Amplificarea și simplificarea numerelor reale sunt operații fundamentale în matematică, utilizate pentru a transforma expresii algebrice în forme echivalente mai simple sau mai complexe, fără a le modifica valoarea. Aceste tehnici sunt esențiale în clasa a VIII-a, fiind aplicate frecvent în rezolvarea ecuațiilor, a fracțiilor algebrice și a problemelor practice. Amplificarea constă în înmulțirea tuturor termenilor unei expresii cu un factor comun, în timp ce simplificarea presupune reducerea expresiei la cea mai simplă formă posibilă, prin identificarea și eliminarea factorilor comuni. În cele ce urmează, vom explora pașii principali, regulile și exemplele specifice acestor operații.
Raport algebric
Un raport în care termenii săi sunt expresii algebrice se numește raport algebric, fracție algebrică sau expresie algebrică rațională.
Exemple:
\(\frac{x+1}{5x^{2}}\)
\(\frac{2x+1}{4+5x}\)
\(\frac{1}{x^{2}+1}\)
Domeniul de definiție al unui raport rațional este mulțimea numerică în care iau valori literele ce participă în partea literală a expresiilor algebrice care intră în scrierea numărătorului și a numitorului raportului rațional, cu excepția acelor valori ale literelor care anulează numitorul.
Exemple:
\(\frac{x+1}{5x^{2}},\text{ } x\in \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\)
\(\frac{2x+1}{4+5x}, \text{ }x\in \mathbb{R}-\left\{ -\frac{4}{5} \right\}\)
\(\frac{1}{x^{2}+1},\text{ }x\in \mathbb{R}\), deoarece \(x^{2}+1\neq 0\) pentru orice \(x\in \mathbb{R}.\)
Amplificarea
Operația de amplificare a unui rapot algebric constă în a înmulți atât numitorul cât și numărătorul cu o expresie algebrică nenulă.
Exemple:
\(\frac{x+1}{5x^{2}}\) amplificată cu \(\left( x+2 \right)\) rezultă
\(\frac{\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)}{5x^{2}\left( x+2 \right)}.\)
\(\frac{2x+1}{4+5x}\) amplificată cu \(x^{2}-1\) rezultă
\(\frac{\left( x^{2}-1 \right)\left( 2x+1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( 4+5x \right)}.\)
\(\frac{1}{x^{2}+1}\) amplificată cu \(x-4\) rezultă
\(\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( x^{2}+1 \right)}.\)
Simplificarea
Operația de simplificare a unui raport algebric constă în a împărți atât numitorul cât și numărătorul prin aceeași expresie algebrică nenulă.
Exemple:
\(\frac{24x^{4}}{15x^{3}}^{(3x^{3}}=\frac{8x}{5}\)
\(\frac{2x^{2}+2x}{4x+4}=\frac{2x\left( x+1 \right)}{4\left( x+1 \right)}^{(2\left( x+1\right)}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}{2x+4}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}{2\left(x+2\right)}^{(x+2}=\frac{x+1}{2}\)
\(\frac{x^{2}-2x+1}{x^{4}-1}=\frac{\left( x-1 \right)^{2}}{\left( x^{2}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}^{(x-1}=\frac{x-1}{\left( x^{2}+1 \right)\left( x+1 \right)}.\)