Ce înseamnă condiția a ≠ 0 într-o ecuație de gradul al II-lea?

Dacă a=0, termenul cu x² dispare, iar ecuația devine de gradul I (sau o afirmație fără necunoscută). Condiția a ≠ 0 este obligatorie pentru ca ecuația să fie de gradul al II-lea.

Cum rezolv o ecuație incompletă de tipul ax²+c=0?

Izolezi x², obținând x²=-c/a. Dacă -c/a>0, ecuația are două soluții, ± √(-c/a). Dacă -c/a=0, soluția este 0. Dacă -c/a<0, ecuația nu are soluții reale.

Ecuații de gradul al II-lea – Clasa a VIII-a

Ce vei învăța

Recunoști o ecuație de gradul al II-lea și identifici coeficienții $a$ $b$ $c$ din forma standard.
Aduci la forma standard o ecuație reductibilă, cu termeni pe ambele părți sau cu paranteze.
Rezolvi ecuațiile incomplete $ax^2=0$ $ax^2+bx=0$ și $ax^2+c=0$
Rezolvi o ecuație de gradul al II-lea prin descompunere în factori, folosind formule de calcul prescurtat sau factor comun și grupare.
Aplici proprietatea produsului nul și verifici soluțiile obținute.
Folosești ecuațiile de gradul al II-lea în rezolvarea unor probleme aplicative.

Recomandat înainte: Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

Ideea de bază

Metoda de bază este proprietatea produsului nul: un produs este 0 doar dacă cel puțin unul dintre factori este 0. De aceea, orice rezolvare începe cu aducerea ecuației la forma $ax^2+bx+c=0$ și continuă cu descompunerea membrului stâng în factori:

x^2-6x+9=0

formă standard,

a=1

b=-6

c=9

(x-3)^2=0

pătrat perfect

x-3=0 \ \Rightarrow \ x=3

Ce este o ecuație de gradul al II-lea

O ecuație de gradul al II-lea cu necunoscuta x are forma standard:

ax^2+bx+c=0, \quad a \neq 0

unde $a$ $b$ $c$ sunt numere reale, numite coeficienți. Condiția $a \neq 0$ este obligatorie: dacă $a=0$ termenul cu $x^2$ dispare și rămâne o ecuație de gradul I sau o afirmație fără necunoscută.

Recunoașterea gradului unei ecuații.
Ecuație	a	b	c	Grad
$3x^2-5x+1=0$	$3$	$-5$	$1$	II
$2x-7=0$	$0$	$2$	$-7$	I (fără $x^2$
$x^2-4=x^2+1$ adică $-5=0$	$0$	$0$	$-5$	nu e ecuație în $x$

Condiția $a \neq 0$ nu se sare peste

Dacă simplifici termenii cu $x^2$ de pe cele două părți ale ecuației, verifică ce rămâne: coeficientul lui $x^2$ poate deveni 0, iar ecuația nu mai este de gradul al II-lea.

Forma standard. Ecuații reductibile

De multe ori ecuația nu apare direct sub formă standard: termenii sunt pe ambele părți ale semnului egal, sunt scriși în altă ordine sau apar paranteze. Înainte să identifici $a$ $b$ $c$ aduci ecuația la forma $ax^2+bx+c=0$

Desfaci parantezele, dacă există.
Muți toți termenii de o singură parte a semnului egal (de obicei acolo unde rămâne $x^2$ cu semnul $+$
Reduci termenii asemenea.
Verifici că ai obținut forma $ax^2+bx+c=0$ cu $a \neq 0$ apoi identifici $a$ $b$ $c$

5x^2=3x-7

termeni pe ambele părți

5x^2-3x+7=0

muți totul în stânga

a=5,\ b=-3,\ c=7

Atenție la semne când muți un termen

Când muți un termen de pe o parte pe alta a semnului egal, îi schimbi semnul. Verifică fiecare termen în parte, nu doar pe ultimul.

Ecuații incomplete: $ax^2=0$ $ax^2+bx=0$ $ax^2+c=0$

O ecuație de gradul al II-lea este incompletă dacă lipsește termenul cu $x$ $b=0$ sau termenul liber $c=0$ Ecuațiile incomplete se rezolvă direct, fără să mai fie nevoie de o formulă de calcul prescurtat.

Cele trei tipuri de ecuații incomplete.
Tip	Metodă	Exemplu	Soluții
$ax^2=0$	împarți prin $a$ obții $x^2=0$	$5x^2=0$	$x=0$ (soluție dublă)
$ax^2+bx=0$	scoți factorul comun $x$	$2x^2-8x=0$	$x=0$ sau $x=4$
$ax^2+c=0$	izolezi $x^2$ apoi radical	$x^2-16=0$	$x=4$ sau $x=-4$

x^2+9=0

izolezi

x^2

x^2=-9

\text{fără soluții reale}

niciun pătrat de număr real nu este negativ

Numărul de soluții reale nu este mereu 2

O ecuație $ax^2+c=0$ are două soluții reale dacă $-\dfrac{c}{a}>0$ o soluție (dublă, $x=0$ dacă $c=0$ și nicio soluție reală dacă $-\dfrac{c}{a}<0$ Verifici întotdeauna semnul înainte să scrii radicalul.

Rezolvare prin formule de calcul prescurtat

Dacă membrul stâng este un pătrat perfect sau o diferență de pătrate, recunoști tiparul din formulele de calcul prescurtat, descompui direct și aplici proprietatea produsului nul.

a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

4x^2+4x+1=0

pătrat perfect:

(2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 1+1^2

(2x+1)^2=0

2x+1=0 \ \Rightarrow \ x=-\dfrac{1}{2}

o singură soluție (dublă)

9x^2-25=0

diferență de pătrate:

(3x)^2-5^2

(3x-5)(3x+5)=0

3x-5=0 \ \text{sau} \ 3x+5=0

x=\dfrac{5}{3} \ \text{sau} \ x=-\dfrac{5}{3}

Rezolvare prin factor comun și grupare

Când nu recunoști o formulă de calcul prescurtat, încerci factorul comun sau gruparea. La un trinom $ax^2+bx+c$ uneori termenul cu $x$ se poate „sparge” în doi termeni astfel încât gruparea să scoată un factor comun.

x^2-x-6=0

spargi

-x=-3x+2x

x^2-3x+2x-6=0

x(x-3)+2(x-3)=0

grupezi câte doi termeni

(x-3)(x+2)=0

x=3 \ \text{sau} \ x=-2

Verifică prin înlocuire

După ce găsești soluțiile, le înlocuiești în ecuația inițială. Pentru $x=3$ $9-3-6=0$ ✓. Pentru $x=-2$ $4+2-6=0$ ✓.

Proprietatea produsului nul. Algoritm de rezolvare

A \cdot B = 0 \ \Leftrightarrow \ A=0 \ \text{sau} \ B=0

Această proprietate funcționează doar când produsul este egal cu 0. Dacă ecuația are forma $x(x-3)=4$ NU poți pune $x=4$ sau $x-3=4$ mai întâi aduci totul la forma standard și abia apoi descompui.

Aduci ecuația la forma standard $ax^2+bx+c=0$
Verifici că $a \neq 0$
Alegi metoda: ecuație incompletă, formulă de calcul prescurtat, factor comun sau grupare.
Descompui membrul stâng într-un produs de factori egal cu 0.
Pui fiecare factor egal cu 0 și rezolvi ecuațiile de gradul I obținute.
Verifici soluțiile prin înlocuire în ecuația inițială, dacă este necesar.

Aplicații

Ecuațiile de gradul al II-lea apar în probleme cu arii sau cu numere. După ce rezolvi ecuația, verifici dacă toate soluțiile matematice au sens în context.

x^2=49

aria unui pătrat cu latura

x

cm este 49 cm²

x=7 \ \text{sau} \ x=-7

x=7 \ \text{cm}

lungimea unei laturi nu poate fi negativă

Nu toate soluțiile matematice sunt soluții ale problemei

O ecuație poate avea o soluție negativă corectă din punct de vedere algebric, dar fără sens pentru o lungime, o vârstă sau un număr de obiecte. Păstrezi doar soluțiile compatibile cu enunțul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoașterea unei ecuații de gradul II

Care dintre ecuațiile de mai jos este de gradul al II-lea? a) $3x^2-5x+1=0$ b) $2x-7=0$ c) $x^2-4=x^2+1$

Vezi rezolvarea

a) Are termenul $3x^2$ cu $a=3 \neq 0$ este de gradul al II-lea. b) Nu are niciun termen cu $x^2$ este de gradul I. c) Simplificând $x^2$ de pe cele două părți rămâne $-4=1$ o afirmație falsă, fără necunoscută: nu este o ecuație de gradul al II-lea în $x$

Exemplul 2: forma standard, coeficienți negativi

Scrie sub formă standard și precizează $a$ $b$ $c$ $5x^2=3x-7$

Vezi rezolvarea

5x^2-3x+7=0

muți termenii din dreapta în stânga

a=5,\ b=-3,\ c=7

Exemplul 3: forma standard, termeni neordonați

Scrie sub formă standard: $-2x+3x^2-8=0$

Vezi rezolvarea

3x^2-2x-8=0

rearanjezi termenii

a=3,\ b=-2,\ c=-8

Exemplul 4: ecuație incompletă $ax^2=0$

Rezolvă $5x^2=0$

Vezi rezolvarea

x^2=0

împarți prin 5

x=0

soluție dublă

Exemplul 5: ecuație incompletă $ax^2+bx=0$

Rezolvă $2x^2-8x=0$

Vezi rezolvarea

2x(x-4)=0

scoți factorul comun

2x

2x=0 \ \text{sau} \ x-4=0

x=0 \ \text{sau} \ x=4

Exemplul 6: ecuație incompletă $ax^2+c=0$ cu două soluții

Rezolvă $x^2-16=0$

Vezi rezolvarea

x^2=16

izolezi

x^2

x=4 \ \text{sau} \ x=-4

Poți verifica și prin diferența de pătrate: $x^2-16=(x-4)(x+4)=0$ dă exact aceleași soluții.

Exemplul 7: ecuație incompletă fără soluții reale

Rezolvă $x^2+9=0$

Vezi rezolvarea

x^2=-9

\text{fără soluții reale}

niciun pătrat de număr real nu este negativ

Exemplul 8: pătrat perfect

Rezolvă $x^2-6x+9=0$

Vezi rezolvarea

(x-3)^2=0

x-3=0 \ \Rightarrow \ x=3

soluție dublă

Exemplul 9: diferență de pătrate cu coeficient

Rezolvă $9x^2-25=0$

Vezi rezolvarea

(3x-5)(3x+5)=0

x=\dfrac{5}{3} \ \text{sau} \ x=-\dfrac{5}{3}

Exemplul 10: ecuație reductibilă, de forma $(x+m)^2=k$

Rezolvă $(x+1)^2=4$

Vezi rezolvarea

x+1=2 \ \text{sau} \ x+1=-2

un pătrat egal cu 4 înseamnă bază

\pm 2

x=1 \ \text{sau} \ x=-3

Verificare prin forma standard: $(x+1)^2=4 \Rightarrow x^2+2x+1-4=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0$ Prin grupare: $x^2+3x-x-3=x(x+3)-1(x+3)=(x+3)(x-1)=0$ deci $x=-3$ sau $x=1$ aceleași soluții.

Exemplul 11: ecuație reductibilă, termeni pe ambele părți

Rezolvă $3x^2-2x=2x^2+4x$

Vezi rezolvarea

3x^2-2x-2x^2-4x=0

muți totul în stânga

x^2-6x=0

x(x-6)=0

x=0 \ \text{sau} \ x=6

Exemplul 12: descompunere prin grupare

Rezolvă $x^2-x-6=0$

Vezi rezolvarea

x^2-3x+2x-6=0

spargi

-x

în

-3x+2x

x(x-3)+2(x-3)=0

(x-3)(x+2)=0

x=3 \ \text{sau} \ x=-2

Verificare: pentru $x=3$ $9-3-6=0$ ✓. Pentru $x=-2$ $4+2-6=0$ ✓.

