Modulul unui număr real. Comparare și ordonare – Clasa a VII-a

Q: Ce este modulul unui număr real?

Este distanța de la acel număr la 0 pe axa numerelor, scrisă |x|. Fiind o distanță, nu este niciodată negativ. |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0.

Q: De ce |-5| = 5?

Pentru că -5 se află la 5 unități de 0 pe axă, la fel ca 5, doar în partea cealaltă. Modulul măsoară distanța, nu ține cont de direcție. Cu definiția pe cazuri: -5 < 0, deci |-5| = -(-5) = 5.

Q: Care este legătura dintre √(a²) și |a|?

Sunt egale pentru orice număr real a: √(a²) = |a|. Ridicarea la pătrat șterge semnul, iar rădăcina pătrată dă mereu un rezultat nenegativ, adică numărul fără semn. De exemplu √((-5)²) = √(25) = 5 = |-5|.

Q: Cum compar două numere reale?

Te uiți la poziția lor pe axă: numărul din stânga este mai mic. Numerele întregi și raționale simple le compari direct. La numere negative, cel mai departe de 0 este cel mai mic.

Q: Cum compar un radical cu un număr natural?

Scrii numărul natural ca radical și compari numerele de sub radical. 3 = √(9), iar 7 < 9, deci √(7) < 3. Dacă radicalul se compară cu o zecimală, ridici ambele numere la pătrat.

Q: Cum reprezint un radical pe axa numerelor?

Îl încadrezi între două numere întregi consecutive, apoi îl marchezi aproximativ. √(2) este între 1 și 2, aproape de mijloc, pentru că √(2) ≈ 1,41. Opusul, -√(2), cade simetric față de 0.

Ce vei învăța

Explici modulul unui număr real ca distanță față de $0$ și îl calculezi pentru numere simple.
Folosești definiția pe cazuri a modulului și proprietățile lui de bază.
Înțelegi de ce $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ pentru orice număr real $a$
Compari două numere reale, inclusiv radicali, folosind pătratele sau o aproximare.
Ordonezi un șir de numere reale și le așezi aproximativ pe axă.

Recomandat înainte: Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

Ideea de bază

Modulul unui număr real $x$ scris $\lvert x\rvert$ este distanța de la $x$ la $0$ pe axa numerelor. O distanță nu este niciodată negativă.

$-3$ și $3$ sunt amândouă la $3$ unități de $0$ doar în părți diferite. De aceea $\lvert -3\rvert = 3$ și $\lvert 3\rvert = 3$

\lvert x\rvert = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

Pe aceeași axă citești și ordinea. Dacă $x$ este la stânga lui $y$ atunci $x < y$ Pentru numerele scrise cu radical folosești pătratele sau o aproximare ca să afli unde cad.

Distanța față de 0

Ia axa numerelor și pune degetul pe $0$ Cât de departe este $3$ Trei unități la dreapta. Cât de departe este $-3$ Tot trei unități, dar la stânga.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

și

3

sunt la aceeași distanță de

0

câte

3

unități, în părți opuse. Distanța aceasta este modulul:

\lvert -3\rvert = 3

și

\lvert 3\rvert = 3

Distanța nu ține cont de direcție. De la $0$ la $-3$ mergi tot atâta cât de la $0$ la $3$ Numărul care măsoară această distanță se numește modulul numărului.

Modulul unui număr real

Modulul numărului real $x$ se notează $\lvert x\rvert$ și este distanța de la $x$ la $0$ pe axă.

$\lvert 5\rvert = 5$ numărul $5$ este la $5$ unități de $0$
$\lvert -5\rvert = 5$ numărul $-5$ este tot la $5$ unități de $0$
$\lvert 0\rvert = 0$ numărul $0$ este chiar în origine, la distanță $0$
$\lvert -\sqrt{2}\rvert = \sqrt{2}$ și un număr irațional are o distanță față de $0$

Modulul unui număr pozitiv este chiar numărul. Modulul unui număr negativ este numărul luat fără semn. Modulul lui $0$ este $0$

Barele nu sunt paranteze

$\lvert -4\rvert$ înseamnă „distanța de la $-4$ la $0$ adică $4$ Nu confunda barele cu parantezele: $(-4)$ este tot $-4$ dar $\lvert -4\rvert$ este $4$

