Șir de rapoarte egale

Ce vei învăța

Recunoști și scrii un șir de rapoarte egale.
Verifici dacă mai multe rapoarte formează un șir de rapoarte egale.
Găsești valoarea comună a unui șir de rapoarte egale și o folosești pentru a afla termeni necunoscuți.
Aplici proprietatea sumei termenilor atunci când cunoști suma numerelor căutate.
Împarți un număr în părți direct proporționale cu numere date.

Recomandat înainte: Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

Ideea de bază

Știi deja că o proporție este o egalitate între două rapoarte, de exemplu $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$

Un șir de rapoarte egale extinde această idee la trei sau mai multe rapoarte, toate egale între ele.

\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}

Toate cele trei rapoarte au aceeași valoare, $\dfrac{2}{3}$ scrisă cu numere diferite, la fel ca la fracțiile echivalente.

De la proporție la șir de rapoarte egale

O proporție compară două rapoarte. Un șir de rapoarte egale compară trei sau mai multe rapoarte, toate egale între ele.

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}

Oricare două rapoarte din șir formează o proporție. De aceea proprietatea fundamentală a proporțiilor, pe care o cunoști deja, rămâne valabilă pentru orice pereche de rapoarte din șir.

Ce este un șir de rapoarte egale

Un șir de rapoarte egale este o egalitate în care apar trei sau mai multe rapoarte, toate cu aceeași valoare.

\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15}

Nu orice rapoarte scrise alăturat formează un șir

Faptul că mai multe rapoarte sunt scrise unul lângă altul, legate prin semnul egal, nu înseamnă că sunt egale. Egalitatea trebuie verificată, la fel ca la o proporție.

Verificarea unui șir de rapoarte egale

Ca să verifici dacă mai multe rapoarte formează un șir de rapoarte egale, simplifici fiecare raport până la forma ireductibilă și compari rezultatele.

Este $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$ un șir de rapoarte egale?

\dfrac{3}{4}

deja ireductibil

\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}

simplificat prin 2

\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}

simplificat prin 3

Toate cele trei rapoarte au aceeași valoare, $\dfrac{3}{4}$ deci este un șir de rapoarte egale.

Este $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{16}$ un șir de rapoarte egale?

\dfrac{2}{5}

deja ireductibil

\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

simplificat prin 2

\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}

simplificat prin 2

$\dfrac{2}{5} \neq \dfrac{3}{8}$ deci $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{16}$ nu este un șir de rapoarte egale: al treilea raport strică egalitatea.

Valoarea comună a unui șir de rapoarte egale

Într-un șir de rapoarte egale, toate rapoartele au aceeași valoare. Această valoare se numește valoarea comună a șirului și se notează, de obicei, cu litera $k$

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = k

Valoarea comună a șirului $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15}$
Raport	Numărătorul împărțit la numitor
$\dfrac{2}{5}$	$2 : 5 = 0{,}4$
$\dfrac{4}{10}$	$4 : 10 = 0{,}4$
$\dfrac{6}{15}$	$6 : 15 = 0{,}4$

Din $\dfrac{a}{b} = k$ rezultă că numărătorul este valoarea comună înmulțită cu numitorul.

a = k \cdot b, \qquad c = k \cdot d, \qquad e = k \cdot f

Aceste egalități îți permit să reconstitui orice numărător, dacă ai valoarea comună și numitorul.

Aflarea unui termen necunoscut cu ajutorul valorii comune

Când într-un șir de rapoarte egale lipsește un termen, calculezi întâi valoarea comună dintr-un raport complet cunoscut, apoi o folosești la raportul cu termenul necunoscut.

Rezolvă $\dfrac{x}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$

\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}

valoarea comună, dintr-un raport complet cunoscut

\dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{4}

același raport, cu necunoscuta

x = 3

Verificare: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$ toate egale cu $\dfrac{3}{4}$

Proprietatea sumei termenilor

Dacă $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ atunci suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă tot valoarea comună $k$

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d} = k

De ce? Din $a = k \cdot b$ și $c = k \cdot d$ rezultă $a + c = k \cdot b + k \cdot d = k \cdot (b + d)$ Împărțind la $b + d$ (diferit de $0$ obții $\dfrac{a+c}{b+d} = k$

La ce ajută

Proprietatea este utilă când cunoști suma numerelor căutate, dar nu și fiecare număr în parte.

