Unități de măsură pentru arie. Aria pătratului și a dreptunghiului

Q: De ce la arie transformăm cu 100, nu cu 10?

Pentru că unitatea de arie este un pătrat. 1 m = 10 dm, dar pătratul cu latura de 1 m are 10 rânduri a câte 10 pătrățele de 1 dm², deci 1 m² = 100 dm².

Q: Câți metri pătrați are un ar și un hectar?

1 a = 100 m² (pătratul cu latura de 10 m), iar 1 ha = 100 a = 10 000 m² (pătratul cu latura de 100 m).

Q: Care sunt formulele pentru aria dreptunghiului și a pătratului?

Dreptunghiul: A = L · l (lungimea ori lățimea, în aceeași unitate). Pătratul: A = l · l = l². Ambele vin din numărarea pătratelor-unitate pe rânduri.

Ce vei învăța

Înțelegi ce măsoară aria și de ce unitatea de arie este un pătrat.
Cunoști unitățile de arie și explici de ce pasul dintre ele este $100$
Transformi dintr-o unitate de arie în alta și folosești arul și hectarul.
Determini sau estimezi aria unei figuri pe caroiaj.
Calculezi aria dreptunghiului și a pătratului și știi de unde vin formulele.
Deosebești aria de perimetru și transformi dimensiunile în aceeași unitate înainte de calcul.

Recomandat înainte: Unități de măsură pentru lungime. Perimetre

Ideea de bază

Aria unei figuri este numărul de pătrate-unitate care o acoperă complet, fără goluri și fără suprapuneri. Dacă pătratul-unitate are latura de un centimetru, aria se măsoară în centimetri pătrați (cm²). Un dreptunghi cu $3$ rânduri a câte $5$ pătrățele are aria $3 \cdot 5 = 15$ cm².

3

rânduri a câte

5

pătrățele:

5 + 5 + 5 = 3 \cdot 5 = 15

pătrățele.

Ce este aria

Gândește-te la o podea pe care vrei să o acoperi cu plăci pătrate, toate la fel. Plăcile se pun una lângă alta, fără goluri între ele și fără să se suprapună. Numărul de plăci de care ai nevoie spune cât de mare este suprafața podelei.

Exact așa măsurăm aria unei figuri: alegem un pătrat mic, numit pătrat-unitate, și numărăm de câte ori încape în figură.

Dreptunghiul este acoperit de

12

pătrățele, fără goluri și fără suprapuneri: aria lui este

12

cm².

Fără goluri: dacă ar rămâne spații neacoperite, am număra prea puțin.
Fără suprapuneri: dacă două pătrățele s-ar acoperi unul pe altul, am număra aceeași bucată de două ori.
Toate pătrățelele sunt la fel: altfel numărătoarea nu ar spune nimic.

Unitatea de arie este un pătrat

Pătratul cu latura de un centimetru are aria de un centimetru pătrat, scris $1$ cm². Semnul ² (citit „pătrat”) ne amintește că unitatea este un pătrat cu latura de $1$ cm, nu un segment de $1$ cm.

Pătratul cu latura de

1

cm are aria de

1

cm² (un centimetru pătrat).

La fel, fiecare unitate de lungime are unitatea ei de arie:

Pătratul-unitate pentru fiecare unitate de lungime
Latura pătratului	Aria pătratului	Aproximativ cât
un milimetru	un milimetru pătrat (mm²)	vârful unui creion apăsat pe hârtie
un centimetru	un centimetru pătrat (cm²)	unghia unui deget mic
un decimetru	un decimetru pătrat (dm²)	cât un șervețel mic de masă
un metru	un metru pătrat (m²)	cât o masă pentru patru persoane

De ce pătrat? Pentru că pătratele se așază unul lângă altul fără goluri și fără suprapuneri și acoperă exact dreptunghiurile, rând cu rând.

