Pentru a rezolva ecuația de forma \(x^{2}=a\), cu \(a\in \mathbb{R}\) trebuie să determinăm toate valorile lui \(x\) pentru care propoziția \(x^{2}=a\) este adevărată. Aceste valori se numesc soluțiile ecuației, iar mulțimea lor se numește mulțimea soluțiilor ecuației și se notează cu \(S\).
În rezolvarea ecuației \(x^{2}=a\), unde \(a\in \mathbb{Q}\) se întâlnesc trei cazuri particulare:
- Dacă \(a\lt 0\), atunci \(S=\emptyset\), deoarece \(x^{2}\ge 0\gt a\) pentru orice \(x\in \mathbb{R}\)
- Dacă \(a=0\), atunci ecuația devine \(x^{2}=0\), având soluția unică \(x=0\). Deci \(S=\left\{ 0 \right\}\).
- Dacă \(a\gt 0\), atunci ecuația \(x^{2}=a\) se poate scrie sub forma
\(x^{2}-a=0\), adică \(\left( x+\sqrt{a} \right)\left( x-\sqrt{a} \right)=0\) având soluțiile
\(x_{1}=\sqrt{a}\), \(x_{2}=-\sqrt{a}\), adică \(S=\left\{ \pm \sqrt{a} \right\}\)
Exemple:
\(x^{2}=16\Rightarrow x=\pm \sqrt{16}=\pm 4\),
\(x\in \left\{ -4;4 \right\}\text{ sau }S=\left\{ -4;4 \right\}\)
\(x^{2}=\frac{16}{49}\Rightarrow x=\pm \frac{4}{7}\)
\(x^{2}=-4\) nu are soluții reale (nu există nici un număr care ridicat la pătrat să dea un număr negativ).
\(2x^{2}=150\Rightarrow x^{2}=\frac{150}{2}=75\)
\(x=\pm \sqrt{75}=\pm 5\sqrt{3}\)
\(S=\left\{ -5\sqrt{3};5\sqrt{3} \right\}\)
\(3x^{2}-7=x^{2}+1\)
\(3x^{2}-x^{2}=1+7\)
\(2x^{2}=8\)
\(x^{2}=4\\x=\pm 2\)