Rezolvă $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$ știind că $x + y = 20$

\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{x+y}{2+3}

proprietatea sumei termenilor

\dfrac{x+y}{2+3} = \dfrac{20}{5} = 4

valoarea comună

x = 4 \times 2 = 8

y = 4 \times 3 = 12

Verificare: $x + y = 8 + 12 = 20$ iar $\dfrac{8}{2} = 4$ și $\dfrac{12}{3} = 4$ aceeași valoare comună.

Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

Să împarți un număr în părți direct proporționale cu $2$ $3$ și $5$ înseamnă să găsești trei părți $x$ $y$ $z$ astfel încât raportul dintre fiecare parte și numărul ei să fie același, iar suma părților să fie numărul dat.

\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}

Numărului mai mare îi corespunde partea mai mare: partea lui $5$ este mai mare decât partea lui $3$

Exemplu: împarte $60$ în trei părți direct proporționale cu $2$ $3$ și $5$ Aici $x + y + z = 60$

\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{2+3+5}

proprietatea sumei termenilor, cu trei rapoarte

\dfrac{x+y+z}{2+3+5} = \dfrac{60}{10} = 6

valoarea comună; la numitor este suma numerelor,

2+3+5

nu numărul lor

x = 6 \times 2 = 12

y = 6 \times 3 = 18

z = 6 \times 5 = 30

Cele trei părți și suma lor
Partea	Număr corespunzător	Valoare
$x$	$2$	$12$
$y$	$3$	$18$
$z$	$5$	$30$
Total	$2+3+5=10$	$60$

Verificare: $12 + 18 + 30 = 60$ iar $\dfrac{12}{2} = \dfrac{18}{3} = \dfrac{30}{5} = 6$

Legătura cu fracțiile echivalente

Un șir de rapoarte egale folosește aceeași idee ca fracțiile echivalente: amplifici sau simplifici un raport cu același număr nenul și obții un raport egal, care se poate alătura șirului.

\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8}

$\dfrac{2}{4}$ se obține din $\dfrac{1}{2}$ amplificând cu $2$ $\dfrac{3}{6}$ amplificând cu $3$ iar $\dfrac{4}{8}$ amplificând cu $4$ Toate cele patru rapoarte au aceeași valoare comună, $\dfrac{1}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoașterea unui șir valid

Este $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15}$ un șir de rapoarte egale?

Vezi rezolvarea

\dfrac{3}{5}

deja ireductibil

\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

simplificat prin 2

\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}

simplificat prin 3

Toate cele trei rapoarte au valoarea $\dfrac{3}{5}$ deci este un șir de rapoarte egale.

Exemplul 2: verificarea egalității rapoartelor

Verifică dacă $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{12}$ este un șir de rapoarte egale.

Vezi rezolvarea

\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}

\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}

Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\dfrac{2}{3}$ deci egalitatea este confirmată.

Exemplul 3: completarea unui termen necunoscut

Completează: $\dfrac{x}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}

valoarea comună

\dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{4}

x = 3

Verificare: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$

Exemplul 4: completarea a doi termeni necunoscuți

Completează: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{9}{3}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{9}{3} = 3

valoarea comună, dintr-un raport complet cunoscut

x = 3 \times 2 = 6

y = 3 \times 6 = 18

Verificare: $\dfrac{6}{2} = 3$ $\dfrac{18}{6} = 3$ și $\dfrac{9}{3} = 3$

Exemplul 5: valoarea comună și un al patrulea raport

Calculează valoarea comună a șirului $\dfrac{10}{4} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{20}{8}$ apoi găsește raportul cu numărătorul $30$

Vezi rezolvarea

\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}

\dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}

\dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}

Valoarea comună este $\dfrac{5}{2}$ Dacă numărătorul este $30$ numitorul $n$ verifică $\dfrac{30}{n} = \dfrac{5}{2}$ deci $5n = 60$ și $n = 12$

Al patrulea raport este $\dfrac{30}{12}$

Exemplul 6: o schimbare care strică șirul

Din $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$ un elev schimbă doar ultimul numitor și scrie $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{10}$ Rămâne un șir de rapoarte egale?

Vezi rezolvarea

\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

$\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{5}$ deci nu mai este un șir de rapoarte egale. Schimbarea unui singur număr strică egalitatea; după orice modificare, verifici din nou.

Exemplul 7: proprietatea sumei termenilor

Rezolvă $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$ știind că $x + y = 20$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{x+y}{2+3}

proprietatea sumei termenilor

\dfrac{20}{5} = 4

valoarea comună

x = 4 \times 2 = 8

y = 4 \times 3 = 12

Verificare: $8 + 12 = 20$ iar $\dfrac{8}{2} = \dfrac{12}{3} = 4$

Exemplul 8: împărțirea unei sume între doi frați

O sumă de $350$ de lei se împarte între doi frați, direct proporțional cu numerele $3$ și $4$ Câți lei primește fiecare?

Vezi rezolvarea

Notezi sumele cu $x$ și $y$ Atunci $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ și $x + y = 350$ lei.

\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{x+y}{3+4} = \dfrac{350}{7} = 50

valoarea comună

x = 50 \times 3 = 150

y = 50 \times 4 = 200

Primul frate primește $150$ de lei, al doilea $200$ de lei. Verificare: $150 + 200 = 350$ lei, iar al doilea frate, cu numărul mai mare, primește suma mai mare.

Exemplul 9: trei părți direct proporționale

Se împart $60$ kg de mere în trei lădițe, direct proporțional cu numerele $2$ $3$ și $5$ Câte kilograme conține fiecare lădiță?

Vezi rezolvarea

Notezi cantitățile cu $x$ $y$ $z$ Atunci $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}$ și $x + y + z = 60$ kg.

\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{2+3+5} = \dfrac{60}{10} = 6

valoarea comună

x = 12, \quad y = 18, \quad z = 30

Lădițele conțin $12$ kg, $18$ kg și $30$ kg. Verificare: $12 + 18 + 30 = 60$ kg.

Greșeli frecvente

Cred că orice rapoarte scrise alăturat, legate prin semnul egal, formează un șir de rapoarte egale, fără să verific.
Egalitatea trebuie verificată, la fel ca la o proporție: simplifici fiecare raport sau îi calculezi valoarea, apoi compari.
La împărțirea lui $60$ în părți direct proporționale cu $2$ $3$ și $5$ împart $60$ la $3$ numărul părților.
Valoarea comună se obține împărțind suma dată la suma numerelor: $60 : (2+3+5) = 60 : 10 = 6$ Numărul părților (trei) nu intră în calcul.
Compar numerele scrise, nu valorile rapoartelor, și cred că $\dfrac{4}{6}$ și $\dfrac{6}{9}$ nu pot fi egale pentru că numerele sunt diferite.
Compari valoarea fiecărui raport, după simplificare. $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ aceeași valoare, deși numerele scrise sunt diferite.
Calculez valoarea comună adunând numărătorul cu numitorul unui raport, în loc să le împart.
Valoarea unui raport este numărătorul împărțit la numitor. Pentru $\dfrac{6}{8}$ valoarea este $6:8=\dfrac{3}{4}$ nu $6+8$
Dau partea mai mare numărului mai mic, de exemplu la $3$ și $4$ îi dau lui $3$ suma mai mare.
Partea este valoarea comună înmulțită cu numărul ei, deci numărului mai mare îi corespunde partea mai mare. Verific la final dacă ordinea părților este aceeași cu ordinea numerelor.
La aflarea unui numărător necunoscut adun valoarea comună la numitor, de exemplu la $\dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{4}$ scriu $x=4+\dfrac{3}{4}$
Numărătorul se obține înmulțind valoarea comună cu numitorul: $x = \dfrac{3}{4}\times4 = 3$
Folosesc proprietatea sumei termenilor ca și cum ar însemna $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}$
Proprietatea spune că $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}$ cele trei rapoarte sunt egale între ele. Suma celor două fracții este un alt număr.
Găsesc părțile corecte, dar scriu răspunsul fără unitate, de exemplu doar $150$ și $200$
Scriu unitatea în răspuns: $150$ lei și $200$ lei, apoi verific că suma părților este suma dată, cu aceeași unitate.