Unitățile de arie: de ce din 100 în 100

Unitățile de arie sunt, de la mare la mic: kilometrul pătrat (km²), hectometrul pătrat (hm²), decametrul pătrat (dam²), metrul pătrat (m²), decimetrul pătrat (dm²), centimetrul pătrat (cm²) și milimetrul pătrat (mm²). Fiecare este pătratul cu latura de o unitate de lungime: kilometru (km), hectometru (hm), decametru (dam), metru (m), decimetru (dm), centimetru (cm), milimetru (mm).

Știm că $1$ m $= 10$ dm. Cât este $1$ m² în dm²? Împărțim pătratul cu latura de $1$ m în pătrățele cu latura de $1$ dm: pe fiecare latură încap $10$ deci avem $10$ rânduri a câte $10$ pătrățele.

1 \text{ m}^2 = 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} = 100 \text{ dm}^2

10

rânduri a câte

10

pătrățele

1 \text{ dm}^2 = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2

Pătratul cu latura de

1

dm

= 10

cm:

10

rânduri a câte

10

pătrățele de

1

cm². Deci

1

dm²

= 100

cm².

Lungimea s-a mărit de $10$ ori, dar pătratul crește în două direcții: de $10$ ori pe lungime și de $10$ ori pe lățime, adică de $10 \cdot 10 = 100$ de ori. De aceea, între două unități de arie vecine pasul este $100$ nu $10$

← : 100← : 100← : 100← : 100← : 100← : 100km²hm²dam²m²dm²cm²mm²×100 →×100 →×100 →×100 →×100 →×100 →

Spre dreapta, unitatea este de

100

de ori mai mică, deci numărul se înmulțește cu

100

Spre stânga, se împarte la

100

← : 10← : 10mdmcm×10 →×10 →

Pentru comparație, scara lungimilor: aici pasul este doar

10

Pentru că pasul este $100$ în tabelul pozițional fiecare unitate de arie are două căsuțe (două cifre), nu una ca la lungimi.

Transformări între unitățile de arie

Numără câți pași sunt pe scară de la o unitate la cealaltă.
Dacă mergi spre o unitate mai mică (spre dreapta), înmulțești cu $100$ pentru fiecare pas.
Dacă mergi spre o unitate mai mare (spre stânga), împarți la $100$ pentru fiecare pas.
Verifică: în unitatea mai mică numărul trebuie să iasă mai mare.

Transformări între unități de arie: ce operație facem
Transformarea	Sensul pe scară	Pași	Operația
m² în dm²	spre dreapta	$1$	înmulțim cu $100$
m² în cm²	spre dreapta	$2$	înmulțim cu $100 \cdot 100 = 10\,000$
dm² în m²	spre stânga	$1$	împărțim la $100$
cm² în dm²	spre stânga	$1$	împărțim la $100$
cm² în m²	spre stânga	$2$	împărțim la $10\,000$

Exemple: $3$ m² $= 300$ dm², $2{,}5$ m² $= 250$ dm², $4500$ cm² $= 45$ dm², $320$ dm² $= 3{,}2$ m².

Arul și hectarul

Pentru grădini, livezi și terenuri agricole se folosesc două unități cu nume speciale. Arul (prescurtat a) este aria pătratului cu latura de $10$ m, adică un decametru pătrat. Hectarul (prescurtat ha) este aria pătratului cu latura de $100$ m, adică un hectometru pătrat.

Pătratul cu latura de

10

m are aria de

100

m²

= 1

a (un ar).

Arul și hectarul
Unitatea	Este egală cu	Unde o întâlnești
arul (a)	$1$ a $= 1$ dam² $= 100$ m²	grădina unei case
hectarul (ha)	$1$ ha $= 1$ hm² $= 100$ a $= 10\,000$ m²	un câmp, o pădure, o fermă

Și aici pasul este $100$ $1$ ha $= 100$ a, iar $1$ a $= 100$ m².

