Scrierea numerelor naturale în baza 2

În baza 2 folosim numai cifrele 0 și 1. Se numește baza 2 fiindcă, la fiecare poziție, lucrăm cu puteri ale lui 2.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști cifrele care pot apărea într-un număr scris în baza 2.
Legi pozițiile unui număr de puterile lui 2.
Transformi un număr din baza 2 în baza 10.
Scrii un număr mic din baza 10 în baza 2.

Recomandat înainte: Scrierea numerelor naturale în baza 10

Ideea de bază

Și în baza 2 valoarea unei cifre depinde de locul ei. Pornind de la dreapta, pozițiile valorează 1, 2, 4, 8, 16 și așa mai departe.

Cifra 1 arată că folosim valoarea acelei poziții, iar cifra 0 arată că nu o folosim. De exemplu, în $101_2$ folosim 4 și 1, dar nu folosim 2.

Pozițiile și puterile lui 2

Fiecare pas spre stânga înseamnă o valoare de două ori mai mare. De aceea, pozițiile corespund puterilor lui 2.

Baza se scrie jos, ca indice: $101_2$ se citește „unu, zero, unu, în baza 2”, nu „o sută unu”.

Primele poziții într-un număr scris în baza 2
Poziția, de la dreapta	Puterea lui 2	Valoarea poziției
prima (unități)	$2^0$	$1$
a doua	$2^1$	$2$
a treia	$2^2$	$4$
a patra	$2^3$	$8$
a cincea	$2^4$	$16$

Citește de la dreapta

Într-un număr din baza 2, poziția din dreapta este $2^0$ apoi urmează $2^1$ $2^2$ $2^3$ și așa mai departe.

Din baza 2 în baza 10

Înmulțim fiecare cifră cu valoarea poziției sale, apoi adunăm rezultatele. Chiar dacă o cifră este 0, îi păstrăm poziția în descompunere.

101_2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 5

\begin{aligned}1101_2 &= 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 \\ &\quad + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 13\end{aligned}

Observă zeroul din interiorul lui $1001_2$ el păstrează locurile pentru 4 și 2, chiar dacă acestea nu se adună.

\begin{aligned}1001_2 &= 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 \\ &\quad + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 9\end{aligned}

Din baza 10 în baza 2

Scriem numărul ca o sumă de puteri diferite ale lui 2, începând cu cea mai mare putere care încape în el. Punem 1 la pozițiile pe care le folosim și 0 la cele pe care le sărim.

De exemplu, $10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1$ Folosim pozițiile pentru 8 și 2, dar nu pe cele pentru 4 și 1.

10_{10} = 1010_2

Completează toate pozițiile

De la $2^3$ la $2^0$ pentru 10 avem: 1, 0, 1, 0. Zerourile din mijloc sunt importante.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: din baza 2 în baza 10

Transformă $101_2$ în baza 10.

Vezi rezolvarea

\begin{aligned} 101_2 &= 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \\ &= 4 + 0 + 1 = 5 \end{aligned}

Exemplul 2: un zero în interior

Transformă $1101_2$ în baza 10.

Vezi rezolvarea

\begin{aligned} 1101_2 &= 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 \\ &\quad + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \\ &= 8 + 4 + 0 + 1 = 13 \end{aligned}

Exemplul 3: din baza 10 în baza 2

Scrie 10 în baza 2.

Vezi rezolvarea

$10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1$ Punem 1 la $2^3$ și la $2^1$ iar 0 la celelalte poziții.

10_{10} = 1010_2

Exemplul 4: încă o transformare

Scrie 13 în baza 2.

Vezi rezolvarea

Cea mai mare putere a lui 2 care încape în 13 este $8 = 2^3$ iar $13 - 8 = 5$ Din 5 luăm $4 = 2^2$ și rămâne 1, adică $2^0$ Deci $13 = 8 + 4 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^0$ La poziția lui 2 punem 0.

13_{10} = 1101_2

Greșeli frecvente

Scriu $102_2$
În baza 2 sunt permise numai cifrele 0 și 1.
În $1010_2$ ignor cifra 0 și obțin 11.
Zeroul păstrează o poziție. Numărul are patru poziții: 8, 4, 2 și 1.
În $1001_2$ cifra 1 valorează mereu 1.
Cifra 1 din stânga este la poziția lui 8, iar cea din dreapta este la poziția lui 1.
$10_2 = 10$
$10_2$ este scris în baza 2, deci $10_2 = 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 2$

Exerciții

Ușor

Transformă $11_2$ în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Transformă $1110_2$ în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $14$

Mediu

Completează: $1011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + \ldots \times 2^1 + 1 \times 2^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Cifra de la poziția $2^1$ în $1011_2$ este 1.
Transformă $1001_2$ în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
$8 + 0 + 0 + 1 = 9$
Scrie 6 în baza 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $110_2$
$6 = 4 + 2 = 2^2 + 2^1$
Scrie 9 în baza 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $1001_2$
$9 = 8 + 1$
Transformă $10101_2$ în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $21$
$16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21$
Scrie 25 în baza 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $11001_2$
$25 = 16 + 8 + 1 = 2^4 + 2^3 + 2^0$ deci cifrele de la $2^4$ la $2^0$ sunt 1, 1, 0, 0, 1.
Transformă $110010_2$ în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $50$
$32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 50$
Scrie 20 în baza 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $10100_2$
$20 = 16 + 4 = 2^4 + 2^2$ deci cifrele de la $2^4$ la $2^0$ sunt 1, 0, 1, 0, 0.

Provocare

Compară $1000_2$ cu $111_2$ Care număr este mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: $1000_2 = 8$ este mai mare decât $111_2 = 7$
$1000_2 = 8$ iar $111_2 = 4 + 2 + 1 = 7$ Poziția lui 8 valorează mai mult decât primele trei poziții adunate: $4 + 2 + 1 = 7$
Care este cel mai mare număr care se scrie cu patru cifre în baza 2? Scrie-l și în baza 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $1111_2 = 15$
Cel mai mare număr are 1 pe toate cele patru poziții: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care dintre numere nu poate fi scris în baza 2?
1. $1101$
2. $1021$
3. $1001$
4. $1110$
Arată răspunsul
Răspuns: $1021$
Numărul $1021$ conține cifra 2, iar în baza 2 sunt permise numai cifrele 0 și 1.
2. Ce cifre pot apărea într-un număr scris în baza 2?
1. 0 și 1
2. 1 și 2
3. 0, 1 și 2
4. orice cifră de la 0 la 9
Arată răspunsul
Răspuns: 0 și 1
Baza 2 folosește numai cifrele 0 și 1.
3. Completează: $2^3 = ?$
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
4. Cât este $1100_2$ în baza 10?
1. 3
2. 6
3. 12
4. 24
Arată răspunsul
Răspuns: 12
$1100_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12$
5. Scrie 18 în baza 2.
Arată răspunsul
Răspuns: 10010
$18 = 16 + 2 = 2^4 + 2^1$ deci $18_{10} = 10010_2$

Întrebări frecvente

De ce apare cifra 0 într-un număr din baza 2?

Ea arată că nu folosim valoarea acelei poziții. Totuși, păstrează locul pentru celelalte cifre.

Cum verific o transformare în baza 2?

Descompune numărul după puterile lui 2 și adună valorile pozițiilor unde apare cifra 1.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Scrierea numerelor naturale în baza 2

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Scrierea numerelor naturale în baza 2

Ce vei învăța

Ideea de bază

Pozițiile și puterile lui 2

Din baza 2 în baza 10

Din baza 10 în baza 2

Exemple rezolvate

Exemplul 1: din baza 2 în baza 10

Exemplul 2: un zero în interior

Exemplul 3: din baza 10 în baza 2

Exemplul 4: încă o transformare

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I