Exerciții

Ușor

Este $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$ un șir de rapoarte egale?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\dfrac{1}{2}$
Completează șirul $\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{y}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=6$ $y=12$
Valoarea comună este $\dfrac{3}{4}$ Din $\dfrac{x}{8}=\dfrac{3}{4}$ rezultă $x=\dfrac{3}{4}\times8=6$ Din $\dfrac{9}{y}=\dfrac{3}{4}$ rezultă $3y=36$ deci $y=12$
Completează: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=1$
Valoarea comună este $\dfrac{1}{2}$ deci $x = \dfrac{1}{2}\times2 = 1$
Găsește valoarea comună a șirului $\dfrac{4}{8} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{x}{16}$ apoi află $x$
Arată răspunsul
Răspuns: Valoarea comună este $\dfrac{1}{2}$ $x=8$
$\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ $x=\dfrac{1}{2}\times16=8$
Împarte $100$ în două părți direct proporționale cu $2$ și $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ și $60$
Valoarea comună este $\dfrac{100}{2+3}=20$ $20\times2=40$ și $20\times3=60$ Verificare: $40+60=100$

Mediu

Este $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{14}{18}$ un șir de rapoarte egale? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$\dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$ care este diferit de $\dfrac{5}{6}$
Completează: $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{10}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=20$ $y=30$
Valoarea comună este $\dfrac{10}{2}=5$ $x=5\times4=20$ $y=5\times6=30$
Care este valoarea comună a șirului $\dfrac{3}{9} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{21}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{3}{9}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$
Completează: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{x}{20}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=15$
Valoarea comună este $\dfrac{3}{4}$ $x=\dfrac{3}{4}\times20=15$
Rezolvă $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ știind că $x + y = 21$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=9$ $y=12$
Valoarea comună este $\dfrac{21}{7}=3$ $x=3\times3=9$ $y=3\times4=12$
O sumă de $90$ de lei se împarte între două persoane, direct proporțional cu numerele $4$ și $5$ Câți lei primește fiecare?
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ lei și $50$ lei
Valoarea comună este $\dfrac{90}{9}=10$ $10\times4=40$ și $10\times5=50$
Un elev scrie șirul $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{14}$ Găsește greșeala și corectează-o.
Arată răspunsul
Răspuns: Al treilea raport este greșit; corect este $\dfrac{9}{15}$
$\dfrac{9}{14}$ nu este egal cu $\dfrac{3}{5}$ Pentru a păstra valoarea comună $\dfrac{3}{5}$ numărătorul $9$ cere numitorul $15$ $\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$
Împarte $144$ în trei părți direct proporționale cu numerele $2$ $3$ și $7$
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ $36$ $84$
Valoarea comună este $\dfrac{144}{12}=12$ $12\times2=24$ $12\times3=36$ $12\times7=84$
Trei elevi împart un premiu de $1200$ de lei, direct proporțional cu numerele $3$ $4$ și $5$ Câți lei primește fiecare?
Arată răspunsul
Răspuns: $300$ lei, $400$ lei și $500$ lei
Valoarea comună este $\dfrac{1200}{3+4+5}=\dfrac{1200}{12}=100$ $100\times3=300$ $100\times4=400$ $100\times5=500$

Provocare

Trei numere $x$ $y$ $z$ sunt direct proporționale cu $2$ $3$ și $5$ iar $x + z = 63$ Află numerele.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=18$ $y=27$ $z=45$
Valoarea comună este $\dfrac{x+z}{2+5}=\dfrac{63}{7}=9$ $x=9\times2=18$ $y=9\times3=27$ $z=9\times5=45$ Verificare: $18+45=63$
Este $\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{25}$ un șir de rapoarte egale? Motivează prin valoarea comună.
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{4}{10}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}$
Rezolvă $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}$ știind că $x + y + z = 40$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=8$ $y=12$ $z=20$
Valoarea comună este $\dfrac{40}{10}=4$ $x=4\times2=8$ $y=4\times3=12$ $z=4\times5=20$
Un teren se împarte între trei moștenitori, direct proporțional cu numerele $3$ $4$ și $5$ Cel mai mic primește $900$ m². Ce suprafață are terenul întreg?
Arată răspunsul
Răspuns: $3600$ m²
Numărului $3$ îi corespunde partea de $900$ m², deci valoarea comună este $900:3=300$ Suprafața totală este $300\times(3+4+5)=300\times12=3600$ m².

