apropiat de $0$.

• $3 > -4$: un pozitiv este mereu mai mare decât un negativ.
• $-2 > -9$: $-2$ este mai aproape de $0$ decât $-9$.
• $-15 < -6$: $-15$ este mai departe de $0$ decât $-6$, spre stânga.
• $0 > -1$: $0$ este mai mare decât orice număr negativ.

Regula 4 este cea care produce cele mai multe greșeli: la două numere negative, NU câștigă numărul „mai mare ca valoare fără semn”, ci cel mai apropiat de $0$.

Ca să ordonezi mai multe numere întregi, le așezi mental pe axă: negativele cele mai depărtate de $0$ primele, apoi tot mai aproape de $0$, apoi $0$, apoi pozitivele în ordine crescătoare.

Ordonează crescător: $3, -5, 0, 7, -2$.

1. Separi negativele de pozitive și de $0$: negative $-5, -2$; zero $0$; pozitive $3, 7$.
2. Ordonezi negativele de la cel mai depărtat de $0$ la cel mai apropiat: $-5 < -2$.
3. Ordonezi pozitivele crescător: $3 < 7$.
4. Pui totul la un loc, cu $0$ la mijloc: $-5 < -2 < 0 < 3 < 7$.

Ordonează descrescător: $-1, 6, -9, 4, -3$.

1. Negative: $-1, -9, -3$; pozitive: $6, 4$.
2. Descrescător înseamnă de la cel mai mare la cel mai mic: pozitivele cele mai mari primele, apoi cele mai mici, apoi $0$ (dacă există), apoi negativele de la cel mai apropiat de $0$ la cel mai depărtat.
3. Pozitive descrescător: $6 > 4$.
4. Negative descrescător (de la cel mai apropiat de $0$): $-1 > -3 > -9$.

Ai văzut că modulul unui număr negativ crește pe măsură ce numărul se depărtează de $0$ spre stânga. Exact de aceea, un modul mai mare la un număr negativ înseamnă un număr mai mic, nu mai mare.

Deci $|-9| > |-4|$, dar $-9 < -4$. Modulul spune cât de departe este numărul de $0$, nu în ce parte se află și nici care este mai mare.