Definiția pe cazuri

Ca s-o scrii cu formule, desparți în două cazuri, după semnul lui $x$

\lvert x\rvert = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}

Dacă $x \ge 0$ atunci $\lvert x\rvert = x$ Exemplu: $\lvert 7\rvert = 7$
Dacă $x < 0$ atunci $\lvert x\rvert = -x$ Exemplu: $\lvert -7\rvert = -(-7) = 7$

$-x$ nu înseamnă „un număr negativ”

Când $x$ este negativ, $-x$ este pozitiv. Pentru $x = -7$ ai $-x = 7$ De aceea al doilea caz al definiției dă tot un rezultat pozitiv, așa cum trebuie o distanță.

Proprietăți simple ale modulului

Trei proprietăți se folosesc tot timpul. Toate vin direct din ideea de distanță.

\begin{aligned}&\lvert x\rvert \ge 0 \qquad \lvert x\rvert = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \\ &\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert\end{aligned}

$\lvert x\rvert \ge 0$ o distanță nu poate fi negativă.
$\lvert x\rvert = 0$ doar pentru $x = 0$ singurul număr la distanță $0$ de origine este chiar $0$
$\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert$ un număr și opusul lui sunt la aceeași distanță de $0$ deci au același modul. $\lvert -8\rvert = \lvert 8\rvert = 8$

Modulul mărginește numărul

Numărul $x$ stă mereu între $-\lvert x\rvert$ și $\lvert x\rvert$ $-\lvert x\rvert \le x \le \lvert x\rvert$ Pentru $x = -3$ $-3 \le -3 \le 3$ Este altă formă a aceleiași idei: modulul este cât de mult te poți depărta de $0$

De ce $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$

La scoaterea factorilor de sub radical ai folosit regula $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ Acum poți vedea de ce apare modulul.

Rădăcina pătrată a unui număr este mereu nenegativă. Dacă $a$ este deja pozitiv sau $0$ atunci $\sqrt{a^2} = a$ Dacă $a$ este negativ, ridicarea la pătrat șterge semnul, iar rădăcina dă numărul pozitiv, adică $-a$ Amândouă cazurile sunt exact definiția modulului.

a = -5

un număr negativ

\sqrt{a^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5

\lvert a\rvert = \lvert -5\rvert = 5

același rezultat

Deci $\sqrt{(-5)^2} = 5$ nu $-5$ Pentru numere concrete pozitive scrii simplu $\sqrt{7^2} = 7$ modulul contează când sub pătrat apare o literă care ar putea fi negativă.

Reprezentarea numerelor reale pe axă

Fiecărui număr real îi corespunde un punct pe axă și fiecărui punct un număr real. Un număr rațional simplu îl marchezi exact. Un radical îl marchezi aproximativ, folosind încadrarea între două numere întregi.

$\sqrt{2} \approx 1{,}41$ pentru că $1^2 = 1$ și $2^2 = 4$ deci $1 < \sqrt{2} < 2$ Opusul lui, $-\sqrt{2}$ cade simetric față de $0$ la aceeași distanță.

-\sqrt{2}

\sqrt{2}

-2

-1

0

1

2

-\sqrt{2}

și

\sqrt{2}

sunt simetrice față de

0

Amândouă la distanța

\sqrt{2} \approx 1{,}41

adică

\lvert -\sqrt{2}\rvert = \lvert \sqrt{2}\rvert = \sqrt{2}

Pentru o poziție mai bună folosești mai multe zecimale. $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ deci cade aproape de $2$ dar înainte de el.

Compararea numerelor reale

Regula de bază vine tot de pe axă. Dintre două numere reale, cel din stânga este mai mic.

x < y \Longleftrightarrow x \text{ este la stânga lui } y \text{ pe axă}

În practică lucrezi pe categorii.

Numere întregi sau raționale scrise obișnuit: le compari direct, ca în clasele trecute. $-2 < 1$ $\dfrac{3}{2} < 2$
Radicali pozitivi: îi compari prin pătrate. Dacă $0 \le a < b$ atunci $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ Compari numerele de sub radical sau ridici ambele numere la pătrat.
Când un radical se compară cu o zecimală, ridici la pătrat. Pentru $\sqrt{20}$ și $4{,}5$ $\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20$ și $4{,}5^2 = 20{,}25$ Cum $20 < 20{,}25$ rezultă $\sqrt{20} < 4{,}5$
Numere negative: gândește-te la poziția pe axă. Cu cât un număr negativ este mai departe de $0$ cu atât este mai mic.

