Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale este o regulă fundamentală care asigură calcularea corectă a expresiilor matematice. Prin stabilirea unei succesiuni clare pentru operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere, se evită ambiguitățile și se obțin rezultate corecte. În cele ce urmează, vom detalia principiile care stau la baza acestei ordini și modul în care acestea pot fi aplicate pas cu pas.
Ordinea efectuării operațiilor se referă la un set de reguli care stabilesc succesiunea corectă în care trebuie efectuate diferite operații matematice (cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere) atunci când sunt prezente într-o singură expresie. Aceste reguli sunt standardizate pentru a evita ambiguitățile și pentru a asigura rezultate consistente, indiferent de cine efectuează calculele.
Cu expresiile algebrice efectuăm următoarele operații:
- adunare și scădere – operații de ordinul I;
- înmulțire și împărțire – operații de ordiul al II-lea;
- ridicare la putere – operații de ordinul al III-lea.
Calculul cu expresiile algebrice se face respectând următoarele reguli:
- când avem doar operații de același ordin, se efectuează în ordinea în care sunt scrise;
- când avem operații de ordine diferite, se efectuează mai întâi operațiile de ordinul a III-lea, apoi cele de ordinul al II-lea și, în final, cele de ordinul I;
- în rezolvarea exercițiilor în care apar paranteze, efectuăm operațiile din parantezele rotunde, apoi din cele pătrate și, în final pe cele din acolade.
Reguli Generale (PEMDAS/BODMAS)
Regula ordinii operațiilor este adesea rezumată prin acronime precum PEMDAS sau BODMAS, care indică ordinea în care trebuie abordate operațiile:
P / B: Paranteze (Brackets)
Rezolvă mai întâi expresiile încadrate în paranteze, indiferent de operațiile din interiorul acestora.E / O: Exponenți (Orders)
Apoi, efectuează operațiile de ridicare la putere sau calculul rădăcinilor.MD: Înmulțire și Împărțire (Multiplication and Division)
Parcurge de la stânga la dreapta, efectuând aceste operații pe măsură ce apar.AS: Adunare și Scădere (Addition and Subtraction)
Rezolvă ultima dată aceste operații, tot de la stânga la dreapta.
Exemple:
\(\left[ 3\left( x-2 \right)-2\left( x-1 \right) \right]\cdot \left[ x\left( x+3 \right)-x\left( x+2 \right)+5 \right]=\)
\(=\left[ 3x-6-2x+2 \right]\cdot \left[ x^{2} +3x-x^{2}-2x+5\right]=\)
\(=\left( x-4 \right)\cdot \left( x+5 \right)=x^{2}+5x-4x-20=x^{2}+x-20\)
\(\left( 3x+2 \right)\left( x+1 \right)-\left( 3x^{4}-x^{3}+5x^{2} \right):x^{2}=\)
\(=3x^{2}+3x+2x+2-3x^{2}+x-5=\)
\(=6x-3\)
Curiozități Matematice
Originea regulilor de ordine:
Regulile ordinii operațiilor nu au fost întotdeauna standardizate. Înainte de secolul al XVI-lea, matematica era interpretată diferit în funcție de regiune sau matematician. Standardizarea a apărut treptat, odată cu dezvoltarea algebrei moderne.Diferențe culturale:
În unele sisteme educaționale, acronimele sunt diferite:- PEMDAS (SUA) – Paranteze, Exponenți, Înmulțire/Împărțire, Adunare/Scădere.
- BODMAS (Europa) – Brackets (Paranteze), Orders (Exponenți), Division/Multiplication, Addition/Subtraction.
Simboluri istorice:
În trecut, înmulțirea era adesea reprezentată prin simboluri diferite, cum ar fi sau chiar fără simbol, ceea ce putea duce la confuzii.Ordinea în tehnologie:
Calculatoarele și calculatoarele de buzunar respectă ordinea operațiilor în mod automat, dar diferențele de afișare sau de interpretare a parantezelor pot duce la erori umane.Primul calculator care a respectat ordinea operațiilor:
În anii 1960, calculatoarele de birou au început să integreze reguli automate pentru ordinea operațiilor. Până atunci, utilizatorii trebuiau să țină cont de acestea manual. Primul calculator de buzunar care a respectat ordinea operațiilor a fost HP-35, lansat în 1972.Ordinea operațiilor în diferite limbi:
În unele limbi, acronimele folosite pentru a învăța ordinea operațiilor variază semnificativ:- În franceză: PEMDAS devine PEMDRE (Parenthèses, Exposants, Multiplications, Divisions, Restes, Égalités).
- În spaniolă, regula este cunoscută ca PDMAS (Paréntesis, División, Multiplicación, Adición, Sustracción).
- Simbolurile parantezelor de-a lungul istoriei:
Parantezele așa cum le știm azi () au fost introduse de matematicianul german Christoph Rudolff în 1525. Înainte, calculele complexe se bazau pe indentare sau notații scrise, ceea ce le făcea dificil de urmărit. De ce ordinea contează:
Ordinea operațiilor nu este doar o convenție matematică; ea reflectă logica proceselor naturale. De exemplu: Dacă pregătești o rețetă, trebuie să respecți ordinea pașilor pentru ca rezultatul să fie corect.