Aria pe caroiaj

Pe un caroiaj, pătrățelul este chiar pătratul-unitate. Ca să afli aria unei figuri:

Stabilește cât are latura unui pătrățel (de exemplu $1$ cm, deci un pătrățel are $1$ cm²).
Numără pătrățelele din interiorul figurii, rând cu rând. Numeri pătrățele, nu linii.
Scrie rezultatul cu unitatea de arie.

Crucea are $1 + 3 + 1 = 5$ pătrățele, deci aria ei este $5$ cm². Uneori o figură taie un pătrățel exact pe diagonală: fiecare bucată este o jumătate, iar două jumătăți fac un pătrățel întreg.

Două jumătăți de pătrățel formează împreună un pătrățel întreg.

Când conturul este curb, pătrățelele nu se potrivesc exact. Atunci estimăm: numărăm pătrățelele întregi și pe cele acoperite mai mult de jumătate, iar pe cele acoperite mai puțin de jumătate le lăsăm deoparte. Rezultatul este o valoare aproximativă, nu exactă.

Aria dreptunghiului

Dreptunghiul de $5$ cm pe $3$ cm, pus pe un caroiaj cu pătrățele de $1$ cm, are $5$ pătrățele pe fiecare rând și $3$ rânduri. Nu trebuie să numărăm unul câte unul: $3$ rânduri a câte $5$ înseamnă $3 \cdot 5 = 15$ pătrățele, adică $15$ cm².

3

rânduri a câte

5

pătrățele:

5 + 5 + 5 = 3 \cdot 5 = 15

pătrățele.

Același raționament merge pentru orice dreptunghi: pe un rând încap atâtea pătrate-unitate câte unități are lungimea, iar rânduri sunt atâtea câte unități are lățimea. Notăm lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$ măsurate în aceeași unitate:

A_{\text{dreptunghi}} = L \cdot l

Unitatea rezultatului este unitatea de arie corespunzătoare: centimetri înmulțiți cu centimetri dau centimetri pătrați.

Aria pătratului

Pătratul este un dreptunghi cu lungimea egală cu lățimea. Dacă latura este $l$ atunci pe un rând sunt $l$ pătrate-unitate și sunt $l$ rânduri:

A_{\text{pătrat}} = l \cdot l = l^2

$l^2$ se citește $l$ la pătrat” și înseamnă $l \cdot l$ (ai întâlnit-o la puteri). De exemplu, pătratul cu latura de $4$ cm are aria $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$ cm², nu $4 \cdot 2 = 8$

Perimetru sau arie?

Perimetru și arie: ce le deosebește
Criteriul	Perimetrul	Aria
Ce măsoară	lungimea conturului	suprafața din interior
Cum se află	aduni laturile	numeri pătrate-unitate (la dreptunghi: $L \cdot l$
Unități	cm, m, km (lungimi)	cm², m², ha (arii)
Exemplu practic	gardul din jurul grădinii	iarba din grădină

Unitatea te ajută să verifici: $20$ cm²” nu poate fi un perimetru, pentru că un perimetru este o lungime. Iar $20$ cm” nu poate fi o arie, pentru că o arie se măsoară în unități pătrate.

Două figuri pot avea aceeași arie și perimetre diferite:

Ambele au aria de

6

cm². Perimetrele sunt

14

cm și

10

cm.

Întâi aceeași unitate, apoi înmulțirea

Formula $A = L \cdot l$ merge doar dacă lungimea și lățimea sunt în aceeași unitate. Dacă o placă are $2$ m pe $50$ cm, nu scriem $2 \cdot 50 = 100$ m². Transformăm întâi, de exemplu totul în centimetri:

2 \text{ m} = 200 \text{ cm}

A = 200 \text{ cm} \cdot 50 \text{ cm} = 10\,000 \text{ cm}^2 = 1 \text{ m}^2

Rezultatul corect este $1$ m², de $100$ de ori mai mic decât răspunsul greșit.