Compari prin pătrate doar numere nenegative

Ridicarea la pătrat păstrează ordinea numai pentru numere $\ge 0$ $2 < 3$ dă $4 < 9$ Dar $-3 < -2$ iar $9 > 4$ La numere negative folosești axa, nu pătratele.

Compararea radicalilor prin pătrate

Pentru doi radicali pozitivi, cel cu numărul de sub radical mai mare este mai mare. Iar un radical se compară cu un număr natural ridicând numărul la pătrat.

\sqrt{7} \;\square\; 3

ce semn pui?

3 = \sqrt{9}

scrii numărul ca radical

7 < 9 \;\Rightarrow\; \sqrt{7} < \sqrt{9}

\sqrt{7} < 3

\sqrt{20} \;\square\; 4

ce semn pui?

4 = \sqrt{16}

20 > 16 \;\Rightarrow\; \sqrt{20} > \sqrt{16}

\sqrt{20} > 4

Comparația $\sqrt{10}$ cu $\sqrt{11}$ rezultă direct din $10 < 11$ Aproximările o confirmă: $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ și $\sqrt{11} \approx 3{,}32$ Dar nu ai nevoie de ele, pentru că regula cu numerele de sub radical este suficientă.

Numere negative: ordinea se schimbă

La numere negative, semnul se poartă cu grijă. Dacă $\sqrt{5} > 2$ atunci opusele lor stau invers: $-\sqrt{5} < -2$

$5 > 4$ deci $\sqrt{5} > 2$
Iei opusul fiecărei părți. Când schimbi semnul, întorci și inegalitatea.
$-\sqrt{5} < -2$

Verifici pe axă. $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ deci $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ Numărul $-2{,}24$ este mai la stânga decât $-2$ deci este mai mic.

Modulul mai mare nu înseamnă număr mai mare

$\lvert -10\rvert = 10$ și $\lvert 3\rvert = 3$ deci $-10$ are modulul mai mare. Dar $-10 < 3$ Modulul spune cât de departe de $0$ nu în ce parte.

Ordonarea unui șir de numere reale

Ca să ordonezi mai multe numere reale, adu-le pe toate la o formă în care le poți așeza pe axă: valori exacte unde se poate, aproximări unde ai nevoie.

Ordonează crescător: $-2$ $\sqrt{2}$ $1{,}5$ $\sqrt{4}$

$\sqrt{4} = 2$ exact.
$\sqrt{2} \approx 1{,}41$ între $1$ și $2$
$-2$ este singurul negativ, deci cel mai mic.
Rămâne de comparat $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ cu $1{,}5$ $\sqrt{2} < 1{,}5$ pentru că $2 < 1{,}5^2 = 2{,}25$

-2 < \sqrt{2} < 1{,}5 < \sqrt{4}

-2

\sqrt{2}

1{,}5

\sqrt{4}

-2

-1

0

1

2

Aceleași patru numere pe axă. Ordinea crescătoare se citește de la stânga la dreapta.

Egal sau aproximativ

$\sqrt{4} = 2$ se scrie cu semnul egal, pentru că $4$ este pătrat perfect. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ se scrie cu $\approx$ pentru că $1{,}41^2 = 1{,}9881$ aproape de $2$ dar nu chiar $2$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: $\lvert -7\rvert$

Cât este $\lvert -7\rvert$

Vezi rezolvarea

$-7$ este la $7$ unități de $0$ pe axă. Distanța este $7$

\lvert -7\rvert = -(-7) = 7

Cu definiția: $-7 < 0$ deci $\lvert -7\rvert = -x = -(-7) = 7$

Exemplul 2: $\lvert 0\rvert$

Cât este $\lvert 0\rvert$

Vezi rezolvarea

$0$ este chiar în origine. Distanța de la $0$ la $0$ este $0$

\lvert 0\rvert = 0

$0$ este singurul număr cu modulul $0$

Exemplul 3: $\lvert -\sqrt{3}\rvert$

Cât este $\lvert -\sqrt{3}\rvert$

Vezi rezolvarea

$\sqrt{3}$ este un număr pozitiv, aproximativ $1{,}73$ Opusul lui, $-\sqrt{3}$ este negativ.

