Prin descompunerea în factori a unei sume algebrice scrise sub formă canonică se urmărește scrierea acesteia ca un produs de doi sau mai mulți factori. Sau, a descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a scrie expresia respectivă ca un produs de alte expresii care nu se mai pot descompune.
Pentru descompunerea în factori a unei expresii algebrice se utilizează: metoda factorului comun, metoda formulelor de calcul prescurtat, metoda grupării termenilor sau metodele combinate.
Metoda factorului comun
Această metodă se bazează pe distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere.
\(a\cdot b+a\cdot c=a\cdot \left( b+c \right)\)
\(a\cdot b-a\cdot c=a\cdot \left( b-c \right)\)
\(a\cdot b_{1}+a\cdot b_{2}+…+a\cdot b_{n}=a\cdot \left( b_{1}+b_{2} +…+b_{n}\right).\)
Exemple:
\(9x^{5}-6x^{4}+12x^{3}=3x^{3}\left( 3x^{2} -2x+4\right)\)
\(\left( x+1 \right)\left( 2x-1 \right)+\left( x+1 \right)\left( 3x+4 \right)=\)
\(\left( x+1 \right)\left[ \left( 2x-1 \right)+\left( 3x+4 \right) \right]=\)
\(\left( x+1 \right)\left( 2x-1+3x+4 \right)=\)
\(\left( x+1 \right)\left( 5x+3 \right).\)
Metoda formulelor de calcul prescurtat
Această metodă folosește în efectuarea descompunerii expresiei algebrice formulele de calcul prescurtat.
\( \left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
\( \left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
\( \left( a+b \right)\left( a-b \right)=a^{2}-b^{2}\)
\( \left( a+b+c \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\)
\( \left( a\pm b \right)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}\)
\( a^{3}+b^{3}=\left( a+b \right)\left( a^{2}-ab+b^{2} \right)\)
\( a^{3}-b^{3}=\left( a-b \right)\left( a^{2}+ab+b^{2} \right).\)
Exemple:
\(x^{2}+2x+1=\left( x+1 \right)^{2}\)
\(x^{2}-16x+64=\left( x-8 \right)^{2}\)
\(x^{2}-\frac{1}{25}=\left( x+\frac{1}{5} \right)\left( x-\frac{1}{5} \right)\)
\(4x^{2}+y^{2}+36-4xy+24x-12y=\left( 2x-y+6 \right)^{2}.\)
Gruparea termenilor
Această metodă constă în gruparea cât mai convenabilă a termenilor unei expresii algebrice pentru a folosi metodele studiate anterior.
Exemple:
\(5x+5y-ax-ay=\)
\(5\left( x+y \right)-a\left( x+y \right)=\)
\(\left( x+y \right)\left( 5-a \right)\)
\(x^{2}+5x+6=\)
\(x^{2}+2x+3x+6=\)
\(x\left( x+2 \right)+3\left( x+2 \right)=\)
\(\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\)
\(x^{2}+x-2=\)
\(x^{2}+x-1-1=\)
\(\left( x^{2} -1\right)+\left( x-1 \right)=\)
\(\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( x-1 \right)=\)
\(\left( x-1 \right)\left[ \left( x+1 \right)+1 \right]=\)
\(\left( x-1 \right)\left( x+2 \right).\)
Metode combinate
Această metodă folosește în descompunerea expresiilor algebrice mai multe metode studiate anterior.
Exemple:
\(\left( x^{2}+4x-3 \right)^{2}-4=\)
\(\left[ \left( x^{2}+4x-3 \right)-2 \right]\left[ \left( x^{2}+4x-3 \right)+2 \right]=\)
\(\left( x^{2}+4x-3-2 \right)\left( x^{2}+4x-3+2 \right)=\)
\(\left( x^{2}+4x-5 \right)\left( x^{2}+4x-1 \right)\)