Mulțimi de numere reale
Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea numerelor pozitive și negative, cu oricâte zecimale (inclusiv cu un număr infinit de zecimale). Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor.
Mulțimea numerelor naturale, notată cu \(\mathbb{N}\), este \(\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,3,…,n,… \right\}\)
Observații:
Mulțimea notată cu \(\mathbb{N}^*\) este \(\mathbb{N}^*=\left\{ 1,2,3,…,n,… \right\}\) și \(\mathbb{N}^*\subset \mathbb{N}\).
Avem, pentru orice \(x,y\in N\), că
- \(x+y\in N\), \(x\cdot y\in \mathbb{N}\), și consecințele \(x+y=0\) înseamnă \(x=y=0\), iar \(x\cdot y=1\) înseamnă \(x=y=1\).
- \(x-y\in\mathbb{N}\) numai dacă \(x\ge y\), iar \(x:y\in \mathbb{N}\) numai dacă există \(z\in \mathbb{N}\) astfel încât \(y\cdot z=x\). Dacă acest lucru nu are loc, atunci se folosește teorema împărțirii cu rest \(x=yz+t\), cu \(t\in \mathbb{N}\), \(0\le t\lt y\), \(y\neq 0\)
- \(y^{n}\in \mathbb{N}\), cu exepția cazului \(0^{0}\)
Mulțimea numerelor întregi, notată cu \(\mathbb{Z}\), este \(\mathbb{Z}=\left\{…,-n,…,-3,-2,-1,0,1,2,…,n,… \right\}\)
Observații:
\(\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\}\); în plus, se definesc \(\mathbb{Z}_{-}=\left\{…,-n,…,-3,-2,-1\right\}\) și \(\mathbb{Z}_{+}=\left\{0,1,2,…,n,… \right\}\), cu \(n\in\mathbb{N}^*\). Avem \(\mathbb{Z}^* \subset \mathbb{Z}\) și, în plus \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{Z}= \mathbb{Z}_{-}\cup \left\{ 0 \right\}\cup \mathbb{Z}_{+}\)
Avem, pentru \(x, y, z, t\in \mathbb{Z}\), că
- \(x+y\in \mathbb{Z}, x-y\in \mathbb{Z}, x\cdot y\in \mathbb{Z}\)
- dacă \(x^2+y^2=0\), atunci \(x=y=0\)
- \(x:y \in \mathbb{Z}\), \(y\neq 0\) dacă și numai dacă există \(z\in \mathbb{Z}\) cu \(x=y\cdot z\). În caz contrar, \(x=yz+t\), cu \(t\in \mathbb{Z}\text{ si }0\le \left| t \right|\lt \left| y \right|\)
Mulțimea numerelor raționale, notată cu \(\mathbb{Q}\) este \(\mathbb{Q}=\left\{ x|\text{exista y, z} \in Z,z\neq 0,\text{astfel incat }x=\frac{y}{z} \right\}\)
Observații:
a. Avem \(\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\), iar mulțimea \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) se numește mulțimea numerelor raționale neîntregi. De asemenea, \(\mathbb{Q}^*= \mathbb{Q}- \left\{ 0 \right\}\)
b. Un număr rațional este reprezentat de o fracție de forma \(\frac{x}{y}\), cu \(x\in \mathbb{Z}\text{ si } y\in \mathbb{Z}^*\). Vom numi fracție o pereche de numere întregi \(x, y\), cu \(y\neq 0\), scrisă sub forma \(\frac{x}{y}\). Două fracții \(\frac{x}{y}\) și \(\frac{z}{t}\), cu \(x,y,z,t\in \mathbb{Z}, y\cdot t\neq 0\) se numesc fracții echivalente dacă \(xt=yz\). Dată o fracție \(\frac{x}{y}\), se obțin fracții echivalente prin:
- amplificare:
\[\frac{^{t)}x}{y}=\frac{x\cdot t}{y\cdot t} \text{ cu } x,y,z,t\in \mathbb{Z}, y\cdot t\neq 0\]
- simplificare:
\[\frac{x^{(t}}{y}=\frac{x: t}{y: t} \text{ cu } x,y,z,t\in \mathbb{Z}, y\cdot t\neq 0, x|t\text{ si }y|t\]
O fracție \(\frac{x}{y}\), \(x,y\in \mathbb{Z},y\neq 0\), se numește fracție ireductibilă dacă \((x,y)=1\).
Un număr rațional care are ca reprezentant o fracție \(\frac{x}{y}\), \(x,y\in \mathbb{Z},y\neq 0\), se scrie sub formă zecimală împărțind numărătorul \(x\) a numitorul \(y\).
În funcție de factori în care se descompune numitorul \(b\) al fracției ireductibile \(\frac{x}{y}\), fracția zecimală poate fi:
- fracție zecimală finită, dacă numitorul conține în descompunerea sa numai factori de 2 sau/și numai factori de 5;
- fracție zecimală periodică simplă, dacă descompunerea numitorului în produs de factori primi conține și alți factori decât 2 și 5;
- fracție zecimală periodică mixtă, dacă descompunerea numitorului în produs de factori primi conține factori de 2 sau/și numai factori de 5, cât și un alt factor prim.
Reciproc: Dacă un număr rațional este reprezentat printr-o fracție zecimală, el poate fi transformat sub formă de fracție ordinara folosind reguli de transformare pentru fiecare tip de zecimală:
- fracție zecimală finită:
\[\overline{a,b_{1}b_{2}b_{3}…b_{n}}= \frac{\overline{ab_{1}b_{2}b_{3}…b_{n}}}{10^{n}}\]
- fracție zecimală periodică simplă:
\[\overline{a,\left(b_{1}b_{2}b_{3}…b_{n}\right)}=a\frac{\overline{b_{1}b_{2}b_{3}…b_{n}}}{9^{n}}\]
- fracție zecimală peridică mixtă:
\[\\overline{a,b_{1}b_{2}…b_{k}\left(c_{1}c_{2}..c_{l}\right)}= a\frac{\overline{b_{1}b_{2}…b_{k}c_{1}c_{2}..c_{l}}-\overline{b_{1}b_{2}…b_{k}}}{\underbrace{999…9}_\text{l cifre}\underbrace{000…0}_\text{k cifre}}\]
c. Pentru orice \(x,y\in \mathbb{Q}\) avem \(x+y\in \mathbb{Q}\), \(x-y\in \mathbb{Q},x\cdot y\in \mathbb{Q},x:y\in \mathbb{Q}, y\neq 0,x^{p}\in Q, x\neq 0,p\in \mathbb{Z}\).
Mulțimea numerelor iraționale, notată cu \(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\), este mulțimea numerelor care se scriu zecimal cu o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.
Mulțimea numerelor reale, notată cu \(\mathbb{R}\), este mulțimea formată din reuniunea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale. În mod asemănător, \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\).
Avem șirul de incluziuni \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\).