Exemple rezolvate

Aria pe caroiaj: figura în formă de L

Pe caroiajul cu pătrățele de $1$ cm, află aria figurii.

Vezi rezolvarea

Câte pătrățele de

1

cm² acoperă figura?

Împărțim figura în două dreptunghiuri: jos $2$ rânduri a câte $4$ pătrățele, sus $2$ rânduri a câte $2$ pătrățele.

2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 8 + 4 = 12

pătrățele

Aria este $12$ cm².

Aria pe caroiaj: jumătăți de pătrățel

Află aria benzii desenate pe caroiajul cu pătrățele de $1$ cm.

Vezi rezolvarea

Două jumătăți de pătrățel formează împreună un pătrățel întreg.

La mijloc sunt $3$ pătrățele întregi. La capete sunt două jumătăți, care împreună fac încă un pătrățel. Aria este $3 + 1 = 4$ pătrățele, adică $4$ cm².

Estimarea ariei unui iaz

Pe planul unei grădini, un pătrățel are latura de $1$ m. Estimează aria iazului rotund.

Vezi rezolvarea

Iazul nu acoperă doar pătrățele întregi: aria lui se poate doar estima.

Sunt $4$ pătrățele întregi în jurul centrului și încă $8$ pătrățele acoperite aproape complet (mai mult de jumătate). Bucățile mici din cele $4$ colțuri le lăsăm deoparte. Estimare: $4 + 8 = 12$ pătrățele, deci aria iazului este aproximativ $12$ m².

Este o estimare: aria reală este puțin mai mare, pentru că am lăsat deoparte bucățile din colțuri.

Aria dreptunghiului pe caroiaj

Un dreptunghi are $5$ cm pe $3$ cm. Află aria lui, întâi numărând, apoi cu formula.

Vezi rezolvarea

3

rânduri a câte

5

pătrățele:

5 + 5 + 5 = 3 \cdot 5 = 15

pătrățele.

Numărând: $3$ rânduri a câte $5$ pătrățele de $1$ cm² dau $15$ pătrățele.

A = L \cdot l = 5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2

Podeaua unei camere

Podeaua unei camere are $7$ m lungime și $4$ m lățime. Câți metri pătrați de parchet sunt necesari?

Vezi rezolvarea

Podeaua camerei, văzută de sus.

A = L \cdot l = 7 \text{ m} \cdot 4 \text{ m} = 28 \text{ m}^2

Sunt necesari $28$ m² de parchet. Parchetul acoperă suprafața, deci calculăm aria, nu perimetrul.

Aria pătratului

Află aria pătratului cu latura de $6$ cm.

Vezi rezolvarea

A = l^2 = 6 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2

Atenție: $6^2$ înseamnă $6 \cdot 6 = 36$ nu $6 \cdot 2 = 12$

O placă de gresie

O placă pătrată de gresie are latura de $30$ cm. Află aria ei în cm² și în dm².

Vezi rezolvarea

A = 30 \text{ cm} \cdot 30 \text{ cm} = 900 \text{ cm}^2 = 9 \text{ dm}^2

Verificare: latura are $3$ dm, iar $3 \cdot 3 = 9$ dm².

Metri pătrați în decimetri pătrați

Transformă $3$ m² în dm².

Vezi rezolvarea

De la m² la dm² este un pas spre dreapta, deci înmulțim cu $100$

3 \text{ m}^2 = 3 \cdot 100 \text{ dm}^2 = 300 \text{ dm}^2

Număr zecimal: m² în dm²

Transformă $2{,}5$ m² în dm².

Vezi rezolvarea

← : 100m²dm²×100 →

m²		dm²
0	2	5	0

$2{,}5$ m² $=$ $250$ dm²

Fiecare unitate de arie are două căsuțe. Cifra

2

stă la m², iar

5

și

0

ocupă cele două căsuțe ale dm².

