Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

Un sistem de axe ortogonale este format din două drepte perpendiculare care se intersectează într-un punct numit originea, notat $O$. Dreapta orizontală se numește $Ox$ (axa absciselor), iar dreapta verticală se numește $Oy$ (axa ordonatelor).

Orice punct din plan este descris de o pereche ordonată de numere $(x, y)$: $x$ este abscisa (poziția pe orizontală), iar $y$ este ordonata (poziția pe verticală). O astfel de pereche ordonată este exact un element al produsului cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Distanța dintre două puncte din plan se calculează construind un triunghi dreptunghic: catetele sunt diferența absciselor și diferența ordonatelor, iar distanța este ipotenuza. Se calculează cu teorema lui Pitagora.

Fie $A$ și $B$ două mulțimi. Produsul cartezian al mulțimilor $A$ și $B$, notat $A \times B$ (se citește „$A$ ori $B$”), este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$ în care $a \in A$ și $b \in B$.

O pereche ordonată $(a, b)$ nu este o mulțime de două elemente, ci o pereche cu ordine fixă: primul loc și al doilea loc contează. $(1, 2)$ și $(2, 1)$ sunt perechi ordonate diferite.

Exemplu: fie $A = \{1, 2\}$ și $B = \{x, y\}$. Produsul cartezian $A \times B$ conține toate perechile posibile, luând întâi un element din $A$ și apoi unul din $B$.

Numărul de elemente al produsului cartezian (cardinalul lui) se calculează simplu: înmulțești numărul de elemente din $A$ cu numărul de elemente din $B$.

În exemplul de mai sus, $|A| = 2$ și $|B| = 2$, deci $|A \times B| = 2 \cdot 2 = 4$, exact câte perechi am scris.

Dacă $A$ și $B$ sunt mulțimi de numere, fiecare pereche ordonată $(a, b) \in A \times B$ poate fi reprezentată ca un punct într-un plan: $a$ arată cât de departe e punctul pe orizontală, iar $b$ cât de departe e pe verticală. Așa se face legătura dintre produsul cartezian și geometrie: un punct din plan este, de fapt, o pereche ordonată de numere.

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{1, 2\}$. Produsul cartezian $A \times B$ are $3 \cdot 2 = 6$ perechi, iar fiecare pereche devine un punct.

Fiecare linie de puncte de aceeași înălțime corespunde unei valori din $B$, iar fiecare coloană corespunde unei valori din $A$. Așa se vede vizual de ce cardinalul este $|A| \cdot |B|$: sunt $3$ coloane și $2$ rânduri, adică $6$ puncte.

Un sistem de axe ortogonale se construiește din două drepte perpendiculare care se intersectează într-un punct fix, numit originea și notat $O$.

• Dreapta orizontală se numește $Ox$ (axa absciselor). Spre dreapta valorile cresc, spre stânga scad.
• Dreapta verticală se numește $Oy$ (axa ordonatelor). În sus valorile cresc, în jos scad.
• Cele două axe se intersectează în originea $O$, care are coordonatele $(0, 0)$.

Orice punct $M$ din plan este descris de o pereche ordonată de numere $M(x, y)$. $x$ se numește abscisa punctului $M$ (poziția lui pe axa $Ox$), iar $y$ se numește ordonata punctului $M$ (poziția lui pe axa $Oy$). Perechea $(x, y)$ este chiar un element al produsului cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$: ordinea contează, la fel ca la orice produs cartezian.

Pentru a reprezenta un punct $M(x, y)$: pornești din origine, te deplasezi $x$ unități pe orizontală (spre dreapta dacă $x > 0$, spre stânga dacă $x < 0$), apoi $y$ unități pe verticală (în sus dacă $y > 0$, în jos dacă $y < 0$).

Cele două axe împart planul în patru regiuni, numite cadrane, numerotate cu cifre romane în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic), începând din dreapta sus.

• Cadranul I: $x > 0$ și $y > 0$ (dreapta sus).
• Cadranul II: $x < 0$ și $y > 0$ (stânga sus).
• Cadranul III: $x < 0$ și $y < 0$ (stânga jos).
• Cadranul IV: $x > 0$ și $y < 0$ (dreapta jos).

Un punct poate fi și pe o axă, nu într-un cadran. Dacă $y = 0$, punctul este pe axa $Ox$ (indiferent de $x$). Dacă $x = 0$, punctul este pe axa $Oy$ (indiferent de $y$). Dacă $x = 0$ și $y = 0$ în același timp, punctul este chiar originea $O$.

Pentru a calcula distanța dintre două puncte $A$ și $B$ din plan, construiești un triunghi dreptunghic: din $A$ tragi o linie orizontală, din $B$ tragi o linie verticală, iar cele două linii se întâlnesc într-un al treilea punct. Segmentul $AB$ este chiar ipotenuza acestui triunghi dreptunghic.

Cateta orizontală are lungimea egală cu diferența absciselor, iar cateta verticală are lungimea egală cu diferența ordonatelor. Aplici teorema lui Pitagora: ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor.

În general, pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$, distanța $AB$ se calculează astfel:

Nu conta pe formulă ca pe o rețetă memorată fără sens: e chiar teorema lui Pitagora aplicată pe triunghiul din desen, cu catetele diferența absciselor și diferența ordonatelor. Diferența poate ieși negativă, dar la pătrat semnul dispare, deci ordinea în care scazi cele două abscise (sau cele două ordonate) nu contează.

Rezultatul nu iese mereu un număr întreg. Dacă suma pătratelor catetelor nu este un pătrat perfect, distanța rămâne sub formă de radical, ca $\sqrt{13}$.