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este un șir de rapoarte egale?
1. Orice succesiune de fracții scrise una după alta
2. O egalitate între trei sau mai multe rapoarte, toate cu aceeași valoare
3. Suma mai multor rapoarte
4. Un raport cu trei termeni
Arată răspunsul
Răspuns: O egalitate între trei sau mai multe rapoarte, toate cu aceeași valoare
Un șir de rapoarte egale înseamnă trei sau mai multe rapoarte, toate egale între ele.
2. Care dintre următoarele este un șir de rapoarte egale?
1. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{10}$
2. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{9}$
3. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{9}$
4. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$
$\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{4}{6}$ și $\dfrac{6}{9}$ sunt toate egale cu $\dfrac{2}{3}$
3. Care este valoarea comună a șirului $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{5}$
Toate rapoartele se simplifică la $\dfrac{2}{5}$ care este egal cu $0{,}4$
4. Completează: $\dfrac{x}{7} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{9}{21}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=3$
Valoarea comună este $\dfrac{3}{7}$ deci $x=\dfrac{3}{7}\times7=3$
5. Ce spune proprietatea sumei termenilor pentru $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$
1. $\dfrac{a+c}{b+d} = a+c$
2. $a+c = b+d$
3. $\dfrac{a+c}{b+d} = k$
4. $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = k$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{a+c}{b+d} = k$
Suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă tot valoarea comună $k$ pentru că $a+c=k\cdot(b+d)$
6. Este $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{10}{16}$ un șir de rapoarte egale? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că $\dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$ diferit de $\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ dar $\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\neq\dfrac{3}{4}$ deci al treilea raport strică egalitatea.
7. Rezolvă $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$ știind că $x+y=24$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=9$ $y=15$
Valoarea comună este $\dfrac{24}{8}=3$ $x=3\times3=9$ $y=3\times5=15$
8. O sumă de $80$ de lei se împarte între două persoane, direct proporțional cu numerele $3$ și $5$ Câți lei primește fiecare?
Arată răspunsul
Răspuns: $30$ lei și $50$ lei
Valoarea comună este $\dfrac{80}{8}=10$ $10\times3=30$ și $10\times5=50$

Întrebări frecvente

Ce este un șir de rapoarte egale?

Este o egalitate între trei sau mai multe rapoarte, toate cu aceeași valoare, ca în $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}$

Cum verific dacă mai multe rapoarte formează un șir de rapoarte egale?

Simplifici fiecare raport la forma lui ireductibilă sau îi calculezi valoarea, apoi compari. Dacă toate au aceeași valoare, este un șir de rapoarte egale.

Ce este valoarea comună a unui șir de rapoarte egale?

Este valoarea pe care o au toate rapoartele din șir, notată de obicei cu $k$ O afli împărțind numărătorul la numitor, la orice raport complet cunoscut din șir.

Cum aflu un termen necunoscut dintr-un șir de rapoarte egale?

Calculezi întâi valoarea comună dintr-un raport complet cunoscut, apoi o folosești la termenul lipsă: numărătorul necunoscut este valoarea comună înmulțită cu numitorul lui.

Cum împart un număr în părți direct proporționale cu alte numere?

Împarți numărul dat la suma numerelor, ca să obții valoarea comună. Apoi înmulțești valoarea comună cu fiecare număr, ca să obții părțile. Suma părților trebuie să fie numărul dat.

Ce legătură are un șir de rapoarte egale cu o proporție?

O proporție este o egalitate între două rapoarte. Un șir de rapoarte egale extinde aceeași idee la trei sau mai multe rapoarte, iar oricare două dintre ele formează o proporție.

Ce vei învăța

Ideea de bază

De la proporție la șir de rapoarte egale

Ce este un șir de rapoarte egale

Verificarea unui șir de rapoarte egale

Valoarea comună a unui șir de rapoarte egale

Aflarea unui termen necunoscut cu ajutorul valorii comune

Proprietatea sumei termenilor

Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

Legătura cu fracțiile echivalente

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoașterea unui șir valid

Exemplul 2: verificarea egalității rapoartelor

Exemplul 3: completarea unui termen necunoscut

Exemplul 4: completarea a doi termeni necunoscuți

Exemplul 5: valoarea comună și un al patrulea raport

Exemplul 6: o schimbare care strică șirul

Exemplul 7: proprietatea sumei termenilor

Exemplul 8: împărțirea unei sume între doi frați

Exemplul 9: trei părți direct proporționale

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme