Adunarea și scăderea numerelor întregi

Q: Cum aduni două numere întregi cu același semn?

Aduni modulele celor două numere și păstrezi semnul comun. 3 + 5 = 8; (-3) + (-5) = -8.

Q: Cât este suma a două numere opuse?

Întotdeauna 0. De exemplu 5 + (-5) = 0, pentru că cele două numere sunt la aceeași distanță de 0, în părți opuse.

Q: Cum calculezi o expresie cu mai multe adunări și scăderi?

De la stânga la dreapta, pas cu pas. De exemplu 5 - 8 + 3: întâi 5 - 8 = -3, apoi -3 + 3 = 0.

Ce vei învăța

Aduni două numere întregi de același semn.
Aduni două numere întregi de semne diferite.
Aduni un număr întreg cu $0$
Înțelegi rolul opusului în scădere.
Transformi scăderea unui număr întreg într-o adunare cu opusul lui.
Calculezi expresii cu mai multe adunări și scăderi, de la stânga la dreapta.
Verifici intuitiv rezultatul unei adunări sau scăderi pe axa numerelor.

Recomandat înainte: Numere întregi. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

Ideea de bază

Când adunăm două numere cu același semn, adunăm modulele și păstrăm semnul comun. Când adunăm două numere cu semne diferite, scădem modulul mai mic din modulul mai mare și rezultatul ia semnul numărului cu modulul mai mare.

Scăderea unui număr întreg înseamnă adunarea opusului lui: $a - b = a + (-b)$ Așa transformi orice scădere într-o adunare pe care deja știi să o faci.

Zero nu schimbă niciun număr la adunare: $a + 0 = a$

Adunarea numerelor cu același semn

Două numere pozitive se adună exact ca numerele naturale: pornești din poziția primului număr și te miști spre dreapta cu a doua valoare.

3 + 5 = 8

Două numere negative se adună la fel, dar mișcarea pe axă este spre stânga, pentru că amândouă numerele sunt negative. Un exemplu din viața de zi cu zi: datorezi $3$ lei și mai datorezi $5$ lei, deci datorezi în total $8$ lei.

(-3) + (-5) = -8

Aduni modulele celor două numere: $3 + 5 = 8$
Păstrezi semnul comun al celor două numere: amândouă erau negative, deci rezultatul este negativ, $-8$

Aceeași regulă pentru amândouă cazurile

Pozitiv + pozitiv: aduni modulele, rezultatul este pozitiv. Negativ + negativ: aduni modulele, rezultatul este negativ. Diferă doar semnul rezultatului, care este semnul comun al celor doi termeni.

Adunarea numerelor cu semne diferite

Când cei doi termeni au semne diferite, unul te trage spre dreapta, celălalt spre stânga, iar mișcările se anulează în parte. Gândește-te la bani: ai $7$ lei și datorezi $3$ lei. Plătești datoria și îți rămân $7 - 3 = 4$ lei, deci $7 + (-3) = 4$ Dacă ai $3$ lei și datorezi $7$ lei, după ce dai tot ce ai tot mai rămâi dator cu $7 - 3 = 4$ lei, deci $3 + (-7) = -4$ Rezultatul depinde de care modul este mai mare.

Compari modulele celor două numere.
Scazi modulul mai mic din modulul mai mare.
Rezultatul ia semnul numărului cu modulul mai mare.

