Formulele de calcul prescurtat pentru numere reale reprezintă un set de relații matematice fundamentale utilizate pentru simplificarea și rezolvarea rapidă a expresiilor algebrice. Aceste formule sunt instrumente esențiale în algebra clasică, economisind timp și reducând riscul de erori în calcule. Exemple bine cunoscute includ pătratul sumei, pătratul diferenței și produsul sumei și diferenței. În cele ce urmează, vom explora principalele formule de calcul prescurtat și modul lor de aplicare în diferite contexte matematice.
Atunci când avem de efectuat calcule cu expresii algebrice și nu numai, pentru a scruta timpul de lucru, este util să folosim anumite relații adevărate, pe care le considerăm cunoscute și care sunt numite formule de calcul prescurtat.
Cele mai des întâlnite formule de calcul prescurtat sunt următoarele:
Pătratul sumei a doi termeni
Pătratul sumei a doi termeni este egal cu suma pătratelor celor doi termeni și dublul produsului acestora.
\(\left( a+b \right)^{2}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)=\)
\(a^{2}+ab+ba+b^{2}=\)
\(a^{2}+2ab+b^{2}\)
\(a,b\in \mathbb{R}\)
Exemple:
\(\left( 2x+3 \right)^{2}=\left( 2x \right)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}=\)
\(4x^{2}+12x+9\).
\(\left( \frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y \right)^{2}=\left( \frac{2}{3}x \right)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot\frac{3}{4}y+\left( \frac{3}{4}y \right) ^{2}=\)
\(\frac{4}{9}x^{2}+\frac{12}{12}xy+\frac{9}{16}y^{2}=\)
\(\frac{4}{9}x^{2}+xy+\frac{9}{16}y^{2}\).
\(\left( x\sqrt{2}+5\right)^{2}=\)
\(\left( x\sqrt{2} \right)^{2}+2\cdot x\sqrt{2}\cdot 5+5^{2}=\)
\(2x^{2}+10x\sqrt{2}+25.\)
Pătratul diferenței a doi termeni
Pătratul diferenței doi termeni este egal cu diferența dintre suma pătratelor celor doi termeni și dublul produsului acestora.
\(\left( a-b \right)^{2}=\left( a-b \right)\left( a-b \right)=\)
\(a^{2}-ab-ba+b^{2}=\)
\(a^{2}-2ab+b^{2}\)
\(a,b\in \mathbb{R}\)
Exemple:
\(\left( 5x-6\right)^{2}=\)
\(\left( 5x \right)^{2}-2\cdot 5x\cdot 6+6^{2}=\)
\(25x^{2}-60x+36\).
\(\left( \sqrt{5}x-\sqrt{2}y \right)^{2}=\)
\(\left( \sqrt{5}x \right)^{2}-2\cdot \sqrt{5}x\cdot \sqrt{2}y+\left( \sqrt{2}y \right)^{2}=\)
\(5x^{2}-2\sqrt{10}xy+2y^{2}\).
\(\left( \frac{1}{2}x-1 \right)^{2}=\)
\(\left( \frac{1}{2}x \right)^{2}-2\cdot \frac{1}{2}x\cdot 1+1^{2}=\)
\(\frac{1}{4}x^{2}-x+1.\)
Produsul dintre sumă și diferență
Produsul dintre suma și diferența a doi termeni este egal cu diferența pătratelor termenilor respectivi.
\(\left( a+b \right)\left( a-b \right)=\)
\(a^{2}-ab+ba-b^{2}=\)
\(a^{2}-b^{2}\)
\(a,b\in \mathbb{R}\)
Exemple:
\(\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)=\)
\(\left( 2x \right)^{2}-1^{2}=4x^{2}-1.\)
\(\left( a+\sqrt{5}b \right)\left( a-\sqrt{5}b \right)=\)
\(a^{2}-\left( \sqrt{5}b \right)^{2}=a^{2}-5b^{2}.\)
\(\left( \sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y \right)\left( \sqrt{2}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y \right)=\)
\(\left(\sqrt{2}x \right)^{2}-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}y \right)^{2}=\)
\(2x^{2}-\frac{1}{2}y^{2}.\)
Pătratul sumei a trei termeni
\(\left( a+b+c \right)^{2}=\left( a+b+c \right)\left( a+b+c \right)=\)
\(a^{2}+ab+ac+ba+b^{2}+bc+ca+cb+c^{2}=\)
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\\a,b,c\in \mathbb{R}.\)
Exemple:
\(\left( x+y+2 \right)^{2}=\)
\(x^{2}+y^{2}+2^{2}+2\cdot x\cdot y+2\cdot x\cdot 2+2\cdot y\cdot 2=\)
\(x^{2}+y^{2}+2^{2}+2xy+4x+4y.\)
\(\left( x-2y+1 \right)^{2}=\)
\(x^{2}+\left( -2y \right)^{2}+1^{2}+2\cdot x\cdot \left( -2y \right)+2\cdot x\cdot 1+2\cdot \left( -2y \right)\cdot 1=\)
\(x^{2}+4y^{2}+1-4xy+2x-4y.\)
Alte formule de calcul prescurtat
\(\left( a\pm b \right)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}\\a,b\in \mathbb{R}.\)
Exemple:
\(\left( x+2 \right)^{3}=x^{3}+3\cdot x^{2}\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^{2}+2^{3}=\)
\(x^{3}+6x^{2}+12x+8.\)
\(\left( \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y \right)^{3}=\)
\(\left( \frac{1}{3}x \right)^{3}-3\cdot \left( \frac{1}{3}x \right)^{2}\cdot\frac{1}{4}y +3\cdot \frac{1}{3}x\cdot \left( \frac{1}{4}y \right)^{2}-\left( \frac{1}{4}y \right)^{3}=\)
\(\frac{1}{27}x^{3}-\frac{1}{12}x^{2}y+\frac{1}{16}xy-\frac{1}{64}y^{3}.\)