Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

Q: Ce este coeficientul de proporționalitate?

La mărimi direct proporționale este raportul constant y/x. La mărimi invers proporționale este produsul constant x × y.

Q: Cum verific dacă două mărimi sunt direct proporționale?

Calculezi raportul y/x pentru fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă raportul este mereu același, mărimile sunt direct proporționale.

Q: Cum verific dacă sunt invers proporționale?

Calculezi produsul x × y pentru fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă produsul este mereu același, mărimile sunt invers proporționale.

Aici înveți ce înseamnă că două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale, cum afli coeficientul de proporționalitate și cum verifici, printr-un tabel de valori, ce fel de relație există între ele.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști dacă două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale.
Verifici proporționalitatea directă printr-un raport constant și proporționalitatea inversă printr-un produs constant.
Determini coeficientul (constanta) de proporționalitate.
Recunoști pe un grafic mărimile direct proporționale: puncte pe o dreaptă care trece prin originea axelor.
Deosebești mărimile proporționale de mărimi care doar cresc sau scad împreună.
Rezolvi probleme simple cu mărimi direct sau invers proporționale.

Recomandat înainte: Șir de rapoarte egale

Ideea de bază

Dacă $1$ caiet costă $5$ lei, atunci $2$ caiete costă $10$ lei, $3$ caiete costă $15$ lei, iar $4$ caiete costă $20$ lei.

Numărul de caiete și costul lor, la preț unitar constant
Număr de caiete	Cost (lei)
$1$	$5$
$2$	$10$
$3$	$15$
$4$	$20$

Când numărul de caiete se dublează, costul se dublează și el. Aceasta este o proporționalitate directă.

Altă situație: $2$ persoane termină o lucrare în $12$ ore, toate lucrând în același ritm. Dacă numărul de persoane se dublează, $4$ persoane termină lucrarea în $6$ ore. Timpul se înjumătățește.

Un model simplificat

Exemplul cu ore de lucru presupune că toate persoanele lucrează în același ritm și că munca se împarte perfect între ele. În realitate pot apărea factori suplimentari, cum ar fi spațiul de lucru limitat. La acest nivel folosim modelul simplificat.

Aici numărul de persoane crește, iar timpul scade. Aceasta este o proporționalitate inversă.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant. Altfel spus, când una se înmulțește cu un număr nenul, și cealaltă se înmulțește cu același număr.

Exemple de mărimi direct proporționale: cantitatea și prețul, atunci când prețul unitar este constant; distanța și timpul, la viteză constantă; numărul de obiecte identice și masa lor totală.

Numărul de caiete și costul lor
Număr de caiete	Cost (lei)
$1$	$5$
$2$	$10$
$3$	$15$
$4$	$20$

Rapoartele dintre cost și numărul de caiete corespunzător formează un șir de rapoarte egale.

\dfrac{5}{1}=\dfrac{10}{2}=\dfrac{15}{3}=\dfrac{20}{4}=5

Coeficientul de proporționalitate

La mărimi direct proporționale, raportul dintre valorile corespunzătoare este mereu același număr. Acest număr este valoarea comună a șirului de rapoarte și se numește coeficientul de proporționalitate.

Pentru exemplul cu caietele, coeficientul de proporționalitate este costul împărțit la numărul de caiete.

\dfrac{\text{cost}}{\text{număr de caiete}} = 5

Valoarea $5$ este chiar prețul unui caiet, în lei, și rămâne aceeași pentru orice rând din tabel. Dacă notezi cu $x$ numărul de caiete și cu $y$ costul, atunci $y = 5 \cdot x$

Cum recunoaștem proporționalitatea directă

Ca să verifici dacă două mărimi $x$ și $y$ date printr-un tabel de valori, sunt direct proporționale, calculezi raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru fiecare pereche. Dacă raportul este mereu același, mărimile sunt direct proporționale.

Exemplu de mărimi direct proporționale
$x$	$y$
$1$	$4$
$2$	$8$
$3$	$12$

$\dfrac{4}{1}=\dfrac{8}{2}=\dfrac{12}{3}=4$ deci raportul $\dfrac{y}{x}$ este constant. Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $4$

Contraexemplu: nu este proporționalitate directă
$x$	$y$
$1$	$4$
$2$	$7$
$3$	$10$

$\dfrac{4}{1}=4$ dar $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ Raportul $\dfrac{y}{x}$ nu este constant, deci $x$ și $y$ nu sunt direct proporționale.

Proporționalitatea directă pe un grafic

Un kilogram de mere costă $2$ lei. Costul $y$ și cantitatea $x$ sunt direct proporționale, cu coeficientul $2$ adică $y = 2 \cdot x$ Pune datele într-un tabel, apoi pe un grafic: pe axa orizontală cantitatea în kilograme, pe axa verticală costul în lei.

Cantitatea de mere și costul
Mărime	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Cantitate (kg)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Cost (lei)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$

Toate punctele din tabel sunt pe o dreaptă care trece prin originea axelor. Pentru

3

kg citești pe axa verticală

6

lei.

Graficul a două mărimi direct proporționale are două semne după care îl recunoști.

Punctele sunt pe aceeași dreaptă.
Dreapta trece prin originea axelor: pentru $0$ kg plătești $0$ lei.

Ce vezi pe grafic se verifică prin calcul: pentru orice punct, cu $x$ diferit de $0$ raportul $\dfrac{y}{x}$ este același. Aici $\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = 2$ chiar coeficientul de proporționalitate.

O dreaptă nu este suficientă

Dacă dreapta nu trece prin originea axelor, mărimile nu sunt direct proporționale, chiar dacă punctele sunt aliniate. De exemplu, o taxă fixă plus un preț pe kilogram dă puncte pe o dreaptă, dar raportul $\dfrac{y}{x}$ nu mai este constant.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant. Altfel spus, când una se înmulțește cu un număr nenul, cealaltă se împarte la același număr.

Exemplu: o distanță de $120$ km este parcursă cu viteze diferite, fiecare constantă pe tot parcursul. Cu cât viteza este mai mare, cu atât timpul necesar este mai mic.

Viteza și timpul, pentru aceeași distanță de $120$ km
Viteză (km/h)	Timp (h)
$30$	$4$
$60$	$2$
$120$	$1$

Condiția din exemplu

Exemplul presupune că viteza rămâne constantă pe tot parcursul și că distanța nu se schimbă. Dacă viteza variază pe drum, relația nu mai este atât de simplă.

Când viteza se dublează, timpul se înjumătățește. Când viteza se înmulțește cu $4$ timpul se împarte la $4$

Cum recunoaștem proporționalitatea inversă

Ca să verifici dacă două mărimi $x$ și $y$ sunt invers proporționale, calculezi produsul $x \times y$ pentru fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă produsul este mereu același, mărimile sunt invers proporționale.

30 \times 4 = 120

60 \times 2 = 120

120 \times 1 = 120

Produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant, $120$ deci viteza și timpul sunt invers proporționale. Produsul este chiar distanța, $120$ km.

La mărimi invers proporționale, acest produs constant este coeficientul (constanta) de proporționalitate inversă.

Direct proporționale și invers proporționale

Comparație între cele două relații
Ce urmărești	Direct proporționale	Invers proporționale
Când prima mărime se dublează	A doua mărime se dublează.	A doua mărime se înjumătățește.
Ce rămâne constant	Raportul $\dfrac{y}{x}$	Produsul $x \times y$
Exemplu	Număr de caiete și cost	Viteză și timp, pe aceeași distanță

Nu ajunge să observi sensul de variație

Faptul că două mărimi cresc împreună, sau că una crește și cealaltă scade, nu este suficient. Verifici întotdeauna relația matematică: raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru proporționalitate directă sau produsul $x \times y$ pentru proporționalitate inversă.

Situații care nu sunt proporționale

Faptul că două mărimi cresc împreună nu înseamnă că sunt direct proporționale.

Vârsta unei persoane și înălțimea ei cresc amândouă în copilărie, dar nu sunt direct proporționale: raportul $\dfrac{\text{înălțime}}{\text{vârstă}}$ nu rămâne constant, iar după o anumită vârstă înălțimea nu mai crește deloc.

La fel, faptul că una crește și cealaltă scade nu înseamnă că sunt invers proporționale.

Una crește, cealaltă scade, dar produsul nu este constant
$x$	$y$	$x \times y$
$1$	$10$	$10$
$2$	$8$	$16$
$3$	$6$	$18$

Idee de reținut

Două mărimi pot varia împreună fără să fie proporționale. Verifici mereu raportul sau produsul, nu doar sensul în care se schimbă valorile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea proporționalității directe

Sunt mărimile din tabel direct proporționale? $x$ $2$ $5$ $8$ $y$ $6$ $15$ $24$

Vezi rezolvarea

\dfrac{6}{2} = 3

\dfrac{15}{5} = 3

\dfrac{24}{8} = 3

Raportul $\dfrac{y}{x}$ este constant, $3$ deci $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $3$

Exemplul 2: completarea unui tabel direct proporțional

Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $7$ Completează tabelul pentru $x=1$ $x=3$ $x=5$

Vezi rezolvarea

Din $\dfrac{y}{x}=7$ rezultă $y = 7 \times x$

Tabel completat, cu $y = 7 \times x$
$x$	$y$
$1$	$7$
$3$	$21$
$5$	$35$

Exemplul 3: verificare prin rapoarte

Sunt mărimile din tabel direct proporționale? $x$ $3$ $6$ $9$ $y$ $5$ $10$ $16$

Vezi rezolvarea

\dfrac{5}{3}

\dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}

simplificat prin 2

\dfrac{16}{9} \neq \dfrac{5}{3}

16 \times 3 = 48

iar

9 \times 5 = 45

Ultimul raport nu este egal cu primele două, deci mărimile nu sunt direct proporționale.

Exemplul 4: problemă cu mărimi direct proporționale

$3$ kg de mere costă $12$ lei. Cât costă $7$ kg de mere identice, la același preț unitar?

Vezi rezolvarea

Cantitatea și costul sunt direct proporționale, la preț unitar constant.

\dfrac{12}{3} = 4

coeficientul de proporționalitate, adică prețul unui kg, în lei

7 \times 4 = 28

$7$ kg de mere costă $28$ de lei.

Exemplul 5: identificarea proporționalității inverse

Sunt mărimile din tabel invers proporționale? $x$ $2$ $4$ $8$ $y$ $20$ $10$ $5$

Vezi rezolvarea

2 \times 20 = 40

4 \times 10 = 40

8 \times 5 = 40

Produsul $x \times y$ este constant, $40$ deci $x$ și $y$ sunt invers proporționale.

Exemplul 6: completarea unui tabel invers proporțional

Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, cu produsul constant $60$ Completează tabelul pentru $x=2$ $x=5$ $x=10$

Vezi rezolvarea

Din $x \times y = 60$ rezultă $y = 60 : x$

Tabel completat, cu $x \times y = 60$
$x$	$y$
$2$	$30$
$5$	$12$
$10$	$6$

Exemplul 7: verificare prin produse

Sunt mărimile din tabel invers proporționale? $x$ $3$ $6$ $9$ $y$ $12$ $6$ $5$

Vezi rezolvarea

3 \times 12 = 36

6 \times 6 = 36

9 \times 5 = 45

Ultimul produs nu este egal cu primele două, deci mărimile nu sunt invers proporționale.

Exemplul 8: direct, invers sau niciuna

Pentru fiecare pereche de mărimi, stabilește dacă sunt direct proporționale, invers proporționale sau niciuna. a) $x$ $2$ $4$ $6$ și $y$ $3$ $6$ $9$ b) $x$ $2$ $4$ $6$ și $y$ $12$ $6$ $4$ c) $x$ $2$ $4$ $6$ și $y$ $5$ $9$ $11$

Vezi rezolvarea

a) $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ Raportul este constant, deci mărimile sunt direct proporționale.

b) $2\times12=24$ $4\times6=24$ $6\times4=24$ Produsul este constant, deci mărimile sunt invers proporționale.

c) $\dfrac{5}{2}=2{,}5$ dar $\dfrac{9}{4}=2{,}25$ deci rapoartele nu sunt egale. Produsele sunt $2\times5=10$ și $4\times9=36$ deci nici ele nu sunt egale. Mărimile nu sunt nici direct, nici invers proporționale.

Exemplul 9: problemă cu mărimi invers proporționale

$4$ muncitori termină o lucrare în $9$ zile, lucrând în același ritm. În câte zile ar termina aceeași lucrare $6$ muncitori, la fel de eficienți?

Vezi rezolvarea

Numărul de muncitori și numărul de zile sunt invers proporționale: mai mulți muncitori termină lucrarea mai repede.

4 \times 9 = 36

constanta de proporționalitate inversă

36 : 6 = 6

$6$ muncitori ar termina lucrarea în $6$ zile.

Exemplul 10: care grafic arată proporționalitate directă

Care dintre cele două grafice arată două mărimi direct proporționale?

Vezi rezolvarea

Graficul 1

Graficul 2

Ambele grafice sunt drepte, dar doar dreapta din graficul 2 trece prin originea axelor.

Verificare prin rapoarte. Graficul 1: $\dfrac{2}{1} = 2$ dar $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ deci raportul nu este constant. Graficul 2: $\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = 2$

Graficul 2 arată mărimi direct proporționale, cu coeficientul $2$ Graficul 1 nu.

Exemplul 11: din tabel pe grafic, apoi o valoare nouă

Un robinet curge uniform: în $2$ minute dă $3$ litri, în $4$ minute dă $6$ litri. Reprezintă datele pe un grafic și află câți litri dă robinetul într-un minut.

Vezi rezolvarea

Pe axa orizontală pui minutele, pe cea verticală litrii. Pentru $0$ minute ai $0$ litri, deci graficul pornește din origine.

Pentru $1$ minut, graficul ajunge la jumătatea distanței dintre $1$ și $2$ litri. Prin calcul: coeficientul este $\dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ deci într-un minut robinetul dă $1{,}5$ litri.

Greșeli frecvente

Spun că mărimile sunt direct proporționale doar pentru că punctele de pe grafic sunt pe o dreaptă.
Dreapta trebuie să treacă și prin originea axelor. Verific și prin calcul că raportul $\dfrac{y}{x}$ este același pentru fiecare punct cu $x$ diferit de $0$
Cred că, dacă ambele mărimi cresc, atunci sunt direct proporționale, fără să verific raportul.
Verific raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru fiecare pereche de valori. Dacă nu este constant, mărimile nu sunt direct proporționale, chiar dacă ambele cresc.
Caut un raport constant acolo unde, de fapt, produsul este constant, și trag concluzia că mărimile nu sunt proporționale.
La mărimi direct proporționale raportul $\dfrac{y}{x}$ este constant. La mărimi invers proporționale produsul $x\times y$ este constant. Verific pe rând ambele posibilități.
Văd că $y$ este mereu cu $3$ mai mare decât $x$ la $x$ $2, 4, 6$ și $y$ $5, 7, 9$ și cred că mărimile sunt proporționale.
Proporționalitatea se verifică prin raport sau produs, nu prin diferențe. Aici $\dfrac{5}{2}=2{,}5$ dar $\dfrac{7}{4}=1{,}75$ deci raportul nu este constant.
Cred că la mărimi invers proporționale, dacă una crește cu $2$ cealaltă scade cu $2$
Cealaltă mărime se împarte la același număr cu care se înmulțește prima, nu scade cu aceeași diferență. De exemplu, când viteza se dublează, timpul se înjumătățește.
Calculez raportul $\dfrac{x}{y}$ pentru unele perechi și $\dfrac{y}{x}$ pentru altele, apoi compar rezultatele.
Păstrez aceeași ordine pentru toate perechile, de exemplu mereu $\dfrac{y}{x}$ ca rapoartele să fie comparabile.
Presupun că orice problemă cu prețuri este direct proporțională, chiar dacă prețul unitar nu este constant.
Verific dacă prețul unitar rămâne constant. Dacă prețul se schimbă, de exemplu printr-o reducere la cantități mari, cantitatea și costul nu mai sunt direct proporționale.
Ignor condiții din enunț, cum ar fi „preț unitar constant” sau „viteză constantă”, și aplic proporționalitatea oricum.
Aceste condiții sunt cele care fac relația proporțională. Fără ele, mărimile pot varia altfel, nu neapărat direct sau invers proporțional.

Exerciții

Ușor

Sunt mărimile direct proporționale? $x$ $1$ $2$ $3$ și $y$ $4$ $8$ $12$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Raportul $\dfrac{y}{x}$ este $4$ pentru toate perechile.
Sunt mărimile invers proporționale? $x$ $2$ $4$ $8$ și $y$ $16$ $8$ $4$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Produsul $x \times y$ este $32$ pentru toate perechile.
Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $6$ Cât este $y$ pentru $x=4$
Arată răspunsul
Răspuns: $y=24$
$y = 6 \times 4 = 24$
Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, cu produsul constant $48$ Cât este $y$ pentru $x=6$
Arată răspunsul
Răspuns: $y=8$
$y = 48 : 6 = 8$
$2$ kg de cartofi costă $8$ lei. Cât costă $5$ kg, la același preț unitar?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ de lei
Coeficientul de proporționalitate este $8:2=4$ lei pe kg; $5\times4=20$
Graficul arată costul unor caiete identice: pe axa orizontală numărul de caiete, pe cea verticală costul în lei. Cât costă $2$ caiete?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ lei
Pentru $2$ caiete, linia punctată duce pe axa verticală la $6$ lei.

Mediu

Sunt mărimile direct proporționale? $x$ $2$ $5$ $6$ și $y$ $8$ $20$ $23$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$\dfrac{8}{2}=4$ și $\dfrac{20}{5}=4$ dar $\dfrac{23}{6}$ nu este $4$ pentru că $4\times6=24$ Ultimul raport nu se potrivește.
Sunt mărimile invers proporționale? $x$ $3$ $5$ $9$ și $y$ $30$ $18$ $10$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$3\times30=90$ $5\times18=90$ $9\times10=90$ Produsul este constant.
Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale. Pentru $x=2$ avem $y=9$ Cât este $y$ pentru $x=6$
Arată răspunsul
Răspuns: $y=27$
Coeficientul de proporționalitate este $\dfrac{9}{2}=4{,}5$ $6\times4{,}5=27$
Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale. Pentru $x=4$ avem $y=15$ Cât este $y$ pentru $x=10$
Arată răspunsul
Răspuns: $y=6$
Produsul constant este $4\times15=60$ $60:10=6$
Stabilește ce fel de relație este între mărimile din tabel și motivează: $x$ $1$ $2$ $4$ și $y$ $24$ $12$ $6$
Arată răspunsul
Răspuns: Invers proporționale.
$1\times24=24$ $2\times12=24$ $4\times6=24$ Produsul este constant.
O mașină parcurge o distanță fixă cu viteza de $40$ km/h în $3$ ore. În câte ore ar parcurge aceeași distanță cu viteza de $60$ km/h?
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ ore
Distanța este $40\times3=120$ km; $120:60=2$ ore.
Un elev afirmă că vârsta și înălțimea unei persoane sunt direct proporționale, pentru că ambele cresc în timp. Este corect? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Raportul $\dfrac{\text{înălțime}}{\text{vârstă}}$ nu rămâne constant: după o anumită vârstă înălțimea nu mai crește, deși vârsta continuă să crească.
Se măsoară: $1$ kg de roșii costă $6$ lei, $2$ kg costă $12$ lei, $3$ kg costă $18$ lei. Sunt mărimile direct proporționale? Cât costă $7$ kg?
Arată răspunsul
Răspuns: Da; $42$ de lei.
$\dfrac{6}{1}=\dfrac{12}{2}=\dfrac{18}{3}=6$ raport constant. $7 \times 6 = 42$ de lei.
Arată acest grafic două mărimi direct proporționale? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Punctele sunt pe o dreaptă, dar dreapta nu trece prin originea axelor: pentru $0$ pe axa orizontală, valoarea este $2$ Și $\dfrac{3}{1} = 3$ dar $\dfrac{4}{2} = 2$ deci raportul nu este constant.

Provocare

$5$ robinete identice umplu un bazin în $8$ ore. În câte ore ar umple același bazin $10$ robinete identice?
Arată răspunsul
Răspuns: $4$ ore
Numărul de robinete și timpul sunt invers proporționale; constanta este $5\times8=40$ $40:10=4$
Sunt mărimile din tabel direct proporționale, invers proporționale sau niciuna? $x$ $2$ $3$ $5$ și $y$ $30$ $20$ $12$
Arată răspunsul
Răspuns: Invers proporționale.
$2\times30=60$ $3\times20=60$ $5\times12=60$ Produsul este constant.
Un elev spune: „Dacă produsul a două mărimi corespunzătoare este constant, atunci mărimile sunt direct proporționale.” Este corectă afirmația? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Produsul constant înseamnă mărimi invers proporționale. La mărimi direct proporționale, raportul este cel constant.
$8$ muncitori termină o lucrare în $15$ zile, lucrând în același ritm. Câți muncitori, la fel de eficienți, ar fi necesari pentru a termina lucrarea în $5$ zile?
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ de muncitori
Constanta de proporționalitate inversă este $8\times15=120$ $120:5=24$
Pe graficul a două mărimi direct proporționale, pentru $4$ pe axa orizontală citești $10$ pe axa verticală. Ce valoare corespunde lui $6$ Dar lui $0$
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ $0$
Coeficientul este $\dfrac{10}{4} = 2{,}5$ deci lui $6$ îi corespunde $6 \times 2{,}5 = 15$ Dreapta trece prin origine, deci lui $0$ îi corespunde $0$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă că două mărimi sunt direct proporționale?
1. Când ambele cresc, indiferent de raport
2. Raportul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant
3. Produsul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant
4. Suma valorilor lor corespunzătoare rămâne constantă
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant
Direct proporționale înseamnă raport constant: când una se înmulțește cu un număr, și cealaltă se înmulțește cu același număr.
2. Care tabel arată mărimi invers proporționale?
1. $x$ $2,4,8$ și $y$ $5,10,20$
2. $x$ $2,4,8$ și $y$ $3,6,9$
3. $x$ $2,4,8$ și $y$ $10,5,2{,}5$
4. $x$ $2,4,8$ și $y$ $1,2,4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x$ $2,4,8$ și $y$ $10,5,2{,}5$
$2\times10=20$ $4\times5=20$ $8\times2{,}5=20$ Produsul este constant, deci mărimile sunt invers proporționale.
3. Care este coeficientul de proporționalitate directă al perechilor $x=3, y=15$ și $x=5, y=25$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$\dfrac{15}{3}=5$ și $\dfrac{25}{5}=5$
4. Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, cu produsul constant $72$ Cât este $y$ pentru $x=8$
Arată răspunsul
Răspuns: $y=9$
$x \cdot y = 72$ deci $y = 72 : 8 = 9$
5. Cum verifici dacă două mărimi sunt direct proporționale, dintr-un tabel de valori?
1. Calculezi diferența $y-x$ pentru fiecare pereche
2. Vezi dacă ambele cresc
3. Calculezi suma $x+y$ pentru fiecare pereche
4. Calculezi raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru fiecare pereche și vezi dacă este constant
Arată răspunsul
Răspuns: Calculezi raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru fiecare pereche și vezi dacă este constant
Raportul constant $\dfrac{y}{x}$ este testul pentru proporționalitatea directă.
6. Sunt mărimile $x$ $1,2,4$ și $y$ $3,5,9$ direct proporționale? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că raportul $\dfrac{y}{x}$ nu este același: $\dfrac{3}{1}=3$ dar $\dfrac{5}{2}=2{,}5$
Raportul trebuie să fie identic pentru toate perechile, nu doar apropiat.
7. $4$ kg de zahăr costă $20$ de lei. Cât costă $6$ kg, la același preț unitar?
Arată răspunsul
Răspuns: $30$ de lei
Coeficientul de proporționalitate este $20:4=5$ lei pe kg; $6\times5=30$
8. Dacă două mărimi cresc în același timp, sunt neapărat direct proporționale?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, trebuie verificat dacă raportul $\dfrac{y}{x}$ rămâne constant.
Creșterea comună nu garantează proporționalitatea. Contează relația exactă dintre valori.
9. Cum arată graficul a două mărimi direct proporționale?
1. Puncte pe orice dreaptă, oriunde ar începe
2. Puncte care urcă tot mai repede
3. Puncte pe o dreaptă care trece prin originea axelor
4. O linie orizontală
Arată răspunsul
Răspuns: Puncte pe o dreaptă care trece prin originea axelor
Raportul $\dfrac{y}{x}$ constant înseamnă puncte pe o dreaptă care pornește din origine: lui $0$ îi corespunde $0$

Întrebări frecvente

Ce înseamnă mărimi direct proporționale?

Două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant. Când una se înmulțește cu un număr nenul, și cealaltă se înmulțește cu același număr.

Ce înseamnă mărimi invers proporționale?

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant. Când una se înmulțește cu un număr nenul, cealaltă se împarte la același număr.

Ce este coeficientul de proporționalitate?

La mărimi direct proporționale este raportul constant $\dfrac{y}{x}$ La mărimi invers proporționale este produsul constant $x \times y$

Cum verific dacă două mărimi sunt direct proporționale?

Calculezi raportul $\dfrac{y}{x}$ pentru fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă raportul este mereu același, mărimile sunt direct proporționale.

Cum verific dacă sunt invers proporționale?

Calculezi produsul $x \times y$ pentru fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă produsul este mereu același, mărimile sunt invers proporționale.

Dacă două mărimi cresc în același timp, sunt neapărat direct proporționale?

Nu. Faptul că ambele cresc nu este suficient; trebuie verificat dacă raportul dintre ele rămâne constant. Vârsta și înălțimea unei persoane, de exemplu, cresc împreună o vreme, dar nu sunt direct proporționale.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VI-a

Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

Ce vei învăța

Ideea de bază

Mărimi direct proporționale

Coeficientul de proporționalitate

Cum recunoaștem proporționalitatea directă

Proporționalitatea directă pe un grafic

Mărimi invers proporționale

Cum recunoaștem proporționalitatea inversă

Direct proporționale și invers proporționale

Situații care nu sunt proporționale

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea proporționalității directe

Exemplul 2: completarea unui tabel direct proporțional

Exemplul 3: verificare prin rapoarte

Exemplul 4: problemă cu mărimi direct proporționale

Exemplul 5: identificarea proporționalității inverse

Exemplul 6: completarea unui tabel invers proporțional

Exemplul 7: verificare prin produse

Exemplul 8: direct, invers sau niciuna

Exemplul 9: problemă cu mărimi invers proporționale

Exemplul 10: care grafic arată proporționalitate directă

Exemplul 11: din tabel pe grafic, apoi o valoare nouă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme