Relații între mulțimi

Între două mulțimi te întrebi dacă elementele uneia se găsesc și în cealaltă. Dacă toate elementele lui $A$ sunt și în $B$, spui că $A$ este inclusă în $B$ și scrii $A \subset B$.

Dacă, în plus, și toate elementele lui $B$ sunt în $A$, atunci cele două mulțimi au exact aceleași elemente și sunt egale: $A = B$.

Nu confunda cele două relații. $x \in A$ leagă un element de o mulțime. $A \subset B$ leagă o mulțime de altă mulțime.

Scrierea $x \in A$ înseamnă „$x$ este element al mulțimii $A$”. Scrierea $x \notin A$ înseamnă că $x$ nu este element al lui $A$. În stânga semnului stă un singur obiect, în dreapta o mulțime.

Pentru $A = \{2, 4, 6\}$ avem $4 \in A$ și $5 \notin A$. Aici trecem mai departe: comparăm două mulțimi între ele, nu un element cu o mulțime.

Spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ dacă fiecare element al lui $A$ este și element al lui $B$. Se scrie $A \subset B$ și se citește „$A$ este inclusă în $B$” sau „$A$ este submulțime a lui $B$”.

Fie $A = \{1, 2\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Verific pe rând elementele lui $A$: $1 \in B$, $2 \in B$. Toate elementele lui $A$ sunt în $B$, deci $A \subset B$.

Dacă $A$ are măcar un element care nu se află în $B$, atunci $A$ nu este inclusă în $B$. Scriem $A \not\subset B$. De exemplu, pentru $C = \{2, 6\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ avem $6 \notin B$, deci $C \not\subset B$.

O submulțime a lui $B$ este orice mulțime formată numai din elemente ale lui $B$. „$A$ este submulțime a lui $B$” înseamnă același lucru cu $A \subset B$.

Fie $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Mulțimea $A = \{2, 4\}$ este submulțime a lui $B$, pentru că $2$ și $4$ sunt în $B$. Mulțimea $C = \{2, 6\}$ nu este submulțime a lui $B$, pentru că $6$ nu este în $B$.

Două submulțimi le are orice mulțime: mulțimea vidă $\varnothing$ și mulțimea însăși. $\varnothing \subset B$ pentru că nu are niciun element care să lipsească din $B$. $B \subset B$ pentru că orice element al lui $B$ este, evident, în $B$.

Toate submulțimile lui $\{a, b, c\}$ sunt: $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$ și $\{a, b, c\}$. Sunt $8$ la număr: le iei după câte elemente au, ca să nu îți scape niciuna.

Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente. Scriem $A = B$.

Ordinea în care scrii elementele nu contează. $\{1, 2, 3\}$ și $\{3, 2, 1\}$ au aceleași elemente, deci $\{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\}$.

Nici repetarea nu schimbă mulțimea. Într-o mulțime, un element se scrie o singură dată, așa că $\{1, 2, 2, 3\}$ este de fapt $\{1, 2, 3\}$.

Poți verifica egalitatea prin dublă incluziune: $A = B$ înseamnă $A \subset B$ și $B \subset A$ în același timp. Dacă una dintre incluziuni nu este adevărată, mulțimile nu sunt egale.

Cele două semne se folosesc în situații diferite. $\in$ stă între un element și o mulțime. $\subset$ stă între două mulțimi.

Fie $A = \{1, 2\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Sunt corecte: $1 \in A$ (elementul $1$ este în $A$) și $A \subset B$ (mulțimea $A$ este inclusă în $B$).

• $1 \subset A$ este greșit: $1$ este un element, nu o mulțime.
• $A \in B$ este greșit aici: $A$ este o mulțime, iar $B$ nu are ca element mulțimea $\{1, 2\}$, ci numerele $1$, $2$, $3$, $4$.
• $\{1\} \subset A$ este corect: $\{1\}$ este o mulțime cu un element, iar acel element este în $A$.
• $\{1\} \in A$ este greșit: elementele lui $A$ sunt $1$ și $2$, nu mulțimea $\{1\}$.