De ce √(a²) = |a|?

Rădăcina pătrată a unui număr este mereu nenegativă. Dacă a = -5, atunci √(a²) = √(25) = 5, adică |-5|, nu -5. Când a ≥ 0 avem |a| = a, deci √(a²) = a.

Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

Q: Cum scot un factor de sub radical?

Cauți un pătrat perfect care divide numărul de sub radical, îl separi și îi calculezi rădăcina. De exemplu √(72) = √(36 · 2) = √(36) · √(2) = 6√(2). Sub radical rămâne partea care nu mai are niciun pătrat perfect.

Q: Cum aleg factorul pătrat perfect?

Împarți numărul de sub radical, pe rând, la pătratele perfecte 4, 9, 16, 25, 36, …, începând de la cel mai mare. Dacă alegi cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical, scoți factorul dintr-un singur pas. Alternativ, descompui numărul de sub radical în factori primi și grupezi perechile.

Q: Cum introduc un factor sub radical?

Îl ridici la pătrat și îl treci sub radical: pentru a ≥ 0 și b ≥ 0, a√(b) = √(a² b). De exemplu 2√(3) = √(2² · 3) = √(12), nu √(6).

Q: Pot introduce un factor negativ sub radical?

Nu direct. Un radical este nenegativ, deci -3√(2) nu poate fi egal cu √(18). Introduci sub radical doar partea pozitivă și lași semnul minus în față: -3√(2) = -√(18).

Q: Care este diferența dintre scoaterea factorilor și regula produsului?

Regula produsului spune că √(a) · √(b) = √(ab) pentru a, b ≥ 0. Scoaterea factorilor o folosește invers, pe un caz special: numărul de sub radical se scrie ca pătrat perfect înmulțit cu rest, apoi se desface, ca la √(50) = √(25 · 2) = 5√(2).

Ce vei învăța

Scoți un factor de sub radical folosind un pătrat perfect din numărul de sub radical.
Alegi pătratul perfect potrivit din descompunerea numărului de sub radical.
Introduci un factor sub radical, ridicându-l la pătrat.
Folosești $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ și înțelegi de ce apare valoarea absolută.
Tratezi corect un factor negativ: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$ nu $\sqrt{18}$
Verifici o transformare prin ridicare la pătrat sau prin drumul invers.

Recomandat înainte: Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

Ideea de bază

Din lecția trecută știi regula produsului: pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$ $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ De aici pornesc amândouă transformările de azi.

Scoaterea factorilor: dacă în numărul de sub radical găsești un pătrat perfect, îl separi și îi calculezi rădăcina. De exemplu $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

\begin{aligned}\sqrt{a^2 b} &= \lvert a\rvert\sqrt{b}, \quad b \ge 0 \\ a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2 b}, \quad a \ge 0,\; b \ge 0\end{aligned}

Introducerea factorilor merge invers: pentru $a \ge 0$ scrii $a$ ca $\sqrt{a^2}$ și îl bagi sub radical. $2\sqrt{3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{12}$

În cazul general, un factor scos dintr-un pătrat este $\lvert a\rvert$ nu $a$ pentru că $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ rădăcina pătrată dă mereu un număr nenegativ.

De ce vrem o formă mai simplă

Un radical ca $\sqrt{72}$ nu este un număr întreg: $8^2 = 64$ și $9^2 = 81$ deci $\sqrt{72}$ este între $8$ și $9$ Nu îl poți calcula exact, dar îl poți scrie mai clar.

Ideea: dacă în numărul de sub radical se ascunde un pătrat perfect, îl scoți afară. $\sqrt{72}$ devine $6\sqrt{2}$ Aceeași valoare, formă mai simplă. Forma $6\sqrt{2}$ se compară și se adună mai ușor cu alți radicali, iar la teme răspunsul se dă de obicei așa.

Tot ce folosești este regula produsului din lecția trecută, $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$ citită de la dreapta la stânga: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Cauți un pătrat perfect sub radical

Pătratele perfecte utile sunt $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ Când scrii numărul de sub radical ca un pătrat perfect înmulțit cu altceva, jumătate din treabă e gata.

Pentru $72$ îl împarți pe rând la pătrate perfecte, de la cel mai mare. $72 : 36 = 2$ iar $2$ nu mai are niciun pătrat perfect în el. Deci $72 = 36\cdot 2$ cu $36$ pătrat perfect.

72 = 4\cdot 18

merge, dar

18 = 9\cdot 2

mai are un pătrat

72 = 9\cdot 8

merge, dar

8 = 4\cdot 2

mai are un pătrat

72 = 36\cdot 2

36

este cel mai mare pătrat perfect care divide

72

2

nu mai are niciunul

Cel mai mare pătrat perfect dintr-o dată

Dacă alegi cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical, scoți factorul dintr-un singur pas. Dacă alegi unul mai mic, transformarea e corectă, dar trebuie repetată până nu mai rămâne niciun pătrat perfect sub radical.

Scoaterea factorilor de sub radical

După ce ai scris numărul de sub radical ca pătrat perfect înmulțit cu rest, desparți radicalul în două și îi calculezi rădăcina pătratului.

\sqrt{72}

caut un pătrat perfect în

72

= \sqrt{36\cdot 2}

72 = 36\cdot 2

iar

36 = 6^2

= \sqrt{36}\cdot\sqrt{2}

regula produsului, ambii factori nenegativi

= 6\sqrt{2}

\sqrt{36} = 6

\sqrt{2}

rămâne, nu e pătrat perfect

Scrisă cu litere, când sub radical apare o expresie de forma $a^2 b$ cu $b \ge 0$

\sqrt{a^2 b} = \lvert a\rvert\sqrt{b}, \quad b \ge 0

Pe numere pozitive $a$ este chiar valoarea lui, deci poți scrie mai simplu: pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$ $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ La exemplele cu numere concrete (cum e $\sqrt{72}$ ești mereu în acest caz.

\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}

50 = 25\cdot 2

\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}

48 = 16\cdot 3

\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}

27 = 9\cdot 3

Radicalul nu dispare

După ce scoți pătratul perfect, sub radical rămâne cealaltă parte. $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ nu $\sqrt{18} = 3$ Verifică: $\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9\cdot 2 = 18$

Cum alegi pătratul perfect

Cu puțin exercițiu recunoști direct pătratul perfect de sub radical. Tabelul de mai jos adună cazurile care apar cel mai des.

Radical, pătratul perfect folosit și forma simplă
Radical	Pătrat perfect	Forma simplă
$\sqrt{12}$	$4$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}$	$9$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{50}$	$25$	$5\sqrt{2}$
$\sqrt{75}$	$25$	$5\sqrt{3}$
$\sqrt{72}$	$36$	$6\sqrt{2}$
$\sqrt{98}$	$49$	$7\sqrt{2}$

Dacă nu vezi pătratul perfect dintr-o privire, poți descompune numărul de sub radical în factori primi. Factorii care apar de câte două ori formează un pătrat perfect.

72 = 2^3\cdot 3^2

descompunere în factori primi

= 2^2\cdot 3^2\cdot 2

grupez perechile:

2^2

și

3^2

= 36\cdot 2

2^2\cdot 3^2 = 4\cdot 9 = 36

\sqrt{72} = 6\sqrt{2}

scot

\sqrt{36} = 6

Descompunerea în factori primi este o metodă de rezervă, nu obligatorie. Pentru numere mici, căutarea directă a pătratului perfect este mai rapidă.

De ce apare valoarea absolută

Rădăcina pătrată a unui număr este, prin definiție, numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă numărul de sub radical. Rezultatul nu poate fi negativ.

