Relația de divizibilitate, definită pe mulțimea \(\mathbb{N}\) a numerelor naturale, are următoarele proprietăți:
- Numărul 0 este divizibil cu orice număr natural:
\(a\in \mathbb{N}\Rightarrow 0\text{ }\vdots \text{ }a\)
- Orice număr natural este divizibil cu 1:
\(a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\text{ }\vdots \text{ }1\)
- Relația de divizibilitate este reflexivă. Această înseamnă că orice număr natural este divizibil cu el însuși:
\(a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\text{ }\vdots \text{ }a\)
- Relația de divizibilitate este antisimetrică:
\(a,b\in \mathbb{N},a\text{ }\vdots \text{ }b\text{ și }b\text{ }\vdots \text{ }a\Rightarrow a=b\)
- Relația de divizibilitate este tranzitivă:
\(a,b,c\in \mathbb{N},a\text{ }\vdots \text{ }b\text{ și }b\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow a\text{ }\vdots \text{ }c\)
- Relația de divizibilitate rămâne valabilă și în cazul înmulțirii:
\(a,b,m\in \mathbb{N},a\text{ }\vdots \text{ }b\Rightarrow am\text{ }\vdots \text{ }bm\)
- Dacă unul dintre factorii unui produs este divizibil cu un număr natural, atunci produsul este divizibil cu acel număr:
\(a,b,c\in \mathbb{N},a\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow \left( a\cdot b \right)\text{ }\vdots \text{ }c\)
- Dacă fiecare termen al unei sume (diferențe) este divizibil cu un număr natural, atunci suma (diferența) este divizibilă cu acel număr natural:
\(a,b,c\in \mathbb{N},a\text{ }\vdots \text{ }c\text{ și }b\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow \left( a\pm b \right)\text{ }\vdots \text{ }c\)
Observații:
Demonstrarea acestor proprietăți ale relației de divizibilitate se bazează pe definiția acesteia: \(a\text{ }\vdots \text{ }b\Leftrightarrow a=b\cdot c,\text{ }c\in \mathbb{N}\)
- Fie \(a\in \mathbb{N}\). Deoarece \(0=a\cdot 0\), rezultă \(0\text{ }\vdots \text{ }a\). Deci, \(a\in \mathbb{N}\Rightarrow 0\text{ }\vdots \text{ }a\). Rezultă \(D_{0}=\mathbb{N}\).
- Deoarece \(a=1\cdot a, a\in \mathbb{N}\), rezultă \(a\text{ }\vdots \text{ }1\). Rezultă \(M_{1}=\mathbb{N}\).
- Deoarece \(a=a\cdot 1\), rezultă \(a\text{ }\vdots \text{ }a\). Deci, \(a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\text{ }\vdots \text{ }a\).
- Proprietățile anterioare clasifică divizorii unui număr a în divizori proprii și divizori improprii. Astfel, 1 și a sunt divizorii improprii ai lui a.
\(a\text{ }\vdots \text{ }b\Rightarrow a=b\cdot c\), \(c\in \mathbb{N}\)
\(b\text{ }\vdots \text{ }a\Rightarrow b=a\cdot d\), \(d\in \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow a=a\left( c\cdot d \right)\)
Din ultima egalitate rezultă \(c\cdot d=1\), deci \(c=1\), \(d=1\). Atunci \(a=b\).
–
\(a\text{ }\vdots \text{ }b\Rightarrow a=b\cdot m,m\in \mathbb{N}\)
\(b\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow b=c\cdot n,n\in \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow a=c\cdot \left( m\cdot n \right). \)
Deoarece \(a=c\cdot p\), unde \(p=m\cdot n\in \mathbb{N}\), rezultă \(a\text{ }\vdots \text{ } c\).
–
\(a\text{ }\vdots \text{ }b\Rightarrow a=b\cdot c,c\in \mathbb{N}\Rightarrow a\cdot m=\left( b\cdot m \right)\cdot c,c\in \mathbb{N}\).
Din ultima egalitate rezultă \(a\cdot m\text{ }\vdots \text{ }b\cdot m\).
–
\(a\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow a=c\cdot m,m\in \mathbb{N}\Rightarrow a\cdot b=c\cdot \left( m\cdot b \right)\).
Deoarece \(a\cdot b=c\cdot n\), unde \(n=m\cdot b\), rezultă \(\left( a\cdot b \right)\text{ }\vdots \text{ }c\).
–
\(a\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow a=c\cdot m,m\in \mathbb{N}\)
\(b\text{ }\vdots \text{ }c\Rightarrow b=c\cdot n,n\in \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow a\pm b=c\cdot \left( m\pm n \right)\).
Deoarece \(a\pm b=c\cdot q\), unde \(q=m\pm n\in \mathbb{N}\), rezultă \(\left( a\pm b \right)\text{ }\vdots \text{ } c\).