Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

Ce vei învăța

Definesc dreptele paralele și folosesc corect notația $a \parallel b$
Deosebesc dreptele paralele de dreptele concurente.
Enunț axioma paralelelor și o folosesc în raționamente simple.
Recunosc perechile de unghiuri formate de două drepte cu o secantă.
Aplic criteriile de paralelism și calculez unghiuri când dreptele sunt paralele.

Recomandat înainte: Poziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente, Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

Ideea de bază

Două drepte distincte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Scriem $a \parallel b$ și citim $a$ este paralelă cu $b$

Paralelismul nu se ghicește după desen. Îl stabilești din date: din marcaje, din axioma paralelelor sau din unghiurile pe care o secantă le formează cu cele două drepte.

Ce sunt dreptele paralele

Două drepte distincte, situate în același plan, sunt paralele dacă nu au niciun punct comun.

a \parallel b

Săgețile mici identice desenate pe cele două drepte arată că dreptele sunt date ca paralele.

Notația $a \parallel b$ se citește „dreapta $a$ este paralelă cu dreapta $b$ Simbolul $\parallel$ are două bare verticale egale. Dacă dreptele nu sunt paralele, scriem $a \nparallel b$

Marcajul de paralelism

În figuri, dreptele paralele se marchează cu aceeași săgeată mică desenată pe fiecare dintre ele. Dacă într-o figură există două perechi de paralele diferite, a doua pereche primește două săgeți. Marcajul nu arată un sens de parcurgere: este doar un semn că dreptele sunt paralele.

Figura arată doar o bucată din drepte

O dreaptă nu are capete. Pe foaie desenăm doar o porțiune din ea. Două drepte paralele nu se întâlnesc oricât de mult le-am prelungi.

Drepte paralele și drepte concurente

Două drepte distincte din același plan au cel mult un punct comun. Sunt deci două situații posibile:

Drepte paralele:

a \parallel b

niciun punct comun.

Drepte concurente:

a

și

b

au un singur punct comun,

P

Poziția dreptelor	Puncte comune	Cum scriem
paralele	niciunul	$a \parallel b$
concurente (se intersectează)	exact unul	$a \cap b = \{P\}$

Modele din jur: marginile opuse ale unei foi dreptunghiulare, liniile orizontale ale unui caiet, cele două șine ale unei porțiuni drepte de cale ferată. Acestea sunt doar modele: dreptele din geometrie sunt ideale, fără grosime și fără capete.

Axioma paralelelor

Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.

O axiomă este o proprietate pe care o acceptăm fără demonstrație. Axioma spune două lucruri: paralela prin punct există și este unică.

A \notin a

Prin

A

trece o singură paralelă la

a

dreapta

b

Orice altă dreaptă prin

A

de exemplu

c

intersectează dreapta

a

O consecință directă: dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele.

a \parallel b \text{ și } b \parallel c \;\Rightarrow\; a \parallel c

Din

a \parallel b

și

b \parallel c

rezultă

a \parallel c

De ce? Dacă $a$ și $c$ ar avea un punct comun $M$ atunci prin $M$ ar trece două paralele diferite la $b$ adică $a$ și $c$ Axioma nu permite asta. Deci $a$ și $c$ fiind distincte, nu au niciun punct comun: $a \parallel c$

Unghiurile formate de două drepte cu o secantă

O secantă a dreptelor $a$ și $b$ este o dreaptă $c$ care le intersectează pe amândouă, în puncte diferite. În fiecare punct de intersecție se formează patru unghiuri, deci opt unghiuri în total.

Unghiurile 1–8 formate de dreptele

a

și

b

cu secanta

c

Aici

a

și

b

nu sunt paralele: denumirile perechilor nu depind de paralelism.

