Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

O mulțime este finită dacă poți număra elementele ei una câte una și numărătoarea se termină. O mulțime este infinită dacă lista elementelor continuă fără sfârșit, oricât ai număra.

Pentru o mulțime finită $A$, numărul elementelor ei distincte se numește cardinalul lui $A$ și se scrie $\operatorname{card}(A)$. De exemplu, pentru $A = \{2, 4, 6, 8\}$ avem $\operatorname{card}(A) = 4$.

Mulțimea numerelor naturale, notată $\mathbb{N}$, este infinită: după orice număr natural urmează altul mai mare, deci nu are un ultim element.

Într-o mulțime, fiecare element se scrie o singură dată, chiar dacă îl numești de mai multe ori. Mulțimea $\{1, 1, 2, 3, 3\}$ este de fapt $\{1, 2, 3\}$.

Când numeri elementele unei mulțimi, numeri deci obiectele diferite dintre acolade. Aici te întrebi ceva mai simplu: numărătoarea se termină sau nu?

O mulțime este finită dacă îi poți număra elementele una câte una și, la un moment dat, te oprești. Adică există un ultim element numărat.

• Lunile anului: ianuarie, februarie, ..., decembrie. Sunt $12$ și te oprești.
• Zilele săptămânii: sunt $7$.
• Literele distincte din cuvântul „carte”: $\{c, a, r, t, e\}$, sunt $5$.
• Divizorii lui $10$: $\{1, 2, 5, 10\}$, sunt $4$.

O mulțime finită poate avea foarte multe elemente. Mulțimea firelor de nisip de pe o plajă este finită: nu le-am număra niciodată în practică, dar numărul lor este un număr fixat, nu unul fără sfârșit.

O mulțime este infinită dacă lista elementelor ei continuă fără sfârșit. Oricât ai număra, mai rămâne mereu cel puțin un element nenumărat.

• Numerele naturale: $0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ După fiecare număr vine altul.
• Numerele naturale pare: $0, 2, 4, 6, 8, \ldots$ Nu există un ultim număr par.
• Multiplii lui $5$: $0, 5, 10, 15, 20, \ldots$ Poți merge oricât de departe.

Semnul $\ldots$ scris la capătul unei liste, după un tipar clar, arată că mulțimea continuă la nesfârșit. Îl folosești doar când primele elemente lasă tiparul evident.

Întreabă-te dacă poți scrie, măcar în principiu, o listă completă a elementelor. Dacă da, mulțimea este finită. Dacă lista nu se poate termina, mulțimea este infinită.

Cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor ei distincte. Pentru o mulțime $A$ se scrie $\operatorname{card}(A)$ și se citește „cardinalul lui $A$”.

Pentru $B = \{a, e, i, o, u\}$ avem $\operatorname{card}(B) = 5$. Numeri pur și simplu câte elemente sunt scrise în mulțime.

Dacă în scrierea mulțimii un element apare de mai multe ori, îl numeri o singură dată. Mulțimea $\{1, 1, 2, 3, 3\}$ este $\{1, 2, 3\}$, deci cardinalul ei este $3$, nu $5$.

O mulțime poate să nu aibă niciun element. Este mulțimea vidă, notată $\varnothing$. Cardinalul ei este $0$: $\operatorname{card}(\varnothing) = 0$.

Numerele folosite la numărat, împreună cu $0$, formează mulțimea numerelor naturale. Se notează cu $\mathbb{N}$:

În matematica din școala din România, $0$ este număr natural: $0 \in \mathbb{N}$. Cel mai mic număr natural este $0$. Un cel mai mare număr natural nu există.

Mulțimea $\mathbb{N}$ este infinită. Oricare ar fi un număr natural $n$, numărul $n + 1$ este tot natural și este mai mare, deci lista nu se poate termina.

Numerele naturale fără $0$ formează o submulțime a lui $\mathbb{N}$, notată $\mathbb{N}^*$:

Alte submulțimi ale lui $\mathbb{N}$ pe care le folosești des sunt numerele pare $\{0, 2, 4, 6, \ldots\}$, numerele impare $\{1, 3, 5, 7, \ldots\}$ și numerele prime $\{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}$. Toate sunt infinite.

Numerele naturale se așază pe o semiaxă: o linie cu un punct de pornire în $0$ și o săgeată spre dreapta. Marcajele sunt egal depărtate, iar valoarea se scrie sub fiecare marcaj.

Pe semiaxă se vede și de ce $\mathbb{N}$ este infinită: după fiecare marcaj mai urmează unul, la aceeași distanță, oricât de departe mergi.