Ia $a = -5$ Atunci $a^2 = 25$ iar $\sqrt{a^2} = \sqrt{25} = 5$ Rezultatul este $5$ nu $-5$

\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5

rădăcina pătrată este nenegativă

5 = \lvert -5\rvert

\lvert -5\rvert

este distanța lui

-5

față de

0

\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert

Aici $\lvert a\rvert$ înseamnă valoarea lui $a$ fără semn: $\lvert 5\rvert = 5$ și $\lvert -5\rvert = 5$ Când $a \ge 0$ atunci $\lvert a\rvert = a$ deci $\sqrt{a^2} = a$ Modulul se studiază pe larg mai târziu; deocamdată îți e de ajuns că este numărul fără semn.

La numere concrete ești mereu pe cazul simplu

$\sqrt{72}$ $\sqrt{50}$ $\sqrt{48}$ au sub radical un număr pozitiv și scot un factor pozitiv. Valoarea absolută contează doar când sub radical apare o literă care ar putea fi negativă, de exemplu $\sqrt{a^2 b}$ cu $a$ oarecare.

Introducerea factorilor sub radical

Uneori vrei drumul invers: un număr scris în fața radicalului, adus sub radical. Cheia este că orice număr nenegativ $a$ se scrie ca $\sqrt{a^2}$

3\sqrt{2}

vreau totul sub un singur radical

= \sqrt{9}\cdot\sqrt{2}

3 = \sqrt{9}

pentru că

3 \ge 0

= \sqrt{9\cdot 2}

regula produsului

= \sqrt{18}

9\cdot 2 = 18

Regula, pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$

a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}, \quad a \ge 0,\; b \ge 0

Factorul se ridică la pătrat înainte de a intra sub radical, nu intră așa cum e. $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2\cdot 3} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{12}$ nu $\sqrt{6}$

5\sqrt{2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}

5^2 = 25

4\sqrt{3} = \sqrt{16\cdot 3} = \sqrt{48}

4^2 = 16

\sqrt{10} = 1\cdot\sqrt{10}

un radical fără factor în față are deja factorul

1

Când factorul din față este negativ

Un radical este mereu nenegativ. Deci $-3\sqrt{2}$ este un număr negativ, iar $\sqrt{\text{ceva}}$ nu poate fi negativ. Nu poți scrie $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$

Introduci sub radical doar partea pozitivă și lași semnul minus în față:

-3\sqrt{2} = -\left(3\sqrt{2}\right)

separ semnul de partea pozitivă

= -\sqrt{9\cdot 2}

introduc doar

3

sub radical

= -\sqrt{18}

semnul minus rămâne în față

Semnul minus stă în afara radicalului

$-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$ Verifică numeric: $-3\sqrt{2} \approx -4{,}24$ și $-\sqrt{18} \approx -4{,}24$ dar $\sqrt{18} \approx 4{,}24$ este pozitiv, deci diferit.

Pe scurt, pentru $a < 0$ și $b \ge 0$ avem $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ adică $a\sqrt{b} = -\lvert a\rvert\sqrt{b}$ Pentru $a \ge 0$ rămâne $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$

Scoaterea și introducerea sunt operații inverse

Cele două transformări se anulează una pe alta. Dacă scoți un factor și apoi îl introduci la loc, ajungi de unde ai plecat.

\sqrt{50} \;\longrightarrow\; 5\sqrt{2} \;\longrightarrow\; \sqrt{50}

De aici vine și cel mai bun mod de verificare: după ce scoți un factor, introdu-l înapoi și vezi dacă obții radicalul de la început. După ce introduci un factor, scoate-l și compară.

Aceeași valoare, două forme
Cu factor în față	Sub un singur radical
$2\sqrt{3}$	$\sqrt{12}$
$3\sqrt{2}$	$\sqrt{18}$
$5\sqrt{2}$	$\sqrt{50}$
$6\sqrt{2}$	$\sqrt{72}$

Forma cu factor în față se numește uneori „formă simplă” a radicalului, pentru că sub radical rămâne cel mai mic număr posibil. Ca răspuns la un exercițiu, aceasta este forma cerută de obicei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: $\sqrt{12}$

Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{12}$

Vezi rezolvarea

Caut un pătrat perfect care divide $12$ $12 = 4\cdot 3$ iar $4 = 2^2$

\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Verific prin ridicare la pătrat: $\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4\cdot 3 = 12$ Corect.

