Operațiile cu rapoarte ale numerelor reale sunt o componentă esențială a matematicii de clasa a VIII-a, utilizate pentru a compara mărimi și pentru a rezolva probleme practice. Aceste operații includ adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a rapoartelor, respectând regulile fracțiilor și ale proporționalității. Lucrul corect cu rapoartele presupune o înțelegere clară a relațiilor dintre termeni și aplicarea regulilor matematice pentru a obține rezultate corecte și simplificate. În acest context, vom explora principalele reguli și exemple practice pentru efectuarea operațiilor cu rapoarte în mod corect și eficient.
Adunarea și scăderea
Suma (diferența) a două rapoarte algebrice este tot un raport algebric. Operația de adunare (scădere) a două rapoarte algebrice se poate face în două situații:
- dacă ambele rapoarte au același numitor, suma lor este un raport algebric care are ca numitor numitorul comun al celor două rapoarte și ca numărător suma (diferența) numărătorilor celor două rapoarte;
- dacă cele două rapoarte au numitori diferiți, le amplificăm aducându-le la același numitor și le adunăm (scădem) conform regulii precedente.
Observație:
Operația de adunare (scădere) a rapoartelor algebrice are aceleași proprietăți ca operația de adunare (scădere) a fracțiilor ordinare.
Exemple:
\(\frac{x}{3}+\frac{3x}{3}=\frac{x+3x}{3}=\frac{4x}{3}\)
\(\frac{17x+9}{x+1}+\frac{8}{x+1}=\frac{17x+9+8}{x+1}=\frac{17x+17}{x+1}=\frac{17\left( x+1 \right)}{x+1}^{(x+1}=17\)
\(\frac{4}{x+2}+\frac{x+10}{x^{2}-4}+\frac{3}{x-2}=\)
\(^{x-2)}\frac{4}{x+2}+\frac{x+10}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}+^{x+2)}\frac{3}{x-2}=\)
\(\frac{4x-8+x+10+3x+6}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\)
\(\frac{8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\)
Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere
Produsul a două rapoarte algebrice, câtul a două rapoarte algebrice, puterea a n-a a unui raport algebric, \(n\in \mathbb{Z}\), sunt tot rapoarte algebrice.
Produsul a două rapoarte algebrice este raportul algebric care are ca numărător produsul numărătorilor și ca numitor produsul numitorilor rapoartelor date.
Exemple:
\(\frac{2x}{5y}\cdot \frac{3y^{3}}{7x^{2}}=\frac{2x\cdot 3y^{2}}{5y\cdot 7x^{2}}=\)
\(\frac{6xy^{2}}{35x^{2}y}^{(xy}=\frac{6y}{35x}\)
\(\frac{2x}{3x+3}\cdot \frac{6x+6}{4x^{2}}=\)
\(\frac{2x\cdot \left( 6x+6 \right)}{\left( 3x+3 \right)\cdot 4x^{2}}=\)
\(\frac{2x\cdot 6\left( x+1 \right)}{4x^{2}\cdot 3\left( x+1 \right)}=\)
\(\frac{12x\left( x+1 \right)}{12x^{2}\left( x+1 \right)}^{(12x\left( x+1 \right)}=\frac{1}{x}.\)
Inversul unui raport
Inversul unui raport algebric este raportul algebric care are ca numărător numitorul raportului dat și ca numitor numărătorul raportului dat.
Exemplu:
\(\frac{3x}{5x+3}^{-1}=\frac{5x+3}{3x}\)
Câtul a două rapoarte
Câtul a două rapoarte algebrice este raportul algebric obținut prin înmulțirea primului raport, numit deîmpărțit, cu inversul celui de-al doilea raport, numit împărțitor.
Exemplu:
\(\frac{4x+8}{9x}:\frac{2x+4}{27x^{2}}=\)
\(\frac{4x+8}{9x}\cdot \frac{27x^{2}}{2x+4}=\)
\(\frac{\left( 4x+8 \right)\cdot 27x^{2}}{9x\cdot \left( 2x+4 \right)}=\)
\(\frac{4\left( x+2 \right)\cdot 27x^{2}}{9x\cdot2\left(x+2 \right) }^{(2\cdot 9x\cdot \left( x+2 \right)}=2\cdot 3x=6x.\)
Puterea a n-a a unui raport algebric este raportul care are ca numărător puterea a n-a a numărătorului raportului dat, iar ca numitor puterea a n-a a numitorului raportului dat.
Exemplu:
\(\left(\frac{3x}{5y}\right)^{2}=\frac{\left(3x\right)^{2}}{\left(5y \right)^{2}}=\frac{9x^{2}}{25y^{2}}\)
Ordinea efectuării operațiilor
Cu rapoartele algebrice efectuăm următoarele tipuri de operații:
- de ordinul I (adunarea și scăderea);
- de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea);
- de ordinul al III-lea (ridicarea la putere).
Calculul cu rapoartele algebrice se face respectând următoarele reguli:
- când avem operații de același ordin, se efectuează în ordinea în care sunt scrise;
- când avem operații de ordine diferite, se efectuează mai întâi operațiile de ordinul al III-lea, apoi cele de ordinul al II-lea și, în final, cele de ordinul I;
- când avem paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi din cele pătrate și, în final, pe cele din acolade.
Exemplu:
\(\frac{2}{x-2}+\frac{x+2}{x+1}\cdot \left( ^{x-2)}\frac{x-1}{x+2}-^{x+2)}\frac{6}{x-2} \right)=\)
\(\frac{2}{x-2}+\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)-6\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\)
\(^{x+1)}\frac{2}{x-2}+\frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)-6\left( x+2 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}=\)
\(\frac{2x+2+x^{2}+2x-x-2-6x-12}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}=\)
\(\frac{x^{2}-3x-12}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}\)