Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere sunt operații esențiale în algebră, utilizate pentru a manipula și simplifica expresii matematice complexe. Aceste operații respectă regulile aritmetice generale, adaptate pentru lucrul cu variabile și constante. Reprezentarea prin litere permite generalizarea și aplicarea acestor operații într-un spectru larg de probleme matematice și științifice. În acest articol, vom explora regulile și exemplele practice pentru efectuarea corectă a acestor operații.
Înmulțirea numerelor reale reprezentate prin litere
Prin înmulțirea a doi termeni ai unei expresii algebrice, nu neapărat asemenea, se obține un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienților celor doi termeni, iar partea literală a celor doi termeni, luată o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenților pe care i-a avut în termenii dați.
Reguli de calcul
\(x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n},\text{ }m,n\in \mathbb{N}\)
\(\left( ax^{m} \right)\cdot \left( bx^{n} \right)=abx^{m+n}\), \(\text{ }a,b\in \mathbb{R},\text{ }m,n\in \mathbb{N}\)
\(a\cdot \left( b+c \right)=a\cdot b+a\cdot c,\text{ }a,b,c\in \mathbb{R}\)
\(a\cdot \left( b-c \right)=a\cdot b-a\cdot c,\text{ }a,b,c\in \mathbb{R}\)
\(a\cdot \left( b_{1}+b_{2}+…+b_{n} \right)=ab_{1}+ab_{2}+…+ab_{n},\text{ }a,b_{1},b_{2},…,b_{n}\in \mathbb{R}\)
\(\left( a+b \right)\cdot \left( c+d \right)=ac+ad+bc+bd,\text{ }a,b,c,d\in \mathbb{R}\)
\(\left(a_{1}+a_{2}+…+a_{m}\right)\cdot \left( b_{1}+b_{2}+…+b_{n} \right)=\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{1}b_{2}+…+a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+…+a_{2}b_{n}+…+a_{m}b_{n}\),
\(a_{1},a_{2},…,a_{m},b_{1},b_{2},…b_{n}\in \mathbb{R}\)
Exemple:
\(5x\cdot 3x^{4}=\left( 5\cdot 3 \right)x^{\left( 1+4 \right)}=15x^{5}\)
\(\left( \frac{1}{5}x^{7} \right)\cdot \left( -\frac{3}{2}x \right)=-\frac{1\cdot 3}{5\cdot 2}x^{\left( 7+1 \right)}=-\frac{3}{10}x^{8}\)
Împărțirea numerelor reale reprezentate prin litere
Prin împărțirea a doi termeni ai unei expresii algebrice, nu neapărat asemenea, obținem un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienților celor doi termeni, iar partea literală formată din fiecare literă a celor doi termeni, luată o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferența expoenenților pe care i-a avut în termenii dați.
Reguli de calcul
\(x^{m}: x^{n}=x^{m-n},\text{ }m,n\in \mathbb{N},m\ge n\)
\(\left( ax^{m} \right): \left( bx^{n} \right)=\left( a:b \right)x^{m-n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\text{ }a,b\in \mathbb{R},b\neq 0,\text{ }m,n\in \mathbb{N},m\ge n\)
\(\left( a+b \right):c=a:c+b:c,\text{ }a,b,c\in \mathbb{R},c\neq 0\)
\(\left( a-b \right):c=a:c-b:c,\text{ }a,b,c\in \mathbb{R},c\neq 0\)
\(\left(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}\right):b=a_{1}:b+a_{2}:b+…+a_{n}:b,\text{ },a_{1},a_{2},…,a_{n},b\in \mathbb{R}\)
Exemple:
\(123y^{3}:3y=\left( 123:3 \right)y^{\left( 3-1 \right)}=41y^{2}\)
\(\left( -9x^{11} \right):\left( -3x^{5} \right)=\left[ \left( -9 \right):\left( -3 \right)\right]x^{\left(11-5 \right)}=3x^{6}\)
Ridicare la putere a numerelor reale reprezentate prin litere
Prin ridicarea la putere întreagă a unui termen al unei expresii algebrice vom înțelege un termen nou care va avea coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficientului inițial, iar partea literală formată din aceleași litere ca ale termenului inițial, fiecare literă având noul exponent egal cu produsul dintre exponentul inițial și puterea la care s-a ridicat termenul inițial.
Reguli de calcul
\(\left( ^{m} \right)^{n}=x^{m\cdot n},\text{ }m,n\in \mathbb{N}\)
\(\left( ax^{m} \right)^{n}=a^{n}x^{m\cdot n},a\in \mathbb{R^{*}},m,n\in \mathbb{N}\)
Exemple:
\(\left( -3x^{5} \right)^{2}=\left( -3 \right)^{2}x^{\left( 5\cdot 2 \right)}=9x^{10}\)
\(\left( -\frac{7}{5}x^{2} \right)^{2}=\left( -\frac{7}{5} \right)x^{\left( 2\cdot 2 \right)}=\frac{49}{25}x^{4}\)
Observație:
- Operațiile de înmulțire, împărțire, ridicare la putere a expresiilor algebrice au aceleași reguli și proprietăți ca și în cazul numerelor reale.
- Un rol aparte în calculul cu expresiile algebrice îl are proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare și scădere. Aici apar următoarele reguli:
- înmulțirea unui factor cu o paranteză revine la a înmulți factorul cu fiecare termen al expresiei algebrice aflate în paranteză;
- înmulțirea a două paranteze revine în a înmulți fiecare termen din expresia din prima paranteză cu fiecare termen din expresia din a doua paranteză, având grijă ca în final să se facă reducerea termenilor asemenea.
- Împărțirea unei paranteze cu un factor revine la a împărți fiecare termen din expresia algebrică din paranteză la factor, dacă operația de împărțire este posibilă.