7 + (-3)

module: 7 și 3

7 - 3 = 4

scazi modulul mic din cel mare

7 + (-3) = 4

semnul lui

7

(modulul mai mare), pozitiv

(-7) + 3

module: 7 și 3

7 - 3 = 4

scazi modulul mic din cel mare

(-7) + 3 = -4

semnul lui

-7

(modulul mai mare), negativ

Un caz special foarte important: dacă cele două numere sunt opuse, modulele lor sunt egale, deci diferența modulelor este $0$

Numere opuse: suma este $0$

Orice număr adunat cu opusul lui dă $0$ $5 + (-5) = 0$ Are sens pe axă: pornești din $5$ și te miști cu $5$ spre stânga, ajungi exact în $0$

Adunarea cu zero

Zero nu mișcă nimic pe axă. Orice număr adunat cu $0$ rămâne același număr.

a + 0 = a

$(-6) + 0 = -6$
$0 + 9 = 9$

Scăderea numerelor întregi

Ideea centrală a scăderii numerelor întregi: a scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui.

a - b = a + (-b)

Practic, transformi orice scădere într-o adunare pe care deja știi să o rezolvi: scrii opusul lui $b$ și aduni.

De ce este corect? Urmărește un șir de scăderi în care al doilea număr scade din $1$ în $1$ Rezultatul crește cu $1$ la fiecare pas, iar șirul continuă firesc și dincolo de $0$

Șirul de scăderi $7 - b$ cu $b$ tot mai mic
Scădere	Rezultat
$7 - 3$	$4$
$7 - 2$	$5$
$7 - 1$	$6$
$7 - 0$	$7$
$7 - (-1)$	$8$
$7 - (-2)$	$9$
$7 - (-3)$	$10$

Rezultatele $8, 9, 10$ coincid cu $7 + 1$ $7 + 2$ $7 + 3$ Deci $7 - (-3) = 7 + 3$ a scădea $-3$ înseamnă a aduna opusul lui, adică $3$

7 - 3

scazi un număr pozitiv

= 7 + (-3)

opusul lui

3

este

-3

= 4

7 - (-3)

scazi un număr negativ

= 7 + 3

opusul lui

-3

este

3

= 10

-4 - 5

scazi un număr pozitiv

= -4 + (-5)

opusul lui

5

este

-5

= -9

-4 - (-5)

scazi un număr negativ

= -4 + 5

opusul lui

-5

este

5

= 1

Scăderea unui negativ devine adunare

$7 - (-3) = 7 + 3 = 10$ nu $4$ Scazi numărul $-3$ deci aduni opusul lui, care este $3$ $4$ este rezultatul lui $7 - 3$ altă operație. Aceasta este cea mai frecventă greșeală de la această lecție.

Minus cu două roluri

Semnul $-$ apare în două situații diferite, și este important să nu le confunzi.

În $-5$ minusul arată semnul numărului: este numărul negativ cinci.
În $7 - 5$ minusul este operația de scădere: din $7$ scazi $5$

Când cele două roluri apar în aceeași expresie, precum $7 - (-3)$ paranteza te ajută să vezi clar: scăderea (primul $-$ se aplică lui $-3$ (al doilea $-$ semnul numărului).

Axa numerelor

Adunarea și scăderea numerelor întregi înseamnă mișcare pe axă: adunarea unui pozitiv te mișcă spre dreapta, adunarea unui negativ te mișcă spre stânga. Scăderea, transformată în adunare cu opusul, urmează aceeași regulă.

-2

3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 + 5 = 3

pornești din

-2

și te miști

5

unități spre dreapta (pentru că aduni un număr pozitiv), ajungi în

3

La fel poți verifica o scădere, după ce o transformi în adunare cu opusul: $2 - 5 = 2 + (-5) = -3$

2

-3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

2 - 5 = 2 + (-5) = -3

pornești din

2

și te miști

5

unități spre stânga (pentru că aduni opusul lui

5

adică

-5

ajungi în

-3

Un exemplu în care treci prin $0$ $4 + (-6) = -2$ Pornești din $4$ și te miști $6$ unități spre stânga: $4$ unități până în $0$ apoi încă $2$ până în $-2$

O metodă de gândire, pas cu pas

Pentru $-8 + 3$

Semnele sunt diferite $-8$ este negativ, $3$ este pozitiv).
Modulele sunt $8$ și $3$
Scazi modulul mic din cel mare: $8 - 3 = 5$
Modulul mai mare, $8$ aparține lui $-8$ deci rezultatul ia semnul lui $-8$
Rezultat: $-5$

Pentru $-8 - 3$

Transformi scăderea în adunare cu opusul: $-8 - 3 = -8 + (-3)$
Acum semnele sunt la fel, amândouă negative.
Aduni modulele: $8 + 3 = 11$
Păstrezi semnul comun, negativ.
Rezultat: $-11$

Expresii cu mai multe adunări și scăderi

Când o expresie are doar adunări și scăderi, o calculezi în ordine, de la stânga la dreapta.

5 - 8 + 3

= (5 - 8) + 3

calculezi întâi de la stânga

= -3 + 3

= 0

-4 + 7 - 6

= (-4 + 7) - 6

= 3 - 6

= -3

10 - (-2) + (-5)

= (10 + 2) + (-5)

scăderea unui negativ devine adunare

= 12 + (-5)

= 7

Exemple rezolvate

Exemplul 1: pozitiv + pozitiv

Calculează $6 + 9$

Vezi rezolvarea

Amândouă numerele sunt pozitive, deci aduni modulele și păstrezi semnul pozitiv.

6 + 9 = 15

Exemplul 2: negativ + negativ

Calculează $(-7) + (-12)$

Vezi rezolvarea

Amândouă numerele sunt negative. Aduni modulele, $7 + 12 = 19$ și păstrezi semnul negativ.

(-7) + (-12) = -19

Exemplul 3: semne diferite, rezultat pozitiv

Calculează $15 + (-6)$

Vezi rezolvarea

Module: $15$ și $6$ Scazi: $15 - 6 = 9$ Modulul mai mare, $15$ este pozitiv, deci rezultatul este pozitiv.

15 + (-6) = 9

Exemplul 4: semne diferite, rezultat negativ

Calculează $8 + (-13)$

Vezi rezolvarea

Module: $8$ și $13$ Scazi: $13 - 8 = 5$ Modulul mai mare, $13$ aparține lui $-13$ deci rezultatul este negativ.

8 + (-13) = -5

Exemplul 5: numere opuse

Calculează $17 + (-17)$

Vezi rezolvarea

$17$ și $-17$ sunt numere opuse, la aceeași distanță de $0$ Suma lor este întotdeauna $0$

17 + (-17) = 0

Exemplul 6: pozitiv minus negativ

Calculează $9 - (-4)$

Vezi rezolvarea

Transformi scăderea în adunare cu opusul lui $-4$ care este $4$

9 - (-4) = 9 + 4 = 13

Exemplul 7: negativ minus pozitiv

Calculează $-6 - 10$

Vezi rezolvarea

Transformi scăderea în adunare cu opusul lui $10$ care este $-10$

-6 - 10 = -6 + (-10) = -16

Exemplul 8: negativ minus negativ

Calculează $-9 - (-3)$

Vezi rezolvarea

Transformi scăderea în adunare cu opusul lui $-3$ care este $3$

-9 - (-3) = -9 + 3 = -6

Exemplul 9: o problemă cu temperaturi

Dimineața temperatura era $-4^\circ\text{C}$ Până la prânz a crescut cu $9$ grade, iar seara a scăzut cu $7$ grade față de prânz. Ce temperatură a fost seara?

Vezi rezolvarea

O creștere înseamnă adunare, iar o scădere de temperatură înseamnă scădere. Calculezi pe rând.