Modulul unui număr negativ este numărul fără semn.

\lvert -\sqrt{3}\rvert = \sqrt{3}

Exemplul 4: $\sqrt{(-4)^2}$

Cât este $\sqrt{(-4)^2}$ Explică de ce nu este $-4$

Vezi rezolvarea

Întâi ridici la pătrat sub radical: $(-4)^2 = 16$ Apoi iei rădăcina: $\sqrt{16} = 4$

\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \lvert -4\rvert

Rezultatul unei rădăcini pătrate este mereu nenegativ, deci nu poate fi $-4$ Regula generală este $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$

Exemplul 5: compară $\sqrt{7}$ și $3$

Care este mai mare, $\sqrt{7}$ sau $3$

Vezi rezolvarea

Scrii $3$ ca radical: $3 = \sqrt{9}$

7 < 9 \;\Rightarrow\; \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3

Deci $\sqrt{7} < 3$

Exemplul 6: compară $\sqrt{20}$ și $4{,}5$

Care este mai mare, $\sqrt{20}$ sau $4{,}5$

Vezi rezolvarea

Amândouă sunt pozitive, deci ridici ambele la pătrat.

\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20

4{,}5^2 = 20{,}25

20 < 20{,}25 \;\Rightarrow\; \sqrt{20} < 4{,}5

$\sqrt{20} \approx 4{,}47$ ceea ce confirmă răspunsul.

Exemplul 7: compară $-\sqrt{5}$ și $-2$

Care este mai mare, $-\sqrt{5}$ sau $-2$

Vezi rezolvarea

Compari întâi părțile pozitive. $5 > 4$ deci $\sqrt{5} > 2$

Iei opusul fiecărei părți și întorci inegalitatea.

\sqrt{5} > 2 \;\Rightarrow\; -\sqrt{5} < -2

Pe axă: $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ este mai la stânga decât $-2$ deci mai mic.

Exemplul 8: ordonează patru numere

Ordonează crescător: $-\sqrt{5}$ $-2$ $0$ $\dfrac{3}{2}$ $\sqrt{3}$

Vezi rezolvarea

$-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ este cel mai la stânga.
$-2$ vine după el.
$0$ este originea.
$\dfrac{3}{2} = 1{,}5$
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$ este mai mare decât $1{,}5$ pentru că $3 > 1{,}5^2 = 2{,}25$

-\sqrt{5} < -2 < 0 < \dfrac{3}{2} < \sqrt{3}

Exemplul 9: pune numerele pe axă

Așază aproximativ pe axă numerele $\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ și $\sqrt{8}$

Vezi rezolvarea

Încadrezi fiecare radical între două numere întregi consecutive.

$1 < \sqrt{2} < 2$ aproape de mijloc: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$
$2 < \sqrt{5} < 3$ puțin peste $2$ $\sqrt{5} \approx 2{,}24$
$2 < \sqrt{8} < 3$ aproape de $3$ $\sqrt{8} \approx 2{,}83$

