Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere sunt operații algebrice fundamentale care permit manipularea și simplificarea expresiilor matematice. Aceste operații respectă regulile generale ale aritmeticii și sunt utilizate frecvent pentru a rezolva ecuații, a demonstra proprietăți matematice sau a modela relații între diferite variabile.
Prin utilizarea literelor, simbolizăm numere reale variabile sau necunoscute, permițând generalizarea și aplicarea formulelor în diverse contexte. În continuare, vom analiza regulile și exemplele specifice pentru efectuarea acestor operații în mod corect și eficient.
Se numește expresie algebrică o succesiune de numere și/sau litere legate între ele prin operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere).
Exemplu:
\(E\left( x \right)=\left( x^{4}+3x \right)^{3}:5x^{5}-3x\)
O expresie de forma ax^{n},\text{unde }x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N} este un număr real reprezentat prin litere. Numărul real a se numește coeficient, iar x^{n} se numește parte literală. Partea literală este formată din una sau mai multe litere care înlocuiesc numere reale neprecizate.
Exemplu:
\(-13x^{4}y\) are coeficientul \(-13, -0,\left(31 \right)xy^{2}z^{3}\) are coeficientul \(-0,\left(31\right), 3\sqrt{5}zu\) are coeficientul \(3\sqrt{5}\)
\(-13x^{4}y\) are partea literală \(x^{4}y, -0,\left(31 \right)xy^{2}z^{3}\) are partea literală \(xy^{2}z^{3}\), iar \(3\sqrt{5}zu\) are partea literală \(zu\).
Două sau mai multe numere reale reprezentate prin litere se numesc termeni asemenea dacă parțile lor literale sunt identice.
Exemplu:
\(13x^{4}y\) și \(\sqrt{2}x^{4}y\)
\(-0,\left(31 \right)xy^{2}z^{3}\) și \(4xy^{2}z^{3}\)
\(3\sqrt{5}zu\) și \(\frac{0,1}{4}\sqrt{5}zu\)
Cu expresiile algebrice se pot efectua aceleași operații care se efectuează și cu numerele reale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere) și au aceleași proprietăți pe care le au operațiile cu numere reale.
Adunarea și scăderea
Se numesc termeni asemenea acei termeni care conțin aceeași succesiune de litere la aceeași exponenți. Adunarea și scăderea a doi termeni asemenea este operația prin care se obține un termen asemenea cu cei doi, iar coeficientul noului termen se obține efectuând operațiile algebrice indicate asupra celor doi coeficienți ai termenilor inițiali.
Prin adunare și scădere, termeni asemenea se reduc. De aceea, operațiile de adunare și scădere a numerelor reale reprezentate prin litere se numesc operații de reducere a termenilor asemenea.
O expresie algebrică este considerată canonică dacă nu conține termeni asemenea.
Exemplu:
\(x^{3}+2xy^{2}+z\)
Produsul dintre un număr real și o expresie algebrică se efectuează înmulțind acel număr cu fiecare coeficient al termenilor ce compun expresia algebrică, cu respectarea regulilor de calcul cu numere reale.
Exemplu:
\(-3\left( x^{3}-2xy^{2}+z \right)=-3x^{3}+6xy^{2}-3z\)
Reguli de calcul
\(ax^{n}+bx^{n}=\left( a+b \right)x^{n} \text{ }a,b\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}\)
\(ax^{n}-bx^{n}=\left( a-b \right)x^{n} \text{ }a,b\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}\)
\(a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n}+…+a_{m}x^{n}=x^{n}\left(a_{1}+a_{2}+…+a_{m} \right)\)
\(a_{1},a_{2},…a_{m}\in \mathbb{R},m,n\in \mathbb{N}\)
Exemple:
\(7x-3x=\left( 7-3 \right)x=4x\)
\(-5y+12y=\left( -5+12 \right)y=7y\)
\(\left( 2\sqrt{2}x-5\sqrt{3}y \right)-\left( 7\sqrt{2}x+\sqrt{3}y \right)=\)
\(=2\sqrt{2}x-5\sqrt{3}y-7\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=\)
\(=-5\sqrt{2}x-4\sqrt{3}y\)
\(3a-9b+2a+7b-4a-5b=\)
\(=\left( 3+2-4 \right)a+\left( -9+7-5 \right)b=\)
\(=a-7b\)