Exemplul 13: aplicație cu aria unui pătrat

Aria unui pătrat cu latura $x$ cm este 49 cm². Află lungimea laturii.

Vezi rezolvarea

x^2=49

x=7 \ \text{sau} \ x=-7

x=7 \ \text{cm}

o latură are lungime pozitivă

Exemplul 14: aplicație cu numere

Pătratul unui număr natural este egal cu triplul lui. Află numărul.

Vezi rezolvarea

x^2=3x

x

este numărul căutat

x^2-3x=0

x(x-3)=0

x=0 \ \text{sau} \ x=3

Ambele soluții sunt numere naturale, deci problema are două răspunsuri: 0 și 3. Verificare: $0^2=3 \cdot 0$ ✓ și $3^2=9=3 \cdot 3$ ✓.

Exemplul 15: găsește greșeala, soluție uitată

Un elev a rezolvat $x^2=9$ și a scris doar $x=3$ Este soluția completă?

Vezi rezolvarea

Nu. Și $(-3)^2=9$ deci ecuația are două soluții: $x=3$ sau $x=-3$ Elevul a uitat rădăcina negativă.

Video

Greșeli frecvente

La $3x^2-9=0$ scriu $x^2=9$ (am uitat să împart prin 3), deci $x=\pm 3$
Corect: $3x^2=9 \Rightarrow x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$ Împarți întreaga ecuație prin coeficientul lui $x^2$ nu doar termenul liber.
La $x^2=25$ scriu doar $x=5$
$x=\pm 5$ pentru că și $(-5)^2=25$ O ecuație $x^2=k$ cu $k>0$ are întotdeauna două soluții.
La $x^2-6x=0$ simplific prin $x$ și obțin $x-6=0$ deci $x=6$
Nu poți împărți printr-o expresie care poate fi 0 fără să verifici. Corect: $x(x-6)=0 \Rightarrow x=0$ sau $x=6$ Împărțirea prin $x$ pierde soluția $x=0$
Descompun $x^2-16$ ca $(x-4)(x-4)$
$x^2-16=(x-4)(x+4)$ diferență de pătrate, cu semne diferite, nu pătrat perfect.
La $x^2-3x=4$ scriu $x(x-3)=4$ deci $x=4$ sau $x-3=4$
Proprietatea produsului nul se aplică doar când produsul este egal cu 0. Aduci întâi ecuația la forma standard: $x^2-3x-4=0$ apoi descompui membrul stâng.
$(x-3)^2=x^2-9$
$(x-3)^2=x^2-6x+9$ Termenul dublu $-6x$ nu poate lipsi din dezvoltare.
$2x-5+0\cdot x^2=0$ este o ecuație de gradul al II-lea, pentru că are $x^2$ scris în ea.
Dacă $a=0$ termenul cu $x^2$ dispare, iar ecuația devine de gradul I. Condiția $a \neq 0$ este obligatorie pentru o ecuație de gradul al II-lea.
La problema ariei unui pătrat, din $x^2=49$ dau ca răspuns final $x=\pm 7$
Lungimea unei laturi nu poate fi negativă, deci păstrezi doar soluția compatibilă cu enunțul: $x=7$
$(x+1)^2=0$ are două soluții, $x=1$ și $x=-1$
$(x+1)^2=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$ o singură soluție (soluție dublă).

Exerciții

Ușor

Precizează $a$ $b$ $c$ pentru $2x^2-5x+3=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $a=2$ $b=-5$ $c=3$
Ecuația este deja sub formă standard.
Precizează $a$ $b$ $c$ pentru $-x^2+4=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $a=-1$ $b=0$ $c=4$
Nu apare niciun termen cu $x$ deci $b=0$
Scrie sub formă standard: $x^2=5x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2-5x=0$ cu $a=1$ $b=-5$ $c=0$
Muți $5x$ în stânga.
Rezolvă $x^2-25=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=5$ sau $x=-5$
$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5$
Rezolvă $x^2+4=0$
Arată răspunsul
Răspuns: Nicio soluție reală.
$x^2=-4$ iar niciun pătrat real nu este negativ.
Rezolvă $3x^2=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$ (soluție dublă).
$x^2=0 \Rightarrow x=0$
Rezolvă $x^2-9x=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$ sau $x=9$
$x(x-9)=0$
Rezolvă $x^2-4x+4=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=2$ (soluție dublă).
$(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$
Rezolvă $4x^2-1=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\dfrac{1}{2}$ sau $x=-\dfrac{1}{2}$
$(2x-1)(2x+1)=0$
Verifică prin înlocuire dacă $x=-2$ este soluție a ecuației $x^2+3x+2=0$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$(-2)^2+3 \cdot (-2)+2=4-6+2=0$

Mediu

Scrie sub formă standard și precizează $a$ $b$ $c$ $2x^2+3x=x^2-5$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2+3x+5=0$ cu $a=1$ $b=3$ $c=5$
Muți toți termenii în stânga: $2x^2+3x-x^2+5=0$
Rezolvă $5x^2+10x=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$ sau $x=-2$
$5x(x+2)=0$
Rezolvă $x^2-10x+25=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=5$ (soluție dublă).
$(x-5)^2=0$
Rezolvă $9x^2+12x+4=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=-\dfrac{2}{3}$ (soluție dublă).
$(3x+2)^2=0$ pentru că $9x^2+12x+4=(3x)^2+2 \cdot 3x \cdot 2+2^2$
Rezolvă $16x^2-9=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\dfrac{3}{4}$ sau $x=-\dfrac{3}{4}$
$(4x-3)(4x+3)=0$
Rezolvă $(x-3)^2=16$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=7$ sau $x=-1$
$x-3=4$ sau $x-3=-4$
Rezolvă $x^2+2x-15=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=3$ sau $x=-5$
Spargi $2x=5x-3x$ $x^2+5x-3x-15=x(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x-3)=0$
Rezolvă $2x^2-3x=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$ sau $x=\dfrac{3}{2}$
$x(2x-3)=0$
Rezolvă $x^2-7=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\sqrt{7}$ sau $x=-\sqrt{7}$
$x^2=7$ 7 nu este pătrat perfect, deci soluțiile sunt iraționale.
Numărul natural $x$ verifică $x^2+x=0$ Care sunt valorile posibile ale lui $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$
$x(x+1)=0 \Rightarrow x=0$ sau $x=-1$ doar $x=0$ este număr natural.
Un elev a scris $x^2-16=0 \Rightarrow x=4$ Corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=4$ sau $x=-4$
$x^2=16$ are două soluții: $\pm 4$
Rezolvă $x^2+6x+9=0$ și precizează câte soluții distincte are.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=-3$ o singură soluție (dublă).
$(x+3)^2=0$

Provocare

Rezolvă $3(x-1)^2=27$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=4$ sau $x=-2$
$(x-1)^2=9 \Rightarrow x-1=\pm 3$
Rezolvă $x^2-3x=2x^2-3x-4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=2$ sau $x=-2$
$-x^2+4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$
Aria unui pătrat crește cu $24$ cm² dacă latura crește cu $4$ cm. Care este lungimea $x$ a laturii inițiale?
Arată răspunsul
Răspuns: $x=1$ cm.
$(x+4)^2-x^2=24 \Rightarrow x^2+8x+16-x^2=24 \Rightarrow 8x=8 \Rightarrow x=1$ Termenii cu $x^2$ se reduc, ecuația devine de gradul I.
Rezolvă $x^2-x-12=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=4$ sau $x=-3$
Spargi $-x=-4x+3x$ $x(x-4)+3(x-4)=(x-4)(x+3)=0$
Un elev a rezolvat $2x^2=8$ astfel: $x^2=8$ deci $x=\sqrt{8}$ Găsește greșeala.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=2$ sau $x=-2$
Elevul nu a împărțit corect prin 2: $2x^2=8 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$ nu $x^2=8$
Rezolvă $x(x-5)=0$ și verifică ambele soluții prin înlocuire.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$ sau $x=5$
$0 \cdot (0-5)=0$ ✓; $5 \cdot (5-5)=0$ ✓.
Un teren dreptunghiular are lungimea cu $3$ m mai mare decât lățimea, iar aria lui este de $40$ m². Notează lățimea cu $x$ (în metri), scrie ecuația care modelează problema, rezolvă-o și află dimensiunile terenului. Care dintre soluțiile ecuației nu are sens pentru problemă?
Arată răspunsul
Răspuns: Lățimea $5$ m, lungimea $8$ m; soluția $x=-8$ se respinge.
$x(x+3)=40 \Rightarrow x^2+3x-40=0$ Grupare: $x^2+8x-5x-40 = x(x+8)-5(x+8) = (x+8)(x-5)=0$ deci $x=-8$ sau $x=5$ O lățime nu poate fi negativă, deci $x=5$ m și lungimea $5+3=8$ m. Verificare: $5 \cdot 8 = 40$ m² ✓.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Forma standard a unei ecuații de gradul al II-lea este:
1. $ax+b=0$
2. $ax^3+bx^2+c=0$
3. $ax^2+bx+c=0$ cu $a \neq 0$
4. $ax^2+b=0$ cu $a=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $ax^2+bx+c=0$ cu $a \neq 0$
Condiția $a \neq 0$ este obligatorie, altfel termenul cu $x^2$ dispare.
2. Pentru ecuația $3x^2-5x+2=0$ valoarea lui $b$ este:
1. $-5$
2. $5$
3. $3$
4. $2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-5$
$b$ este coeficientul lui $x$ cu semnul din enunț.
3. Ecuația $4x^2=0$ are soluția:
1. $x=4$
2. $x=\dfrac{1}{4}$
3. fără soluție
4. $x=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=0$
$x^2=0 \Rightarrow x=0$ soluție dublă.
4. Ecuația $x^2+16=0$ în mulțimea numerelor reale:
1. are soluțiile $\pm 4$
2. nu are soluții reale
3. are soluția 16
4. are soluția $-16$
Arată răspunsul
Răspuns: nu are soluții reale
$x^2=-16$ iar niciun pătrat de număr real nu este negativ.
5. Rezolvând $x^2-49=0$ obții:
1. $x=7$
2. $x=49$
3. $x=\pm 7$
4. $x=-7$ doar
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm 7$
$x^2=49$ are două soluții, $7$ și $-7$
6. Din $(x-2)^2=0$ obții:
1. două soluții, $x=2$ și $x=-2$
2. soluția $x=4$
3. nicio soluție
4. o singură soluție, $x=2$
Arată răspunsul
Răspuns: o singură soluție, $x=2$
$(x-2)^2=0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2$ soluție dublă.
7. Pentru a rezolva $x^2-5x=0$ prin factor comun scrii:
1. $x(x-5)=0$
2. $(x-5)(x+5)=0$
3. $x^2=5x^2$
4. $5x=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x(x-5)=0$
Scoți factorul comun $x$ din cei doi termeni.
8. Rezolvă $2x^2-18=0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=3$ sau $x=-3$
$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$
9. Scrie sub formă standard $5x=2x^2-3$ și precizează $a$ $b$ $c$
Arată răspunsul
Răspuns: $2x^2-5x-3=0$ cu $a=2$ $b=-5$ $c=-3$
Muți $5x$ în dreapta: $0=2x^2-3-5x$
10. Un elev spune că ecuația $x^2-4=0$ nu are soluții reale, pentru că „un pătrat nu poate fi negativ”. Ce este greșit în raționamentul lui?
1. Ecuația chiar nu are soluții
2. Din $x^2-4=0$ rezultă $x^2=4$ iar $4$ este pozitiv, deci există soluții
3. Ecuația are o singură soluție, $x=4$
4. Ecuația este de gradul I
Arată răspunsul
Răspuns: Din $x^2-4=0$ rezultă $x^2=4$ iar $4$ este pozitiv, deci există soluții
$x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4$ iar $4$ este pozitiv, deci există soluții: $x=\pm 2$ Raționamentul elevului ar fi valabil pentru $x^2+4=0$

Întrebări frecvente

Ce înseamnă condiția

a \neq 0

într-o ecuație de gradul al II-lea?

Dacă $a=0$ termenul cu $x^2$ dispare, iar ecuația devine de gradul I (sau o afirmație fără necunoscută). Condiția $a \neq 0$ este obligatorie pentru ca ecuația să fie de gradul al II-lea.

Cum rezolv o ecuație incompletă de tipul

ax^2+c=0

Izolezi $x^2$ obținând $x^2=-\dfrac{c}{a}$ Dacă $-\dfrac{c}{a}>0$ ecuația are două soluții, $\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ Dacă $-\dfrac{c}{a}=0$ soluția este $0$ Dacă $-\dfrac{c}{a}<0$ ecuația nu are soluții reale.

De ce

(x-3)^2=0

are o singură soluție?

Pentru că $(x-3)^2=0$ este echivalent cu $x-3=0$ o singură ecuație de gradul I. Spunem că $x=3$ este soluție dublă a ecuației de gradul al II-lea.

Ce fac dacă termenii ecuației sunt pe ambele părți ale semnului egal?

Muți toți termenii de o singură parte, schimbându-le semnul, reduci termenii asemenea și obții forma standard $ax^2+bx+c=0$ Abia apoi alegi metoda de rezolvare.

Cum aleg metoda de rezolvare pentru o ecuație de gradul al II-lea?

Verifici întâi dacă este incompletă (lipsește $b$ sau $c$ Dacă nu, cauți o formulă de calcul prescurtat (pătrat perfect sau diferență de pătrate). Dacă nu se potrivește nicio formulă, încerci factorul comun sau gruparea.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o ecuație de gradul al II-lea

Forma standard. Ecuații reductibile

Ecuații incomplete: ax2=0ax^2=0ax2=0,, ax2+bx=0ax^2+bx=0ax2+bx=0,, ax2+c=0ax^2+c=0ax2+c=0

Rezolvare prin formule de calcul prescurtat

Rezolvare prin factor comun și grupare

Proprietatea produsului nul. Algoritm de rezolvare

Aplicații

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoașterea unei ecuații de gradul II

Exemplul 2: forma standard, coeficienți negativi

Exemplul 3: forma standard, termeni neordonați

Exemplul 4: ecuație incompletă ax2=0ax^2=0ax2=0

Exemplul 5: ecuație incompletă ax2+bx=0ax^2+bx=0ax2+bx=0

Exemplul 6: ecuație incompletă ax2+c=0ax^2+c=0ax2+c=0,, cu două soluții

Exemplul 7: ecuație incompletă fără soluții reale

Exemplul 8: pătrat perfect

Exemplul 9: diferență de pătrate cu coeficient

Exemplul 10: ecuație reductibilă, de forma (x+m)2=k(x+m)^2=k(x+m)2=k

Exemplul 11: ecuație reductibilă, termeni pe ambele părți

Exemplul 12: descompunere prin grupare

Exemplul 13: aplicație cu aria unui pătrat

Exemplul 14: aplicație cu numere

Exemplul 15: găsește greșeala, soluție uitată

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a

Ecuații incomplete: $ax^2=0$ $ax^2+bx=0$ $ax^2+c=0$

Exemplul 4: ecuație incompletă $ax^2=0$

Exemplul 5: ecuație incompletă $ax^2+bx=0$

Exemplul 6: ecuație incompletă $ax^2+c=0$ cu două soluții

Exemplul 10: ecuație reductibilă, de forma $(x+m)^2=k$