\sqrt{2}

\sqrt{5}

\sqrt{8}

1

2

3

\sqrt{2} < \sqrt{5} < \sqrt{8}

la fel ca

2 < 5 < 8

Greșeli frecvente

Scriu $\lvert -5\rvert = -5$
Modulul este o distanță, deci nu este negativ. $-5$ este la $5$ unități de $0$ deci $\lvert -5\rvert = 5$
Scriu $\lvert 5\rvert = -5$
$5$ este deja pozitiv și este la $5$ unități de $0$ $\lvert 5\rvert = 5$ Modulul nu schimbă semnul unui număr pozitiv.
Tratez $\lvert -3\rvert$ ca pe o paranteză și scriu $\lvert -3\rvert = -3$
Barele de modul nu sunt paranteze. $(-3) = -3$ dar $\lvert -3\rvert = 3$ Barele înseamnă „distanța față de $0$
Din $\lvert -10\rvert > \lvert 3\rvert$ trag concluzia că $-10 > 3$
Modulul mai mare arată doar că $-10$ este mai departe de $0$ Poziția pe axă spune ordinea: $-10$ este la stânga lui $3$ deci $-10 < 3$
Din $\sqrt{5} > 2$ scriu direct $-\sqrt{5} > -2$
Când iei opusul celor două părți, întorci inegalitatea: $\sqrt{5} > 2$ dă $-\sqrt{5} < -2$ La numere negative, cel mai departe de $0$ este cel mai mic.
Scriu $\sqrt{2} = 1{,}41$
$1{,}41$ este o aproximare: $1{,}41^2 = 1{,}9881 \ne 2$ Se scrie $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ cu semnul $\approx$
Scriu $\sqrt{(-5)^2} = -5$
$(-5)^2 = 25$ și $\sqrt{25} = 5$ O rădăcină pătrată nu poate fi negativă. $\sqrt{(-5)^2} = \lvert -5\rvert = 5$

Exerciții

Ușor

Cât este $\lvert -8\rvert$
Arată răspunsul
Răspuns: $\lvert -8\rvert = 8$
$-8$ este la $8$ unități de $0$
Calculează $\lvert 12\rvert$ și $\lvert -12\rvert$
Arată răspunsul
Răspuns: Amândouă sunt $12$
Un număr și opusul lui au același modul: $\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert$
Care este mai mare, $\sqrt{5}$ sau $2$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{5} > 2$
$2 = \sqrt{4}$ și $5 > 4$
Cât este $\sqrt{(-3)^2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{(-3)^2} = 3$
$(-3)^2 = 9$ și $\sqrt{9} = 3 = \lvert -3\rvert$
Între ce două numere întregi consecutive se află $\sqrt{7}$
Arată răspunsul
Răspuns: Între $2$ și $3$
$2^2 = 4$ și $3^2 = 9$ iar $4 < 7 < 9$

Mediu

Care este mai mare, $\sqrt{10}$ sau $3{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{10} < 3{,}5$
$3{,}5^2 = 12{,}25$ și $10 < 12{,}25$
Compară $-\sqrt{7}$ cu $-3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\sqrt{7} > -3$
$7 < 9$ deci $\sqrt{7} < 3$ Iei opusul și întorci: $-\sqrt{7} > -3$ $-\sqrt{7} \approx -2{,}65$
Ordonează crescător: $0{,}5$ $-\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $-1$ $1$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\sqrt{2} < -1 < 0{,}5 < 1 < \sqrt{3}$
$-\sqrt{2} \approx -1{,}41$ și $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ Restul se compară direct.
Ce valori poate avea $x$ dacă $\lvert x\rvert = 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 4$ sau $x = -4$
Sunt exact numerele aflate la distanța $4$ de $0$ unul la dreapta, unul la stânga.
Un elev scrie $\sqrt{(-6)^2} = -6$ Este corect? Dacă nu, dă răspunsul bun.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit. Corect este $\sqrt{(-6)^2} = 6$
$(-6)^2 = 36$ și $\sqrt{36} = 6$ O rădăcină pătrată este nenegativă.

Provocare

Ordonează crescător, fără calculator: $1$ $\dfrac{7}{5}$ $\sqrt{2}$ $\dfrac{3}{2}$ $\sqrt{3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $1 < \dfrac{7}{5} < \sqrt{2} < \dfrac{3}{2} < \sqrt{3}$
Compari prin pătrate. $\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25} = 1{,}96 < 2$ deci $\dfrac{7}{5} < \sqrt{2}$ $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 < 2{,}25 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ deci $\sqrt{2} < \dfrac{3}{2}$ $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25 < 3$ deci $\dfrac{3}{2} < \sqrt{3}$
Care este mai mare, $-\sqrt{10}$ sau $-\sqrt{11}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\sqrt{10} > -\sqrt{11}$
$10 < 11$ deci $\sqrt{10} < \sqrt{11}$ Iei opusul și întorci: $-\sqrt{10} > -\sqrt{11}$
Scrie toate numerele reale aflate la distanța $\sqrt{2}$ de $0$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{2}$ și $-\sqrt{2}$
La o distanță dată de $0$ sunt mereu două numere, opuse unul altuia, în afară de distanța $0$ la care este doar $0$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $\lvert -4\rvert$
1. $-4$
2. $0$
3. $4$
4. $16$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
$-4$ este la $4$ unități de $0$ deci $\lvert -4\rvert = 4$
2. Modulul unui număr real reprezintă:
1. numărul cu semnul schimbat
2. distanța de la număr la $0$ pe axă
3. numărul ridicat la pătrat
4. partea întreagă a numărului
Arată răspunsul
Răspuns: distanța de la număr la $0$ pe axă
$\lvert x\rvert$ este distanța de la $x$ la origine, deci nu este niciodată negativ.
3. Pentru orice număr real $a$ $\sqrt{a^2}$ este egal cu:
1. $a$
2. $-a$
3. $a^2$
4. $\lvert a\rvert$
Arată răspunsul
Răspuns: $\lvert a\rvert$
Rădăcina pătrată este nenegativă. Dacă $a < 0$ $\sqrt{a^2} = -a$ dacă $a \ge 0$ $\sqrt{a^2} = a$ Amândouă cazurile dau $\lvert a\rvert$
4. Care afirmație este adevărată?
1. $\sqrt{5} > 2$
2. $\sqrt{5} = 2$
3. $\sqrt{5} < 2$
4. $\sqrt{5} = 2{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{5} > 2$
$2 = \sqrt{4}$ și $5 > 4$ deci $\sqrt{5} > 2$ $\sqrt{5} \approx 2{,}24$
5. Compară $-\sqrt{3}$ cu $-2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\sqrt{3} > -2$
$\sqrt{3} < 2$ pentru că $3 < 4$ Iei opusul și întorci inegalitatea.
6. Ordonează crescător: $-1$ $\sqrt{2}$ $0$ $\sqrt{4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-1 < 0 < \sqrt{2} < \sqrt{4}$
$\sqrt{4} = 2$ și $\sqrt{2} \approx 1{,}41$
7. Scrii $\sqrt{2} = 1{,}41$ sau $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$
$1{,}41^2 = 1{,}9881 \ne 2$ deci $1{,}41$ este doar o aproximare.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr real?

Este distanța de la acel număr la $0$ pe axa numerelor, scrisă $\lvert x\rvert$ Fiind o distanță, nu este niciodată negativ. $\lvert 5\rvert = 5$ $\lvert -5\rvert = 5$ $\lvert 0\rvert = 0$

De ce

\lvert -5\rvert = 5

Pentru că $-5$ se află la $5$ unități de $0$ pe axă, la fel ca $5$ doar în partea cealaltă. Modulul măsoară distanța, nu ține cont de direcție. Cu definiția pe cazuri: $-5 < 0$ deci $\lvert -5\rvert = -(-5) = 5$

Care este legătura dintre

\sqrt{a^2}

și

\lvert a\rvert

Sunt egale pentru orice număr real $a$ $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$ Ridicarea la pătrat șterge semnul, iar rădăcina pătrată dă mereu un rezultat nenegativ, adică numărul fără semn. De exemplu $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \lvert -5\rvert$

Cum compar două numere reale?

Te uiți la poziția lor pe axă: numărul din stânga este mai mic. Numerele întregi și raționale simple le compari direct. La numere negative, cel mai departe de $0$ este cel mai mic.

Cum compar un radical cu un număr natural?

Scrii numărul natural ca radical și compari numerele de sub radical. $3 = \sqrt{9}$ iar $7 < 9$ deci $\sqrt{7} < 3$ Dacă radicalul se compară cu o zecimală, ridici ambele numere la pătrat.

Cum reprezint un radical pe axa numerelor?

Îl încadrezi între două numere întregi consecutive, apoi îl marchezi aproximativ. $\sqrt{2}$ este între $1$ și $2$ aproape de mijloc, pentru că $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ Opusul, $-\sqrt{2}$ cade simetric față de $0$

Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

Ce vei învăța

Ideea de bază

Distanța față de 0

Modulul unui număr real

Definiția pe cazuri

Proprietăți simple ale modulului

De ce $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$

Reprezentarea numerelor reale pe axă

Compararea numerelor reale

Compararea radicalilor prin pătrate

Numere negative: ordinea se schimbă

Ordonarea unui șir de numere reale