Ce înseamnă A ∈ d?

Punctul A aparține dreptei d, adică este pe ea. B ∉ d înseamnă că B nu este pe dreapta d.

Lecția 2 din 3 · Noțiuni geometrice de bază

Poziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente

Un punct poate fi pe o dreaptă sau în afara ei. Mai multe puncte pot fi pe aceeași dreaptă sau nu. Două drepte se pot întâlni într-un punct sau pot să nu se întâlnească niciodată. În lecția aceasta înveți să recunoști și să scrii corect aceste poziții.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Stabilești dacă un punct aparține unei drepte și scrii $A \in d$ sau $B \notin d$
Explici ce înseamnă puncte coliniare și verifici coliniaritatea cu rigla.
Recunoști drepte concurente și drepte paralele și folosești notația $a \parallel b$
Înțelegi că desenul arată doar o bucată din drepte: două drepte care nu se întâlnesc pe foaie pot fi totuși concurente.

Recomandat înainte: Punct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment

Ideea de bază

Totul se reduce la o întrebare: este punctul pe dreaptă sau nu? Un punct pe dreaptă o aparține. Puncte aflate toate pe aceeași dreaptă sunt coliniare. Două drepte care au un punct comun sunt concurente, iar două drepte din același plan fără niciun punct comun sunt paralele.

Dreptele

a

și

b

sunt concurente: au un singur punct comun,

O

a \parallel b

dreptele nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.

Poziția unui punct față de o dreaptă

Față de o dreaptă $d$ un punct are doar două poziții posibile: este pe dreaptă sau nu este pe dreaptă.

A \in d

(A este pe dreaptă),

B \notin d

(B nu este pe dreaptă).

$A$ este pe dreapta $d$ Spunem $A$ aparține dreptei $d$ și scriem $A \in d$
$B$ nu este pe dreapta $d$ Spunem $B$ nu aparține dreptei $d$ și scriem $B \notin d$

Simbolurile

$\in$ se citește „aparține”, iar $\notin$ se citește „nu aparține”. Punctul se scrie în stânga, dreapta în dreapta simbolului.

Un punct care nu este pe dreaptă se află în unul dintre cele două semiplane determinate de ea (ai văzut semiplanele în lecția anterioară).

Puncte coliniare

Cuvântul „coliniar” înseamnă „pe aceeași linie”. Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă există o dreaptă care trece prin toate. Dacă nu există o astfel de dreaptă, punctele sunt necoliniare.

A

B

C

sunt coliniare: toate sunt pe dreapta

d

A

B

C

nu sunt coliniare:

C \notin AB

Cum verifici cu rigla

Pui rigla pe două dintre puncte și tragi dreapta. Dacă trece exact și prin celelalte puncte, sunt coliniare. Dacă măcar un punct rămâne în afară, nu sunt coliniare.

Două puncte distincte sunt întotdeauna pe o dreaptă (prin ele trece dreapta lor), de aceea întrebarea „sunt coliniare?” are sens de la trei puncte în sus.

Poziția a două drepte

Două drepte distincte (diferite) au cel mult un punct comun. Dacă ar avea două puncte comune, ar fi aceeași dreaptă, pentru că prin două puncte trece o singură dreaptă. Deci două drepte distincte dintr-un plan pot fi în două situații.

Drepte concurente. Două drepte sunt concurente dacă au exact un punct comun. Cuvântul vine de la „a se întâlni”: dreptele se întâlnesc în acel punct, numit punctul lor de intersecție.

Dreptele

a

și

b

sunt concurente: au un singur punct comun,

O

Drepte paralele. Două drepte distincte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât de mult le-am prelungi. Scriem $a \parallel b$ și citim $a$ este paralelă cu $b$

a \parallel b

dreptele nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.

m \parallel n

Paralele nu înseamnă orizontale.

Paralele sau concurente?
Poziția	Puncte comune	Notație
Concurente	exact unul	$a$ și $b$ concurente în $O$
Paralele	niciunul	$a \parallel b$

Drepte care coincid

Dacă două „drepte” au două puncte comune, ele sunt de fapt aceeași dreaptă. De exemplu, dacă $A$ $B$ $C$ sunt coliniare, dreptele $AB$ și $BC$ coincid.

Mai multe drepte concurente

Spunem că trei sau mai multe drepte sunt concurente dacă trec toate prin același punct.

Dreptele

a

b

c

sunt concurente în

O

toate trec prin același punct.

Atenție: trei drepte care se intersectează două câte două în puncte diferite nu sunt concurente toate trei.

Desenul arată doar o bucată

Pe foaie desenăm doar o bucată din fiecare dreaptă. Două drepte care nu se întâlnesc pe foaie nu sunt neapărat paralele: dacă se apropie una de alta, prelungite, se vor întâlni.

Pe bucata desenată,

p

și

q

nu se întâlnesc.

Prelungite,

p

și

q

se intersectează în

T

sunt concurente, nu paralele.

Nu judeca după o bucată

Paralele înseamnă că nu se întâlnesc niciodată, nu doar pe desen. Două paralele sunt „la fel de înclinate” și păstrează mereu aceeași depărtare între ele.

Exemple rezolvate

Aparține sau nu?

Scrie cu simbolurile $\in$ și $\notin$ poziția punctelor $A$ și $B$ față de dreapta $d$

Vezi rezolvarea

A \in d

(A este pe dreaptă),

B \notin d

(B nu este pe dreaptă).

$A$ este pe dreaptă: $A \in d$ $B$ este deasupra dreptei: $B \notin d$

Puncte pe o dreaptă oblică

Care dintre punctele $M$ $N$ $P$ $R$ aparțin dreptei $e$

Vezi rezolvarea

Care puncte aparțin dreptei

e

$M \in e$ și $N \in e$ (sunt chiar pe linie). $P \notin e$ (sub dreaptă) și $R \notin e$ (deasupra dreptei).

Coliniare

Sunt punctele $A$ $B$ $C$ coliniare?

Vezi rezolvarea

A

B

C

sunt coliniare: toate sunt pe dreapta

d

Da. Toate trei sunt pe dreapta $d$ deci există o dreaptă care trece prin toate.

Necoliniare

Sunt punctele $A$ $B$ $C$ coliniare?

Vezi rezolvarea

A

B

C

nu sunt coliniare:

C \notin AB

Singura dreaptă prin $A$ și $B$ este $d$ Punctul $C$ nu este pe $d$ deci nu există o dreaptă prin toate trei: punctele sunt necoliniare.

Verificarea cu rigla

Punctele $X$ $Y$ $Z$ par pe aceeași linie. Cum verifici?

Vezi rezolvarea

Sunt

X

Y

Z

coliniare?

Pui rigla pe $X$ și $Z$ și tragi dreapta $XZ$ Ea trece exact prin $Y$

Rigla pusă pe

X

și

Z

trece și prin

Y

punctele sunt coliniare.

Deci $X$ $Y$ $Z$ sunt coliniare.

Două triplete coliniare

Găsește toate grupurile de câte trei puncte coliniare din figură.

Vezi rezolvarea

Găsește tripletele de puncte coliniare.

Tragem dreapta prin $A$ și $C$ trece prin $B$ Tragem dreapta prin $D$ și $E$ trece tot prin $B$

A

B

C

sunt coliniare;

D

B

E

sunt coliniare.

Grupurile coliniare sunt $A$ $B$ $C$ și $D$ $B$ $E$ Oricare alt grup de trei puncte este necoliniar.

Drepte concurente

Ce poziție au dreptele $a$ și $b$ Care este punctul lor comun?

Vezi rezolvarea

Dreptele

a

și

b

sunt concurente: au un singur punct comun,

O

Se intersectează în $O$ deci sunt concurente. $O \in a$ și $O \in b$

Drepte paralele oblice

Dreptele $m$ și $n$ sunt oblice. Pot fi paralele?

Vezi rezolvarea

m \parallel n

Paralele nu înseamnă orizontale.

Da. Sunt înclinate la fel și păstrează aceeași depărtare, deci nu se întâlnesc niciodată: $m \parallel n$ Paralelismul nu depinde de faptul că dreptele sunt orizontale.

Trei drepte, două câte două

Stabilește poziția dreptelor $a$ $b$ $c$ luate două câte două.

Vezi rezolvarea

Ce poziție au, două câte două, dreptele

a

b

c

$a$ și $b$ nu se întâlnesc, $a \parallel b$
$a$ și $c$ concurente în $M$
$b$ și $c$ concurente în $N$

Cele trei drepte nu sunt concurente toate: nu există un punct prin care să treacă toate trei.

Trei drepte concurente

Sunt dreptele $a$ $b$ $c$ concurente?

Vezi rezolvarea

Dreptele

a

b

c

sunt concurente în

O

toate trec prin același punct.

Da. Toate trei trec prin același punct, $O$

Nu se întâlnesc pe desen

Dreptele $p$ și $q$ nu se întâlnesc pe desen. Sunt paralele?

Vezi rezolvarea

Pe bucata desenată,

p

și

q

nu se întâlnesc.

Nu putem spune doar din desen. Observăm că se apropie una de alta spre dreapta, deci nu păstrează aceeași depărtare. Prelungite, se întâlnesc.

Prelungite,

p

și

q

se intersectează în

T

sunt concurente, nu paralele.

Sunt concurente în $T$ nu paralele.

Contraexemplu: afirmație greșită

Maria spune că $A$ $B$ $C$ sunt coliniare. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Dreapta punctată trece prin

A

și

B

Trece și prin

C

Nu. Dreapta prin $A$ și $B$ trece pe sub $C$ Punctul $C$ nu aparține dreptei $AB$ deci punctele nu sunt coliniare.