2{,}5 \text{ m}^2 = 2{,}5 \cdot 100 \text{ dm}^2 = 250 \text{ dm}^2

Virgula se mută două poziții spre dreapta, pentru că un pas de arie are două căsuțe.

Centimetri pătrați în decimetri pătrați

Transformă $4500$ cm² în dm².

Vezi rezolvarea

← : 100dm²cm²×100 →

dm²		cm²
4	5	0	0

$4500$ cm² $=$ $45$ dm²

Citim numărul până la coloana dm²: ultimele două cifre,

00

sunt centimetrii pătrați.

4500 \text{ cm}^2 = (4500 : 100) \text{ dm}^2 = 45 \text{ dm}^2

Decimetri pătrați în metri pătrați

Transformă $320$ dm² în m².

Vezi rezolvarea

← : 100m²dm²×100 →

m²		dm²
0	3	2	0

$320$ dm² $=$ $3{,}2$ m²

Virgula se pune după grupul de două căsuțe al unității în care scriem, aici după m².

320 \text{ dm}^2 = (320 : 100) \text{ m}^2 = 3{,}2 \text{ m}^2

Verificare: m² este unitatea mai mare, deci numărul a ieșit mai mic.

Grădina în ari

O grădină dreptunghiulară are $20$ m pe $15$ m. Câți ari are?

Vezi rezolvarea

A = 20 \text{ m} \cdot 15 \text{ m} = 300 \text{ m}^2

300 \text{ m}^2 = (300 : 100) \text{ a} = 3 \text{ a}

1

a

= 100

m²

Un teren agricol în hectare

Un teren agricol dreptunghiular are $500$ m pe $200$ m. Câte hectare are?

Vezi rezolvarea

A = 500 \text{ m} \cdot 200 \text{ m} = 100\,000 \text{ m}^2

100\,000 \text{ m}^2 = (100\,000 : 10\,000) \text{ ha} = 10 \text{ ha}

1

ha

= 10\,000

m²

Dimensiuni în unități diferite

O placă are lungimea de $2$ m și lățimea de $50$ cm. Află aria ei.

Vezi rezolvarea

O latură este dată în metri, cealaltă în centimetri.

Laturile sunt în unități diferite, așa că le aducem întâi la aceeași unitate. În metri: $50$ cm $= 0{,}5$ m.

A = 2 \text{ m} \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}^2

Greșit ar fi $2 \cdot 50 = 100$ m²: ar însemna să înmulțim metri cu centimetri.

Aceeași arie, perimetre diferite

Compară aria și perimetrul dreptunghiurilor de $6$ cm pe $1$ cm și de $3$ cm pe $2$ cm.

Vezi rezolvarea

Ambele au aria de

6

cm². Perimetrele sunt

14

cm și

10

cm.

A_1 = 6 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2

P_1 = 2 \cdot (6 + 1) = 14

cm

A_2 = 3 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2

P_2 = 2 \cdot (3 + 2) = 10

cm

Ariile sunt egale, perimetrele nu. Aria și perimetrul sunt mărimi diferite.

Latura lipsă

O terasă dreptunghiulară are aria de $48$ m² și lungimea de $8$ m. Cât este lățimea?

Vezi rezolvarea

Aria dreptunghiului este

48

m². Cât este lățimea?