-4 + 9 = 5

La prânz:

5^\circ\text{C}

5 - 7 = 5 + (-7) = -2

Seara:

-2^\circ\text{C}

Greșeli frecvente

Scriu $7 - (-3) = 4$
Greșit. Scăderea unui număr negativ devine adunare: $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$ $4$ ar fi răspunsul la $7 - 3$ o altă expresie.
Scriu $(-3) + (-5) = 2$
Greșit. La același semn, aduni modulele și păstrezi semnul comun: $3 + 5 = 8$ semnul este negativ, deci $(-3) + (-5) = -8$
La semne diferite, adun modulele în loc să le scad, de exemplu $7 + (-3) = 10$
Greșit. La semne diferite scazi modulul mic din cel mare: $7 - 3 = 4$ cu semnul numărului cu modulul mai mare (aici, $7$ pozitiv), deci $7 + (-3) = 4$
Cred că la semne diferite rezultatul este mereu negativ, de exemplu $9 + (-4) = -5$
Greșit. Semnul rezultatului este semnul numărului cu modulul mai mare, nu mereu minus. Aici $9$ are modulul mai mare și este pozitiv, deci $9 + (-4) = 5$
Scriu $5 - 8 = 3$ pentru că scad numărul mai mic din cel mai mare.
Ordinea contează: $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$ Pe axă, pornești din $5$ și te miști $8$ unități spre stânga, deci treci de $0$ și ajungi în $-3$
Scriu $-6 - 4 = -2$ pentru că „minus cu minus face plus”.
Aici $4$ este pozitiv, deci nu scazi un număr negativ: $-6 - 4 = -6 + (-4) = -10$ Scazi un număr negativ doar când el apare între paranteze, ca în $-6 - (-4) = -6 + 4 = -2$

Exerciții

Ușor

Calculează $4 + 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $13$
Calculează $(-6) + (-8)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-14$
Aduni modulele, $6 + 8 = 14$ și păstrezi semnul negativ.
Calculează $12 + (-5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Module $12$ și $5$ $12 - 5 = 7$ semnul lui $12$ (pozitiv).
Calculează $(-10) + 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-7$
Module $10$ și $3$ $10 - 3 = 7$ semnul lui $-10$ (negativ).
Calculează $15 + (-15)$
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
$15$ și $-15$ sunt numere opuse, suma lor este $0$
Calculează $-7 + 0$
Arată răspunsul
Răspuns: $-7$
Adunarea cu $0$ nu schimbă numărul.

Mediu

Calculează $8 - 13$
Arată răspunsul
Răspuns: $-5$
$8 - 13 = 8 + (-13) = -5$
Calculează $-5 - 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $-14$
$-5 - 9 = -5 + (-9) = -14$
Calculează $10 - (-6)$
Arată răspunsul
Răspuns: $16$
$10 - (-6) = 10 + 6 = 16$
Calculează $-7 - (-2)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-5$
$-7 - (-2) = -7 + 2 = -5$
Dimineața erau $8^\circ\text{C}$ iar noaptea au fost $-5^\circ\text{C}$ Cu câte grade a scăzut temperatura?
Arată răspunsul
Răspuns: $13$ grade.
Diferența este $8 - (-5) = 8 + 5 = 13$
Completează: $-12 + \square = 0$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
Numărul căutat este opusul lui $-12$ adică $12$
Calculează $6 - 9 + 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
$6 - 9 = -3$ $-3 + 4 = 1$
Calculează $-3 + 8 - 10$
Arată răspunsul
Răspuns: $-5$
$-3 + 8 = 5$ $5 - 10 = -5$
Calculează $12 - 20 + 7 - 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $-6$
$12 - 20 = -8$ $-8 + 7 = -1$ $-1 - 5 = -6$
Un scafandru se află la $-12$ m față de nivelul mării. Urcă $5$ m, apoi coboară $9$ m. La ce altitudine ajunge?
Arată răspunsul
Răspuns: $-16$ m.
$-12 + 5 = -7$ apoi $-7 - 9 = -7 + (-9) = -16$

Provocare

Care rezultat este mai mare: $7 - 12$ sau $-3 + (-1)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-3 + (-1) = -4$ este mai mare decât $7 - 12 = -5$
$7 - 12 = -5$ $-3 + (-1) = -4$ Compari: $-4 > -5$
Găsește numărul care completează: $\square + (-9) = -2$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Dacă $x + (-9) = -2$ atunci $x = -2 - (-9) = -2 + 9 = 7$ Verificare: $7 + (-9) = -2$
Găsește numărul care completează: $-15 - \square = -6$
Arată răspunsul
Răspuns: $-9$
Dacă $-15 - x = -6$ atunci $x = -15 - (-6) = -15 + 6 = -9$ Verificare: $-15 - (-9) = -15 + 9 = -6$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $(-8) + (-5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-13$
Aduni modulele, $8 + 5 = 13$ și păstrezi semnul comun, negativ.
2. Cât este $10 + (-4)$
1. $-6$
2. $6$
3. $14$
4. $-14$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
Module $10$ și $4$ $10 - 4 = 6$ semnul lui $10$ (pozitiv).
3. Cât este $9 + (-9)$
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
$9$ și $-9$ sunt numere opuse, suma lor este întotdeauna $0$
4. Cât este $7 - (-5)$
1. $2$
2. $-2$
3. $12$
4. $-12$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
Scăderea unui negativ devine adunare: $7 - (-5) = 7 + 5 = 12$
5. Cât este $-6 - 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $-15$
$-6 - 9 = -6 + (-9) = -15$
6. Cât este $-3 + 8 - 6$
Arată răspunsul
Răspuns: $-1$
De la stânga la dreapta: $-3 + 8 = 5$ $5 - 6 = -1$
7. Cât este $-4 - (-9)$
1. $-13$
2. $-5$
3. $13$
4. $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$-4 - (-9) = -4 + 9 = 5$ Răspunsul $-13$ vine din $-4 - 9$ altă expresie.
8. $7 - (-9)$ se scrie ca adunare $7 + \square$ Ce număr completează spațiul?
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
Scazi un negativ, deci aduni opusul lui, adică $9$ $7 - (-9) = 7 + 9 = 16$

Întrebări frecvente

Cum aduni două numere întregi cu același semn?

Aduni modulele celor două numere și păstrezi semnul comun. $3 + 5 = 8$ $(-3) + (-5) = -8$

Cum aduni două numere întregi cu semne diferite?

Scazi modulul mai mic din modulul mai mare. Rezultatul ia semnul numărului cu modulul mai mare. $7 + (-3) = 4$ $(-7) + 3 = -4$

Cât este suma a două numere opuse?

Întotdeauna $0$ De exemplu $5 + (-5) = 0$ pentru că cele două numere sunt la aceeași distanță de $0$ în părți opuse.

Cum scazi numere întregi?

Transformi scăderea într-o adunare cu opusul numărului scăzut: $a - b = a + (-b)$ De exemplu $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$

De ce

7 - (-3) = 10

și nu

4

Pentru că scazi un număr negativ, iar scăderea unui negativ devine adunare: $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$ $4$ ar fi rezultatul lui $7 - 3$ altă expresie.

Cum calculezi o expresie cu mai multe adunări și scăderi?

De la stânga la dreapta, pas cu pas. De exemplu $5 - 8 + 3$ întâi $5 - 8 = -3$ apoi $-3 + 3 = 0$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Adunarea numerelor cu același semn

Adunarea numerelor cu semne diferite

Adunarea cu zero

Scăderea numerelor întregi

Minus cu două roluri

Axa numerelor

O metodă de gândire, pas cu pas

Expresii cu mai multe adunări și scăderi

Exemple rezolvate

Exemplul 1: pozitiv + pozitiv

Exemplul 2: negativ + negativ

Exemplul 3: semne diferite, rezultat pozitiv

Exemplul 4: semne diferite, rezultat negativ

Exemplul 5: numere opuse

Exemplul 6: pozitiv minus negativ

Exemplul 7: negativ minus pozitiv

Exemplul 8: negativ minus negativ

Exemplul 9: o problemă cu temperaturi

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme