Dacă n este un număr natural, \(n\ge 2\), atunci puterea a n-a a numărului natural a se notează cu \(a^{n}\) și se citește „a la puterea n”.
Definiție
\[a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot …\cdot a}_\text{de n ori},\] unde a este baza puterii, iar n este exponentul puterii.
Puterea zero a unui număr natural nenul a este prin definiție 1; notăm \(a^{0}=1\) și citim „a la puterea zero este egal cu unu”.
Puterea întâi a unui număr a este a; notăm \(a^{1}=a\) și citim „a la puterea întâi este egal cu a”. Prin convenție dacă un număr nu are nici o putere scrisă, înseamnă că este la puterea întâi.
Observație:
Nu se definește \(0^{0}\) (altfel spus, nu are sens).
Ridicarea la putere
Operația prin care se obține puterea unui număr se numește ridicarea la putere.
Reguli de calcul
Oricare ar fi numerele \(a,m\) și \(n,a\neq 0\), au loc următoarele reguli de calcul:
- \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) (se păstrează baza și se adună exponenți);
- \(a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\) (se păstrează baza și se scad exponenți);
- \(\left( a^{m} \right)^{n}=a^{m\cdot n}\) (se păstrează baza și se înmulțesc exponenți);
- \(\left( a\cdot b \right)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}\) (exponentul unui produs se distribuie fiecărui factor);
- \(\left( a:b \right)^{m}=a^{m}:b^{m}\) ( exponentul unui cât se distribuie fiecărui factor);
Exemple:
\(2^{2}\cdot 2^{3}=2^{2+3}=2^{5}\)
\(2^{2}\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32\)
\(2^{5}=32\)
\(32=32\)
\(2^{3}: 2=2^{3-1}=2^{2}\)
\(2^{3}: 2=8:2=4\)
\(2^{2}=4\)
\(4=4\)
\(\left( 3^{2} \right)^{3}=3^{2\cdot 3}=3^{6}\)
\(\left( 3^{2} \right)^{3}=9^{3}=729\)
\(3^{6}=729\)
\(729=729\)
\(\left( 2\cdot 3 \right)^{2}=2^{2}\cdot 3^{2}\)
\(\left( 2\cdot 3 \right)^{2}=5^{2}=36\)
\(2^{2}\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36\)
\(36=36\)
\(\left( 9:3 \right)^{2}=9^{2}:3^{2}\)
\(\left( 9:3 \right)^{2}=3^{2}=9\)
\(9^{2}:3^{2}=81:9=9\)
\(9=9\)
Observații:
Dacă nu sunt paranteze, operațiile se efectuează de la stânga la dreapta, în următoarea ordine:
- ridicările la putere;
- înmulțirile și împărțirile în ordinea în care sunt scrise;
- adunările și scăderile, în ordinea în care sunt scrise;
Dacă sunt paranteze, se fac calculele din parantezele rotunde (mici), apoi cele din parantezele drepte (mari) și în final din acolade.
Pentru efectuara rapidă a unor calcule se recomandă memorea unor puteri ale numerelor 2, 3, 4 și 5.
\(2^{1}=2\)
\(3^{1}=3\)
\(4^{1}=4\)
\(5^{1}=5\)
\(2^{2}=4\)
\(3^{2}=9\)
\(4^{2}=16\)
\(5^{2}=25\)
\(2^{3}=8\)
\(3^{3}=27\)
\(4^{3}=64\)
\(5^{3}=125\)
\(2^{4}=16\)
\(3^{4}=81\)
\(4^{4}=256\)
\(5^{4}=625\)