Unghiurile dintre cele două drepte (3, 4, 5, 6) se numesc unghiuri interne. Celelalte (1, 2, 7, 8) sunt unghiuri externe. Perechile de unghiuri, câte unul din fiecare punct de intersecție, au nume speciale:

Perechea	Unde se află	Exemple
alterne interne	între drepte, de o parte și de alta a secantei	$\angle 3$ și $\angle 5$ $\angle 4$ și $\angle 6$
alterne externe	în afara dreptelor, de o parte și de alta a secantei	$\angle 1$ și $\angle 7$ $\angle 2$ și $\angle 8$
corespondente	în aceeași poziție în cele două puncte	$\angle 1$ și $\angle 5$ $\angle 2$ și $\angle 6$ $\angle 3$ și $\angle 7$ $\angle 4$ și $\angle 8$
interne de aceeași parte a secantei	între drepte, de aceeași parte a secantei	$\angle 3$ și $\angle 6$ $\angle 4$ și $\angle 5$
externe de aceeași parte a secantei	în afara dreptelor, de aceeași parte a secantei	$\angle 1$ și $\angle 8$ $\angle 2$ și $\angle 7$

Alterne interne:

\angle 3

și

\angle 5

sunt între

a

și

b

de părți diferite ale secantei.

Corespondente:

\angle 1

și

\angle 5

ocupă aceeași poziție, sus-dreapta, în cele două puncte de intersecție.

Interne de aceeași parte a secantei:

\angle 4

și

\angle 5

sunt între

a

și

b

amândouă în dreapta secantei.

Culorile din aceste trei figuri

Aici culoarea arată doar ce pereche discutăm. Dreptele $a$ și $b$ nu sunt paralele, așa că unghiurile din pereche nu au neapărat aceeași măsură.

Criterii de paralelism

Un criteriu de paralelism îți spune ce trebuie să verifici la unghiuri ca să poți concluziona că două drepte sunt paralele. Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ Dacă este adevărată una dintre condițiile de mai jos, atunci $a \parallel b$

o pereche de unghiuri alterne interne sunt congruente (au aceeași măsură);
o pereche de unghiuri alterne externe sunt congruente;
o pereche de unghiuri corespondente sunt congruente;
o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma măsurilor este $180°$
o pereche de unghiuri externe de aceeași parte a secantei sunt suplementare.

m(\angle 3) = m(\angle 5) = 65°

Unghiurile sunt alterne interne și congruente, deci

a \parallel b

Ajunge o singură pereche

Este suficient să verifici o singură pereche potrivită. Condițiile sunt legate între ele prin unghiuri opuse la vârf și unghiuri suplementare: dacă una este adevărată, toate sunt adevărate.

Calculul unghiurilor când dreptele sunt paralele

Și invers: dacă știi că $a \parallel b$ atunci unghiurile formate cu orice secantă respectă aceleași relații. Unghiurile alterne interne, alterne externe și corespondente sunt congruente. Unghiurile interne, respectiv externe, de aceeași parte a secantei sunt suplementare.

a \parallel b

Toate unghiurile ascuțite au

55°

toate cele obtuze au

180° - 55° = 125°

Așadar, când $a \parallel b$ e suficient să cunoști un singur unghi. Celelalte șapte au fie aceeași măsură, fie măsura suplementară.

Nu inversa direcția raționamentului

Criteriul pornește de la unghiuri și ajunge la paralelism. Calculul pornește de la paralelism și ajunge la unghiuri. Nu poți folosi egalitatea unghiurilor alterne interne dacă nu știi deja că dreptele sunt paralele.

Desenul nu este dovadă

Două drepte pot părea paralele pe desen fără să fie. Concluzia trebuie să rezulte din date, din marcaje sau din proprietăți cunoscute, nu din aspectul figurii.

m(\angle 3) = 70°

m(\angle 5) = 72°

Pe desen dreptele arată aproape paralele, dar nu sunt: la drepte paralele, unghiurile alterne interne ar fi egale.

Fără marcaje și fără date, nu poți afirma

a \parallel b

chiar dacă dreptele arată paralele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaștere din figură

În figura de mai jos, ce drepte sunt date ca paralele? Ce poți spune despre dreapta $c$

Vezi rezolvarea

Dreptele $a$ și $b$ au același marcaj, deci $a \parallel b$

Dreapta $c$ are un punct comun cu $a$ (punctul $A$ și intersectează și dreapta $b$ Deci $c$ este concurentă cu $a$ și cu $b$ și nu este paralelă cu niciuna dintre ele.

Exemplul 2: paralele sau concurente?

Dreptele distincte $m$ și $n$ au în comun punctul $P$ Pot fi paralele?

Vezi rezolvarea

Nu. Dreptele paralele nu au niciun punct comun. Pentru că $m \cap n = \{P\}$ dreptele $m$ și $n$ sunt concurente: $m \nparallel n$

Exemplul 3: axioma paralelelor

Punctul $M$ nu se află pe dreapta $d$ Prin $M$ se duc dreptele $p$ și $q$ amândouă paralele cu $d$ Ce poți spune despre $p$ și $q$

Vezi rezolvarea

Axioma paralelelor spune că prin $M$ trece o singură paralelă la $d$ Deci $p$ și $q$ nu pot fi două drepte diferite: sunt aceeași dreaptă.

Exemplul 4: numele perechilor de unghiuri

Folosind figura, spune ce fel de unghiuri sunt perechile: a) $\angle 4$ și $\angle 6$ b) $\angle 2$ și $\angle 6$ c) $\angle 3$ și $\angle 6$ d) $\angle 2$ și $\angle 8$

Vezi rezolvarea

a) $\angle 4$ și $\angle 6$ amândouă între drepte, de părți diferite ale secantei, deci alterne interne.
b) $\angle 2$ și $\angle 6$ amândouă sus-stânga, deci corespondente.
c) $\angle 3$ și $\angle 6$ amândouă între drepte, în stânga secantei, deci interne de aceeași parte a secantei.
d) $\angle 2$ și $\angle 8$ amândouă în afara dreptelor, de părți diferite ale secantei, deci alterne externe.

Exemplul 5: criteriul cu unghiuri corespondente

Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ iar $m(\angle 1) = m(\angle 5) = 48°$ Sunt dreptele $a$ și $b$ paralele?

Vezi rezolvarea

$\angle 1$ și $\angle 5$ sunt corespondente și au aceeași măsură. Conform criteriului cu unghiuri corespondente, $a \parallel b$

Exemplul 6: criteriul cu unghiuri suplementare

Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ iar $m(\angle 4) = 115°$ și $m(\angle 5) = 65°$ Sunt dreptele $a$ și $b$ paralele?

Vezi rezolvarea

$\angle 4$ și $\angle 5$ sunt interne de aceeași parte a secantei. Suma lor:

115° + 65° = 180°

Unghiurile sunt suplementare, deci $a \parallel b$

Exemplul 7: toate unghiurile dintr-unul singur

Știm că $a \parallel b$ secanta $c$ le taie, iar $m(\angle 1) = 58°$ Calculează măsurile celorlalte șapte unghiuri.

Vezi rezolvarea

m(\angle 2) = 180° - 58° = 122°

\angle 1

și

\angle 2

sunt adiacente suplementare

m(\angle 3) = m(\angle 1) = 58°

opuse la vârf

m(\angle 4) = m(\angle 2) = 122°

opuse la vârf

m(\angle 5) = m(\angle 1) = 58°

corespondente,

a \parallel b

m(\angle 6) = m(\angle 2) = 122°

corespondente,

a \parallel b

m(\angle 7) = m(\angle 3) = 58°

corespondente,

a \parallel b

m(\angle 8) = m(\angle 4) = 122°

corespondente,

a \parallel b

Patru unghiuri de

58°

și patru unghiuri de

122°

Exemplul 8: desenul nu ajunge

Pe o figură, dreptele $a$ și $b$ arată paralele, iar secanta $c$ formează $m(\angle 3) = 81°$ și $m(\angle 5) = 80°$ Sunt dreptele paralele?

Vezi rezolvarea

$\angle 3$ și $\angle 5$ sunt alterne interne. Dacă $a$ și $b$ ar fi paralele, ar trebui să aibă aceeași măsură. Dar $81° \ne 80°$

Deci $a \nparallel b$ chiar dacă pe desen diferența de $1°$ nu se vede.

Exemplul 9: problemă cu necunoscută

Știm că $a \parallel b$ iar secanta $c$ formează unghiurile alterne interne $m(\angle 3) = 3x + 10°$ și $m(\angle 5) = 5x - 20°$ Calculează $x$ și $m(\angle 3)$

Vezi rezolvarea

Pentru că $a \parallel b$ unghiurile alterne interne sunt congruente:

3x + 10° = 5x - 20°

10° + 20° = 5x - 3x

30° = 2x

x = 15°

m(\angle 3) = 3 \cdot 15° + 10° = 55°

Verificare: $5 \cdot 15° - 20° = 55°$

Exemplul 10: două paralele cu a treia

Știm că $a \parallel b$ și $c \parallel b$ unde $a$ și $c$ sunt drepte distincte. Ce poziție au dreptele $a$ și $c$

Vezi rezolvarea

Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, consecință a axiomei paralelelor. Deci $a \parallel c$

Greșeli frecvente

Dacă două drepte nu se intersectează pe porțiunea desenată, sunt paralele.
Figura arată doar o bucată din fiecare dreaptă. Drepte aproape paralele se pot intersecta mult în afara desenului. Paralelismul se stabilește din date, nu din desen.
Două drepte paralele se întâlnesc dacă le prelungim destul de mult.
Dreptele paralele nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.
Două linii desenate orizontal sunt automat paralele.
Doar dacă este dat sau justificat: marcaj de paralelism, o pereche de unghiuri potrivită sau o proprietate cunoscută.
Două segmente care nu se ating sunt paralele.
Paralelismul este o relație între drepte. Două segmente care nu se ating pot fi pe drepte care se intersectează în afara segmentelor.
Criteriul cu unghiuri interne de aceeași parte cere unghiuri egale.
Unghiurile interne (sau externe) de aceeași parte a secantei trebuie să fie suplementare, adică suma lor să fie $180°$ Egale trebuie să fie cele alterne și cele corespondente.
Unghiurile alterne interne sunt mereu congruente.
Doar dacă dreptele sunt paralele. Numele perechii nu depinde de paralelism, egalitatea măsurilor da.
Scriu paralelismul cu alt simbol decât $\parallel$
Notația corectă este $a \parallel b$ două bare verticale egale între numele dreptelor.

Exerciții

Ușor

Completează definiția: două drepte distincte din același plan sunt paralele dacă …
Arată răspunsul
Răspuns: nu au niciun punct comun.
Cum se citește $d \parallel e$
Arată răspunsul
Răspuns: Dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $e$
În figura de mai jos, ce drepte sunt date ca paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: $m \parallel p$
Doar dreptele $m$ și $p$ au marcajul de paralelism. Despre $n$ nu avem date, iar pe desen ea este înclinată față de celelalte.
Enunță axioma paralelelor.
Arată răspunsul
Răspuns: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.
Folosind figura, spune ce fel de unghiuri sunt $\angle 3$ și $\angle 5$
Arată răspunsul
Răspuns: Alterne interne.
Sunt între dreptele $a$ și $b$ de părți diferite ale secantei $c$

Mediu

Cu numerotarea din figura exercițiului anterior, numește perechile: a) $\angle 2$ și $\angle 6$ b) $\angle 4$ și $\angle 5$ c) $\angle 1$ și $\angle 7$
Arată răspunsul
Răspuns: a) corespondente; b) interne de aceeași parte a secantei; c) alterne externe.
Adevărat sau fals: „Dacă două drepte nu se intersectează în porțiunea desenată, atunci sunt paralele.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Desenul arată doar o porțiune din drepte; ele se pot intersecta în afara ei.
Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ iar $m(\angle 4) = m(\angle 6) = 128°$ Sunt $a$ și $b$ paralele? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $a \parallel b$
$\angle 4$ și $\angle 6$ sunt alterne interne congruente.
Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ iar $m(\angle 3) = 72°$ și $m(\angle 6) = 108°$ Sunt $a$ și $b$ paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $a \parallel b$
$\angle 3$ și $\angle 6$ sunt interne de aceeași parte a secantei, iar $72° + 108° = 180°$ deci sunt suplementare.
Știm că $a \parallel b$ și $m(\angle 1) = 47°$ Calculează $m(\angle 5)$ $m(\angle 7)$ și $m(\angle 6)$
Arată răspunsul
Răspuns: $m(\angle 5) = 47°$ $m(\angle 7) = 47°$ $m(\angle 6) = 133°$
$\angle 5$ este corespondent cu $\angle 1$ $\angle 7$ este alternă externă cu $\angle 1$ $\angle 6$ este suplementar cu $\angle 5$ $180° - 47° = 133°$
Dreptele distincte $a$ $b$ $c$ verifică $a \parallel b$ și $b \parallel c$ Scrie relația dintre $a$ și $c$ cu notația corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $a \parallel c$
Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ iar unghiurile alterne interne $\angle 3$ și $\angle 5$ au fiecare $74°$ Sunt $a$ și $b$ paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $a \parallel b$
Unghiurile alterne interne sunt egale, deci criteriul de paralelism este îndeplinit.