Știm că $L \cdot l = A$ adică $8 \cdot l = 48$ Căutăm numărul care înmulțit cu $8$ dă $48$

l = 48 : 8 = 6

metri

Lățimea este $6$ m. Verificare: $8 \cdot 6 = 48$

Greșeli frecvente

$3$ m² $= 30$ dm², pentru că $1$ m $= 10$ dm.
Între unitățile de arie pasul este $100$ $1 \text{ m}^2 = 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} = 100 \text{ dm}^2$ deci $3$ m² $= 300$ dm².
Aria dreptunghiului de $5$ cm pe $3$ cm este $15$
Lipsește unitatea de arie: aria este $15$ cm².
Aria dreptunghiului de $5$ cm pe $3$ cm este $15$ cm.
cm este o unitate de lungime. Centimetri înmulțiți cu centimetri dau cm²: aria este $15$ cm².
Ca să aflu câtă iarbă trebuie pentru grădina de $10$ m pe $6$ m, calculez $2 \cdot (10 + 6) = 32$ m.
Iarba acoperă suprafața, deci trebuie aria: $10 \cdot 6 = 60$ m². $32$ m este perimetrul (gardul).
Aria dreptunghiului de $7$ cm pe $4$ cm este $7 + 4 = 11$ cm².
La arie înmulțim lungimea cu lățimea: $7 \cdot 4 = 28$ cm².
Placa de $2$ m pe $50$ cm are aria $2 \cdot 50 = 100$ m².
Întâi aceeași unitate: $50$ cm $= 0{,}5$ m, iar aria este $2 \cdot 0{,}5 = 1$ m².
$1$ ha $= 100$ m².
$1$ ha $= 100$ a, iar $1$ a $= 100$ m², deci $1$ ha $= 10\,000$ m² (pătratul cu latura de $100$ m).
Dreptunghiul de $5$ pe $3$ pătrățele are aria $6 \cdot 4 = 24$ pentru că am numărat $6$ linii pe orizontală și $4$ pe verticală.
Aria înseamnă pătrățele, nu linii: între $6$ linii sunt doar $5$ pătrățele. Aria este $5 \cdot 3 = 15$ pătrățele.

Exerciții

Ușor

Transformă: $5$ m² $= \ldots$ dm².
Arată răspunsul
Răspuns: $500$ dm²
Transformă: $7$ dm² $= \ldots$ cm².
Arată răspunsul
Răspuns: $700$ cm²
Transformă: $600$ cm² $= \ldots$ dm².
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ dm²
Transformă: $2$ m² $= \ldots$ cm².
Arată răspunsul
Răspuns: $20\,000$ cm²
Doi pași spre dreapta: $2 \cdot 100 \cdot 100 = 20\,000$
Ce înseamnă „cm²” și cum se citește?
Arată răspunsul
Răspuns: Centimetru pătrat: aria unui pătrat cu latura de $1$ cm.
Pătrățelele au latura de $1$ cm. Află aria figurii.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm²
Pătrățelele au latura de $1$ cm. Află aria figurii în trepte.
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm²
$3 + 2 + 1 = 6$ pătrățele.
Pătrățelele au latura de $1$ cm. Află aria figurii în formă de L întors.
Arată răspunsul
Răspuns: $16$ cm²
Împărțim figura în două dreptunghiuri: sus $2$ rânduri a câte $5$ pătrățele, jos $3$ rânduri a câte $2$ pătrățele: $10 + 6 = 16$ pătrățele.
Care figură are aria mai mare: pătratul sau dreptunghiul? Numără pătrățelele.
Arată răspunsul
Răspuns: Pătratul: $16$ cm², față de $15$ cm².
Pătrățelele au latura de $1$ cm. Află aria figurii în formă de acoperiș.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm²
Rândul de jos: $4$ pătrățele întregi și două jumătăți, adică $5$ Rândul de sus: $2$ pătrățele întregi și două jumătăți, adică $3$ În total $5 + 3 = 8$ pătrățele.