Exemplul 2: $\sqrt{18}$

Scrie $\sqrt{18}$ în formă simplă.

Vezi rezolvarea

$18 = 9\cdot 2$ cu $9 = 3^2$ pătrat perfect. $2$ nu mai are niciun pătrat perfect.

\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}

Exemplul 3: $\sqrt{72}$

Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{72}$

Vezi rezolvarea

Cel mai mare pătrat perfect care divide $72$ este $36$ $72 = 36\cdot 2$

\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2}

= \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Dacă alegeai $72 = 4\cdot 18$ obțineai $2\sqrt{18}$ apoi $2\cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ Același rezultat, mai mulți pași.

Exemplul 4: $\sqrt{98}$

Scrie $\sqrt{98}$ în formă simplă.

Vezi rezolvarea

$98 = 49\cdot 2$ iar $49 = 7^2$

\sqrt{98} = \sqrt{49\cdot 2} = 7\sqrt{2}

Exemplul 5: $2\sqrt{3}$ sub radical

Introdu factorul sub radical: $2\sqrt{3}$

Vezi rezolvarea

$2$ este pozitiv, deci $2 = \sqrt{4}$ Ridic factorul la pătrat înainte de a-l introduce.

2\sqrt{3} = \sqrt{2^2\cdot 3} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{12}

Verific mergând invers: $\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Exemplul 6: $5\sqrt{2}$ sub radical

Scrie $5\sqrt{2}$ ca un singur radical.

Vezi rezolvarea

5\sqrt{2} = \sqrt{5^2\cdot 2} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{50}

Nu $\sqrt{10}$ factorul $5$ intră ridicat la pătrat, nu așa cum e.

Exemplul 7: $-3\sqrt{2}$

Scrie $-3\sqrt{2}$ folosind un singur radical.

Vezi rezolvarea

$-3\sqrt{2}$ este negativ, iar un radical este nenegativ. Deci semnul minus trebuie să rămână în față.

-3\sqrt{2} = -\sqrt{9\cdot 2} = -\sqrt{18}

Scris $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ ar fi greșit: partea dreaptă este pozitivă, partea stângă negativă.

Exemplul 8: $\sqrt{(-5)^2}$

Calculează $\sqrt{(-5)^2}$

Vezi rezolvarea

Întâi calculezi ce este sub radical: $(-5)^2 = 25$ Apoi rădăcina.

\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5

Rezultatul este $5$ nu $-5$ rădăcina pătrată este mereu nenegativă. Și $\lvert -5\rvert = 5$ deci $\sqrt{(-5)^2} = \lvert -5\rvert$

Exemplul 9: care formă este cea simplă?

Un elev scrie $\sqrt{200} = 2\sqrt{50}$ Este forma simplă? Dacă nu, corecteaz-o.

Vezi rezolvarea

Transformarea este corectă $200 = 4\cdot 50$ dar nu e terminată: sub radical a rămas $50 = 25\cdot 2$ care mai are un pătrat perfect.

\sqrt{200} = \sqrt{4\cdot 50} = 2\sqrt{50}

pas corect, dar nefinal

= 2\cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}

\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Direct: $200 = 100\cdot 2$ deci $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ Forma simplă are sub radical cel mai mic număr posibil.