Provocare

Dreptele $a$ $b$ $d$ sunt tăiate de secanta $s$ Unghiurile marcate sunt în aceeași poziție (sus-dreapta) în cele trei puncte de intersecție. Găsește toate perechile de drepte paralele.
Arată răspunsul
Răspuns: Doar $a \parallel b$
Unghiurile de pe $a$ și $b$ sunt corespondente și egale $62°$ deci $a \parallel b$ Pe $d$ unghiul corespondent are $61°$ Dacă $d$ ar fi paralelă cu $a$ unghiul ar avea tot $62°$ deci $d \nparallel a$ și, la fel, $d \nparallel b$ Pe desen diferența de $1°$ abia se observă.
Știm că $a \parallel b$ iar $m(\angle 3) = 2x + 15°$ și $m(\angle 5) = 3x - 10°$ Calculează $x$ și $m(\angle 3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 25°$ $m(\angle 3) = 65°$
Alterne interne la drepte paralele: $2x + 15° = 3x - 10°$ deci $x = 25°$ și $m(\angle 3) = 2 \cdot 25° + 15° = 65°$
Știm că $a \parallel b$ iar $m(\angle 4) = 3x$ și $m(\angle 5) = x + 20°$ Calculează măsurile celor două unghiuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $m(\angle 4) = 120°$ $m(\angle 5) = 60°$
Interne de aceeași parte a secantei la drepte paralele, deci suplementare: $3x + x + 20° = 180°$ $4x = 160°$ $x = 40°$
Un elev scrie: $m(\angle 1) = 50°$ și $m(\angle 8) = 50°$ deci $a \parallel b$ Unde greșește? Sunt dreptele paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: Greșește; dreptele nu sunt paralele.
$\angle 1$ și $\angle 8$ sunt externe de aceeași parte a secantei. La drepte paralele ar fi suplementare, dar $50° + 50° = 100° \ne 180°$ Deci $a \nparallel b$
Dreptele distincte $a$ și $c$ sunt amândouă paralele cu dreapta $b$ Explică, folosind axioma paralelelor, de ce $a$ și $c$ nu pot avea un punct comun.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă ar avea un punct comun $M$ prin $M$ ar trece două paralele diferite la $b$ ceea ce contrazice axioma paralelelor.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Dreptele distincte $d$ și $e$ din același plan au punctul comun $P$ Pot fi paralele?
1. Da, dacă pe desen par paralele
2. Nu: dreptele paralele nu au niciun punct comun
3. Da, dacă sunt desenate orizontal
4. Nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: dreptele paralele nu au niciun punct comun
Două drepte distincte din același plan sunt paralele doar dacă nu au niciun punct comun. Având punctul comun $P$ $d$ și $e$ sunt concurente.
2. Notația $a \parallel b$ înseamnă:
1. dreptele $a$ și $b$ se intersectează
2. dreapta $a$ este paralelă cu dreapta $b$
3. dreptele $a$ și $b$ au un punct comun
4. segmentele $a$ și $b$ au aceeași lungime
Arată răspunsul
Răspuns: dreapta $a$ este paralelă cu dreapta $b$
3. Două drepte concurente au:
1. niciun punct comun
2. exact un punct comun
3. exact două puncte comune
4. o infinitate de puncte comune
Arată răspunsul
Răspuns: exact un punct comun
Dreptele concurente se intersectează într-un singur punct.
4. Câte paralele la o dreaptă se pot duce printr-un punct exterior ei?
Arată răspunsul
Răspuns: Una singură.
Axioma paralelelor.
5. În figură, $\angle 4$ și $\angle 6$ sunt:
1. corespondente
2. alterne externe
3. alterne interne
4. interne de aceeași parte a secantei
Arată răspunsul
Răspuns: alterne interne
Sunt între drepte, de părți diferite ale secantei.
6. Secanta $c$ taie dreptele $a$ și $b$ iar $m(\angle 1) = m(\angle 5) = 70°$ Ce poți concluziona?
1. $a \parallel b$ pentru că unghiurile corespondente sunt congruente
2. $a$ și $b$ sunt concurente
3. nimic, lipsesc date
4. $a \parallel c$
Arată răspunsul
Răspuns: $a \parallel b$ pentru că unghiurile corespondente sunt congruente
7. Știm că $a \parallel b$ și $m(\angle 3) = 64°$ Cât este $m(\angle 6)$
Arată răspunsul
Răspuns: $116°$
$\angle 3$ și $\angle 6$ sunt interne de aceeași parte a secantei, deci suplementare: $180° - 64° = 116°$
8. Două drepte arată paralele pe desen, dar nu ai nicio dată și niciun marcaj. Ce poți afirma?
1. sunt paralele
2. sunt concurente
3. nu poți afirma că sunt paralele
4. sunt paralele doar dacă sunt orizontale
Arată răspunsul
Răspuns: nu poți afirma că sunt paralele
Desenul nu este dovadă; e nevoie de date, marcaje sau proprietăți cunoscute.

Întrebări frecvente

Ce sunt dreptele paralele?

Două drepte distincte din același plan care nu au niciun punct comun. Se notează $a \parallel b$

Ce spune axioma paralelelor?

Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.

Care sunt criteriile de paralelism?

Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă formează o pereche de unghiuri alterne interne, alterne externe sau corespondente congruente, ori o pereche de unghiuri interne sau externe de aceeași parte a secantei suplementare.

Cum calculez unghiurile formate de două paralele cu o secantă?

Toate unghiurile ascuțite au aceeași măsură, toate cele obtuze au aceeași măsură, iar un unghi ascuțit și unul obtuz sunt suplementare. Ajunge un singur unghi cunoscut.

Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce sunt dreptele paralele

Drepte paralele și drepte concurente

Axioma paralelelor

Unghiurile formate de două drepte cu o secantă

Criterii de paralelism

Calculul unghiurilor când dreptele sunt paralele

Desenul nu este dovadă

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaștere din figură

Exemplul 2: paralele sau concurente?

Exemplul 3: axioma paralelelor

Exemplul 4: numele perechilor de unghiuri

Exemplul 5: criteriul cu unghiuri corespondente

Exemplul 6: criteriul cu unghiuri suplementare

Exemplul 7: toate unghiurile dintr-unul singur

Exemplul 8: desenul nu ajunge

Exemplul 9: problemă cu necunoscută

Exemplul 10: două paralele cu a treia

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a