Intervale în R. Definiție, reprezentare pe axă
Intervale mărginite
Fie \(a\) și \(b\) două numere reale, cu \(a\le b\).
- Prin intervalul închis \([a,b]\) înțelegem mulțimea \(\left\{ x\in R|a\le x\le b \right\}\).
Dacă \(a\) și \(b\) sunt abscisele punctelor \(A\) și, respectiv \(B\), atunci intervalului închis \([a,b]\) îi corespunde pe axă mulțimea punctelor segmentului \([AB]\).
\(x\in \left[ a,b \right]\Leftrightarrow M\in \left[ AB \right]\)
Numerele \(a\) și \(b\) se numesc capetele intervalului sau extremitățile intervalului \([a,b]\). Observăm că are sens notația \([a,a]\) în cazul în care \(b=a\) și înseamnă \(\left\{ a \right\}\)
Fie \(a\) și \(b\) două numere reale, cu \(a\le b\).
- Prin intervalul deschis \((a,b)\) înțelegem mulțimea \(\left\{ x\in R|a\lt x\lt b \right\}\).
\(x\in \left( a,b \right)\Leftrightarrow M \in \left( AB \right)\)
Intervalele deschise nu își conțin capetele.
\(\left( a,b \right)\cup \left\{ a,b \right\}=\left[ a,b \right]\)
\(\left( a,b \right)=\left[ a,b \right]-\left\{ a,b \right\}\)
Fie \(a\lt b\). Definim următoarele:
- \((a,b] = \left\{ x\in r|a\lt x\le b \right\}; (a,b] = \left[ a,b \right]-\left\{ a \right\}\)
- \([a,b) = (a,b)\cup \left\{ a \right\}; [a,b) =\left[ a,b \right]-\left\{ b \right\}\).
Intervale nemărginite
Fie \(a\) în \(R\).
Notăm cu \([a, +\infty)\) mulțimea \(\left\{ x\in R|x\ge a \right\}\)
Notăm cu \((a, +\infty)\) mulțimea \(\left\{ x\in R|x\gt a \right\}\).
\((a,+\infty )=[a, +\infty )-\left\{ a \right\}\).
La fel definim:
\((-\infty,a]=\left\{ x\in R|x\le a \right\}\)
\((-\infty,a)=\left\{ x\in R|x\lt a \right\}\)
\(\left( -\infty ,a \right)=(-\infty,a]-\left\{ a \right\}\)
Observație:
Conform definiției modulului, pentru \(a\in R\), \(a\gt 0\), avem:
\(\left\{ x\in R|\left| x \right|\le a \right\}=\left[ -a,a \right]\)
\(\left\{ x\in R|\left| x \right|\lt a\right\}=\left( -a,a \right)\)
Operații cu intervale
Intervalele, fiind definite ca mulțimi, au aceleași proprietăți și operații ca și mulțimile.
\(A\cup B=\left\{ x\in R|x\in A\text{ sau }x\in B \right\}\)
\(A\cap B=\left\{ x\in R|x\in A\text{ și }x\in B \right\}\)
\(A-B=\left\{ x\in R|x\in A\text{ și }x\notin B \right\}\)