Greșeli frecvente

Scriu $\sqrt{12} = 6$ împărțind numărul de sub radical la $2$
Rădăcina pătrată nu este împărțire la $2$ $\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ iar $\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 12$ $6^2 = 36$ deci $\sqrt{12} \ne 6$
Din $\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3}$ scot $4$ direct: $\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
Se scoate $\sqrt{4} = 2$ nu $4$ $\sqrt{12} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ Control: $\left(4\sqrt{3}\right)^2 = 48 \ne 12$
Scriu $\sqrt{a^2} = a$ pentru orice $a$
Adevărat doar când $a \ge 0$ În general $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ pentru că rădăcina pătrată este nenegativă. $\sqrt{(-5)^2} = 5$ nu $-5$
Introduc factorul negativ sub radical: $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$
$\sqrt{18}$ este pozitiv, $-3\sqrt{2}$ este negativ. Semnul minus rămâne în față: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$
Introduc factorul fără să îl ridic la pătrat: $3\sqrt{2} = \sqrt{6}$
Factorul intră ridicat la pătrat: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2\cdot 2} = \sqrt{18}$ Verific invers: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ iar $\sqrt{6} \approx 2{,}45 \ne 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$
După ce scot pătratul perfect, uit radicalul rămas: $\sqrt{18} = 3$
Sub radical rămâne cealaltă parte: $\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ nu dispare.
Mă opresc prea devreme: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$
$\sqrt{18}$ mai are un pătrat perfect: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ deci $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ Sub radical trebuie să rămână un număr fără niciun pătrat perfect.

Exerciții

Ușor

Scrie $\sqrt{8}$ în formă simplă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$8 = 4\cdot 2$ deci $\sqrt{8} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{27}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
$27 = 9\cdot 3$ iar $\sqrt{9} = 3$
Scrie $\sqrt{63}$ în formă simplă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$
$63 = 9\cdot 7$ iar $\sqrt{9} = 3$
Introdu factorul sub radical: $2\sqrt{7}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$
$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2\cdot 7} = \sqrt{4\cdot 7} = \sqrt{28}$
Scrie $4\sqrt{3}$ ca un singur radical.
Arată răspunsul
Răspuns: $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$
$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2\cdot 3} = \sqrt{16\cdot 3} = \sqrt{48}$

Mediu

Scrie $\sqrt{48}$ în formă simplă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
Cel mai mare pătrat perfect care divide $48$ este $16$ $48 = 16\cdot 3$ deci $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{75}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$
$75 = 25\cdot 3$ iar $\sqrt{25} = 5$
Scrie $\sqrt{700}$ în formă simplă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{700} = 10\sqrt{7}$
$700 = 100\cdot 7$ iar $\sqrt{100} = 10$ Dacă pornești de la $700 = 4\cdot 175$ mai trebuie să simplifici $\sqrt{175} = 5\sqrt{7}$
Calculează $\sqrt{(-7)^2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{(-7)^2} = 7$
$(-7)^2 = 49$ iar $\sqrt{49} = 7 = \lvert -7\rvert$ Rădăcina pătrată este nenegativă.
Scrie $-2\sqrt{5}$ folosind un singur radical.
Arată răspunsul
Răspuns: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{20}$
Introduci sub radical doar partea pozitivă: $2\sqrt{5} = \sqrt{4\cdot 5} = \sqrt{20}$ iar minusul rămâne în față. $-2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ ar fi greșit.

Provocare

Sunt egale numerele $\sqrt{72}$ și $6\sqrt{2}$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}$ Sau invers: $6\sqrt{2} = \sqrt{36\cdot 2} = \sqrt{72}$ Cele două forme sunt scrieri diferite ale aceluiași număr.
Fără calculator, care este mai mare: $3\sqrt{5}$ sau $\sqrt{50}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{50}$ este mai mare.
Aduc ambele sub radical: $3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}$ Cum $45 < 50$ avem $\sqrt{45} < \sqrt{50}$ deci $3\sqrt{5} < \sqrt{50}$
Scrie $\sqrt{288}$ în formă simplă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$
$288 = 144\cdot 2$ iar $\sqrt{144} = 12$ Sau prin factori primi: $288 = 2^5\cdot 3^2 = \left(2^2\cdot 3\right)^2\cdot 2 = 144\cdot 2$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $\sqrt{44}$ în formă simplă?
1. $4\sqrt{11}$
2. $11\sqrt{2}$
3. $2\sqrt{11}$
4. $22\sqrt{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2\sqrt{11}$
$44 = 4\cdot 11$ deci $\sqrt{44} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{11} = 2\sqrt{11}$ Se scoate $\sqrt{4} = 2$ nu $4$
2. Cum se scrie $3\sqrt{6}$ ca un singur radical?
1. $\sqrt{54}$
2. $\sqrt{18}$
3. $\sqrt{9}$
4. $\sqrt{36}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{54}$
Factorul intră ridicat la pătrat: $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2\cdot 6} = \sqrt{54}$
3. Pentru un număr real oarecare $a$ cât este $\sqrt{a^2}$
1. $a$
2. $-a$
3. $a^2$
4. $\lvert a\rvert$
Arată răspunsul
Răspuns: $\lvert a\rvert$
Rădăcina pătrată este nenegativă, deci $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ Egalitatea $\sqrt{a^2} = a$ ține doar când $a \ge 0$
4. Care scriere este greșită?
1. $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$
2. $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$
3. $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$
4. $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-3\sqrt{2} = \sqrt{18}$
$\sqrt{18}$ este pozitiv, iar $-3\sqrt{2}$ este negativ. Corect: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$
5. Scrie $-4\sqrt{2}$ folosind un singur radical.
Arată răspunsul
Răspuns: $-\sqrt{32}$
Introduci doar $4$ sub radical: $4\sqrt{2} = \sqrt{16\cdot 2} = \sqrt{32}$ minusul rămâne în față.
6. Calculează $\sqrt{(-6)^2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$(-6)^2 = 36$ iar $\sqrt{36} = 6 = \lvert -6\rvert$
7. De ce $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ și nu $25\sqrt{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că se scoate $\sqrt{25} = 5$ nu $25$
$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ Control: $\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 25\cdot 2 = 50$

Întrebări frecvente

Cum scot un factor de sub radical?

Cauți un pătrat perfect care divide numărul de sub radical, îl separi și îi calculezi rădăcina. De exemplu $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ Sub radical rămâne partea care nu mai are niciun pătrat perfect.

Cum aleg factorul pătrat perfect?

Împarți numărul de sub radical, pe rând, la pătratele perfecte $4, 9, 16, 25, 36, \ldots$ începând de la cel mai mare. Dacă alegi cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical, scoți factorul dintr-un singur pas. Alternativ, descompui numărul de sub radical în factori primi și grupezi perechile.

Cum introduc un factor sub radical?

Îl ridici la pătrat și îl treci sub radical: pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$ $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ De exemplu $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2\cdot 3} = \sqrt{12}$ nu $\sqrt{6}$

De ce

\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert

Rădăcina pătrată a unui număr este mereu nenegativă. Dacă $a = -5$ atunci $\sqrt{a^2} = \sqrt{25} = 5$ adică $\lvert -5\rvert$ nu $-5$ Când $a \ge 0$ avem $\lvert a\rvert = a$ deci $\sqrt{a^2} = a$

Pot introduce un factor negativ sub radical?

Nu direct. Un radical este nenegativ, deci $-3\sqrt{2}$ nu poate fi egal cu $\sqrt{18}$ Introduci sub radical doar partea pozitivă și lași semnul minus în față: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$

Care este diferența dintre scoaterea factorilor și regula produsului?

Regula produsului spune că $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pentru $a, b \ge 0$ Scoaterea factorilor o folosește invers, pe un caz special: numărul de sub radical se scrie ca pătrat perfect înmulțit cu rest, apoi se desface, ca la $\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

Ce vei învăța

Ideea de bază

De ce vrem o formă mai simplă

Cauți un pătrat perfect sub radical

Scoaterea factorilor de sub radical

Cum alegi pătratul perfect

De ce apare valoarea absolută

Introducerea factorilor sub radical

Când factorul din față este negativ

Scoaterea și introducerea sunt operații inverse