Axa numerelor reale
Axa numerelor reale este o dreaptă pe care fixăm un punct O, numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură. Avem: oricărui punct \(A \) de pe axă i se pune în corespondență un unic număr real, numit abscisa punctului, notat \(x_{A}\) (scriem \(A\left(x_{A}\right)\), și reciproc, oricărui număr real îi corespunde un unic punct pe axa numerelor, numit imaginea sa.
Dacă pe axa numerelor reale considerăm \(A\left(x_{A}\right)\) și \(B\left(x_{B}\right)\), atunci lungimea segmentului \(\left[ AB \right]\) este numărul \(AB=\left| x_{A} -x_{B}\right|.\)
Fie \(x,y\in \mathbb{R}\). Spunem că \(x\le y\) dacă există un număr \(z\in [0,+\infty )\) astfel încât \(x+z=y\).
În reprezentarea pe axă, cu sensul pozitiv spre dreapta, mai mare este numărul situat mai spre dreapta, adică \(y\ge x\).
Fie \(x\in \mathbb{R}\). Modulul sau valoarea absolută a numărului real \(x\) este numărul notat prin \(\left| x \right|\) și care, prin definiție, este egal cu
\[|x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \gt 0 \\
0 & : \ x = 0\\
-x & : \ x \lt 0
\end{array} \right.\]
Amintim două proprietăți importante ale modului:
\[\left| x \right|=\left| -x \right|\]
\[\left| x+y \right|=\left| x \right|+\left| y \right|, \text{ pentru orice } x,y\in \mathbb{R}.\]
Valoarea absolută
Fie \(x\in \mathbb{R}\). Se numește partea întreagă a numărului \(x\) numărul notat prin \([x]\), care este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu \(x\).
Observație:
Fie \(x\in \mathbb{R}\). Au loc urmăroarele proprietăți:
- \(\left[ x \right]\le x\lt \left[ x \right]+1\)
- \(\left[ x+n \right]=\left[ x \right]+n\), pentru orice \(n\in \mathbb{Z}\).
Fie \(x\in \mathbb{R}\). Se numește partea fracționară a numărului \(x\) notat prin \(\left\{ x \right\}\), care, prin definiție, este egal cu \(\left\{ x \right\}=x-\left[ x \right]\).
Observație:
\(0\le \left\{ x \right\}\lt 1\). Fie \(x\in \mathbb{R}\). Atunci \(\left\{ x+n \right\}=\left\{ x \right\}\), pentru orice \(n\in \mathbb{Z}\).
Exemple:
Partea întreagă
\(\left[ 6 \right]=6\)
\(\left[ -6 \right]=-6\)
\(\left[ 6,1 \right]=6\)
\(\left[ -6,1 \right]=-5\)
\(\left[ 6,1+13 \right]=\left[ 6,1 \right]+13=6+13=19\)
\(\left[ -6,1+13 \right]=\left[ -6,1 \right]+13=-5+13=8\)
Partea fracționară
\(\left\{ 6 \right\}=0\)
\(\left\{ -6 \right\}=0\)
\(\left\{ 6,1 \right\}=0,1\)
\(\left\{ -6,1 \right\}=-6,1-(-5)=-6,1+5=1,1\)
Aproximarea numerelor reale
Orice număr real \(x\in \mathbb{R}\) poate fi înlocuit cu o valoare numită aproximarea sa. Cele mai folosite procedee de aproximare sunt:
- Aproximări prin lipsă sau prin adaos.
Fie \(x\) un număr real scris în formă zecimală. Aproximarea prin lipsă sau prin adaos se face la puterile lui 10 din scrierea zecimală:
- aproximarea prin lipsa nu modifică cifra aflată pe poziția puterii lui 10 din scrierea zecimală a numărului;
- aproximarea prin adaos modifică cifra aflată pe poziția puterii lui 10 mărind-o cu o unitate din scrierea zecimală a numărului.
Exemple:
Fie \(x=5,531234\)
aproximație | prin lipsă | prin adaos |
de o unitate | 5 | 6 |
de o zecime | 5,5 | 5,6 |
de o sutime | 5,53 | 5,54 |
de o miime | 5,531 | 5,532 |
- Aproximări prin rotunjire
Fie \(x\) un număr real. Aproximarea prin rotunjire se face la puterile lui 10 din scrierea zecimală a numărului \(x\), anume:
- ultima cifră la care se face rotunjirea rămâne neschimbată dacă după ea urmează 0, 1, 2, 3 sau 4;
- ultima cifră la care se face rotunjirea se mărește cu o unitate dacă după ea urmează 5, 6, 7, 8 sau 9.
Exemple:
Fie \(x = 15,683793\)
rotunjire | 15,683793 |
de o unitate | 16 |
de o zecime | 15,7 |
de o sutime | 15,68 |
de o miime | 15,684 |
Minimul și maximul dintre două numere reale
Fie \(x\) și \(y\) numere reale. Vom defini următoarele două numere reale:
- minimul dintre x și y ca fiind numărul notat min(x,y) și care, prin definiție, este:
\[\min \left( x,y \right) = \left\{ \begin{array}{cl} x, \text{ dacă }x\le y\\ y, \text{ dacă }y\lt x \end{array} \right.\]
- maximul dintre x și y ca fiind numărul notat max(x,y) și care, prin definiție, este:
\[\max\left( x,y \right) = \left\{ \begin{array}{cl} x, \text{ dacă }x\ge y\\ y, \text{ dacă }y\gt x \end{array} \right.\]