Mediu

Află aria dreptunghiului cu lungimea de $9$ cm și lățimea de $4$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $36$ cm²
$A = 9 \cdot 4 = 36$ cm².
Află aria pătratului cu latura de $7$ m.
Arată răspunsul
Răspuns: $49$ m²
$A = 7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ m².
Câți metri pătrați de linoleum trebuie pentru podeaua sălii de clasă din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: $54$ m²
Linoleumul acoperă suprafața, deci calculăm aria: $A = 9 \cdot 6 = 54$ m².
Află aria plăcii de faianță din figură, în cm² și în dm².
Arată răspunsul
Răspuns: $400$ cm² $= 4$ dm²
$A = 20 \cdot 20 = 400$ cm². Cum $1$ dm² $= 100$ cm², $400$ cm² $= 4$ dm².
Un perete are $5$ m lungime și $3$ m înălțime. Câți metri pătrați de vopsea trebuie pentru a-l vopsi?
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ m²
$A = 5 \cdot 3 = 15$ m².
Transformă: $3{,}5$ m² $= \ldots$ dm².
Arată răspunsul
Răspuns: $350$ dm²
Transformă: $250$ dm² $= \ldots$ m².
Arată răspunsul
Răspuns: $2{,}5$ m²
Transformă: $8$ cm² $= \ldots$ mm².
Arată răspunsul
Răspuns: $800$ mm²
Transformă: $4$ ha $= \ldots$ m².
Arată răspunsul
Răspuns: $40\,000$ m²
$1$ ha $= 10\,000$ m², deci $4 \cdot 10\,000 = 40\,000$
Transformă: $700$ m² $= \ldots$ a.
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ a
Află aria livezii din figură, în m² și în ari.
Arată răspunsul
Răspuns: $600$ m² $= 6$ a
$A = 30 \cdot 20 = 600$ m². Cum $1$ a $= 100$ m², $600$ m² $= 6$ a.
Un covor are $3$ m pe $80$ cm. Află aria lui în dm².
Arată răspunsul
Răspuns: $240$ dm²
$3$ m $= 30$ dm, $80$ cm $= 8$ dm; $A = 30 \cdot 8 = 240$ dm².

Provocare

Curtea dreptunghiulară din figură are aria de $54$ m². Află lungimea ei.
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ m
$L \cdot 6 = 54$ deci $L = 54 : 6 = 9$ m. Verificare: $9 \cdot 6 = 54$
Un pătrat are aria de $64$ cm². Cât este latura lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm
Căutăm numărul care înmulțit cu el însuși dă $64$ $8 \cdot 8 = 64$
Dreptunghiurile din figură au aceeași arie? Dar același perimetru?
Arată răspunsul
Răspuns: Aceeași arie $6$ cm²), perimetre diferite $14$ cm și $10$ cm).
Un teren agricol are $400$ m pe $250$ m. Câte hectare are?
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ ha
$A = 400 \cdot 250 = 100\,000$ m², iar $100\,000 : 10\,000 = 10$ ha.
O cameră pătrată are latura de $4$ m. Se pune gresie în plăci pătrate cu latura de $50$ cm. Câte plăci sunt necesare?
Arată răspunsul
Răspuns: $64$ de plăci
Pe o latură de $4$ m $= 400$ cm încap $400 : 50 = 8$ plăci, deci $8 \cdot 8 = 64$ de plăci.
Mihai spune: „Dreptunghiul de $2$ m pe $50$ cm are aria $100$ m².” Unde a greșit și care este aria corectă?
O latură este dată în metri, cealaltă în centimetri.
Arată răspunsul
Răspuns: A înmulțit metri cu centimetri. Aria corectă este $1$ m² (sau $10\,000$ cm²).
$50$ cm $= 0{,}5$ m, iar $2 \cdot 0{,}5 = 1$ m².
Estimează aria iazului din figură, dacă un pătrățel are latura de $1$ m.
Arată răspunsul
Răspuns: Aproximativ $16$ m².
$12$ pătrățele întregi și încă $4$ acoperite mai mult de jumătate (câte unul spre fiecare colț al caroiajului). Bucățile mici de pe margini le lăsăm deoparte: $12 + 4 = 16$ pătrățele.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $4$ m² $= \ldots$ dm²
1. $40$
2. $4000$
3. $0{,}04$
4. $400$
Arată răspunsul
Răspuns: $400$
Un pas de arie înseamnă $\cdot 100$
2. Câți dm² sunt în $1500$ cm²?
Arată răspunsul
Răspuns: 15
3. $1$ ha $= \ldots$ m²
1. $100$
2. $1000$
3. $10\,000$
4. $100\,000$
Arată răspunsul
Răspuns: $10\,000$
4. Pătrățelele au latura de $1$ cm. Câți cm² are figura?
Arată răspunsul
Răspuns: 9
Banda de jos are $5$ pătrățele, iar cele două coloane au câte $2$ $5 + 2 + 2 = 9$ cm².
5. Pătrățelele au latura de $1$ cm. Câți cm² are figura?
Arată răspunsul
Răspuns: 10
Pe rânduri: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ pătrățele, deci $10$ cm².
6. Care este aria (în cm²) a dreptunghiului cu lungimea de $8$ cm și lățimea de $5$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: 40
7. Care este aria (în cm²) a pătratului cu latura de $9$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: 81
8. O placă are $3$ m pe $20$ cm. Aria ei este:
1. $60$ m²
2. $6$ m²
3. $23$ m²
4. $0{,}6$ m²
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}6$ m²
$20$ cm $= 0{,}2$ m și $3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6$ m².
9. Care valoare poate fi aria unei figuri?
1. $20$ cm²
2. $20$ cm
3. $20$ m
4. $20$ km
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ cm²
Aria se exprimă într-o unitate pătrată; cm, m, km sunt unități de lungime.
10. O grădină dreptunghiulară are $25$ m pe $12$ m. Câți ari are?
Arată răspunsul
Răspuns: 3
$25 \cdot 12 = 300$ m², adică $3$ a.

Întrebări frecvente

Ce este aria unei figuri?

Aria arată câtă suprafață ocupă figura: câte pătrate-unitate o acoperă complet, fără goluri și fără suprapuneri.

De ce la arie transformăm cu 100, nu cu 10?

Pentru că unitatea de arie este un pătrat. $1$ m $= 10$ dm, dar pătratul cu latura de $1$ m are $10$ rânduri a câte $10$ pătrățele de $1$ dm², deci $1$ m² $= 100$ dm².

Câți metri pătrați are un ar și un hectar?

$1$ a $= 100$ m² (pătratul cu latura de $10$ m), iar $1$ ha $= 100$ a $= 10\,000$ m² (pătratul cu latura de $100$ m).

Care sunt formulele pentru aria dreptunghiului și a pătratului?

Dreptunghiul: $A = L \cdot l$ (lungimea ori lățimea, în aceeași unitate). Pătratul: $A = l \cdot l = l^2$ Ambele vin din numărarea pătratelor-unitate pe rânduri.

Care este diferența dintre arie și perimetru?

Perimetrul este lungimea conturului și se măsoară în cm, m etc. Aria este suprafața din interior și se măsoară în cm², m² etc. Două figuri pot avea aceeași arie și perimetre diferite.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este aria

Unitatea de arie este un pătrat

Unitățile de arie: de ce din 100 în 100

Transformări între unitățile de arie

Arul și hectarul

Aria pe caroiaj

Aria dreptunghiului

Aria pătratului

Perimetru sau arie?

Întâi aceeași unitate, apoi înmulțirea

Exemple rezolvate

Aria pe caroiaj: figura în formă de L

Aria pe caroiaj: jumătăți de pătrățel

Estimarea ariei unui iaz

Aria dreptunghiului pe caroiaj

Podeaua unei camere

Aria pătratului

O placă de gresie

Metri pătrați în decimetri pătrați

Număr zecimal: m² în dm²

Centimetri pătrați în decimetri pătrați

Decimetri pătrați în metri pătrați

Grădina în ari

Un teren agricol în hectare

Dimensiuni în unități diferite

Aceeași arie, perimetre diferite

Latura lipsă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a