Patru puncte coliniare

Punctele $A$ $B$ $C$ $D$ sunt pe dreapta $d$ iar $E \notin d$ Scrie trei puncte coliniare și trei puncte necoliniare.

Vezi rezolvarea

Patru puncte pe

d

și punctul

E \notin d

Coliniare: de exemplu $A$ $B$ $C$ (toate pe $d$ Necoliniare: de exemplu $A$ $B$ $E$ pentru că $E$ nu este pe dreapta $AB$ adică pe $d$

Greșeli frecvente

Scriu $d \in A$
Punctul se scrie primul: $A \in d$ $A$ aparține lui $d$
Dreptele nu se întâlnesc pe desen, deci sunt paralele.
Desenul arată doar o bucată. Sunt paralele doar dacă nu se întâlnesc niciodată, oricât le-am prelungi.
Paralele înseamnă orizontale.
Dreptele paralele pot avea orice înclinare, important este să fie la fel de înclinate și să nu aibă punct comun.
Punctele par pe aceeași linie, deci sunt coliniare.
Verifică cu rigla: dreapta prin două dintre ele trebuie să treacă exact prin toate celelalte.
Trei drepte care se intersectează două câte două sunt concurente.
Trei drepte sunt concurente doar dacă trec toate prin același punct.

Exerciții

Ușor

Completează cu $\in$ sau $\notin$ $S \ldots f$ $T \ldots f$
Arată răspunsul
Răspuns: $S \notin f$ $T \in f$
$S$ este deasupra dreptei, nu pe ea. $T$ este chiar pe linia dreptei $f$
Care dintre punctele $F$ $G$ $H$ $K$ $L$ aparțin dreptei $g$
Arată răspunsul
Răspuns: $F$ $H$ și $K$
$F \in g$ $H \in g$ $K \in g$ $G \notin g$ (sub dreaptă) și $L \notin g$ (deasupra dreptei).
Câte puncte dintre $A$ $B$ $C$ se află pe aceeași dreaptă în figură?
Arată răspunsul
Răspuns: 3.
Câte dintre punctele $A$ $B$ $C$ aparțin dreptei $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: 2.
Ce poziție au dreptele $a$ și $b$
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt paralele: $a \parallel b$
Ce poziție au dreptele $f$ și $g$ și care este punctul lor comun?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt concurente în $P$
Se intersectează într-un singur punct, $P$ $P \in f$ și $P \in g$
Cum se citește $a \parallel b$
Arată răspunsul
Răspuns: Dreapta $a$ este paralelă cu dreapta $b$
Câte puncte comune au: a) două drepte concurente; b) două drepte paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: a) unul; b) niciunul.

Mediu

Scrie toate grupurile de câte trei puncte coliniare.
Arată răspunsul
Răspuns: $K$ $L$ $M$ și $M$ $N$ $P$
Rigla pusă pe $K$ și $M$ trece prin $L$ rigla pusă pe $M$ și $P$ trece prin $N$ Oricare alt grup de trei puncte este necoliniar.
Completează: dreptele $e$ și $f$ sunt $\ldots$ în punctul $\ldots$ dreptele $e$ și $g$ sunt $\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: concurente, în $R$ paralele $e \parallel g$
$f$ taie dreapta $e$ în $R$ Dreptele $e$ și $g$ sunt la fel de înclinate și nu se întâlnesc.
Care două dintre dreptele $k$ $l$ $t$ sunt paralele? Ce poziție are a treia față de ele?
Arată răspunsul
Răspuns: $k \parallel l$ $t$ este concurentă cu fiecare dintre ele.
$k$ și $l$ au aceeași înclinare și nu se întâlnesc; paralelele nu trebuie să fie orizontale. $t$ este înclinată altfel și le taie pe amândouă.
Ana a scris $r \parallel s$ Are dreptate? Ce poziție au dreptele?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Dreptele se intersectează în $K$ deci sunt concurente.
Adevărat sau fals? a) Două puncte distincte sunt întotdeauna coliniare. b) Două drepte paralele au un punct comun. c) Dacă $A \in d$ și $B \in d$ atunci dreapta $AB$ este $d$
Arată răspunsul
Răspuns: a) A; b) F; c) A.
c) Prin $A$ și $B$ trece o singură dreaptă, iar $d$ trece prin ambele.
Ce punct din figură nu aparține dreptei $AB$
Dreapta punctată trece prin $A$ și $B$ Trece și prin $C$
Arată răspunsul
Răspuns: Punctul $C$
Punctele $A$ $B$ $C$ sunt coliniare. Ce poți spune despre dreptele $AB$ și $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: Coincid (sunt aceeași dreaptă).
Au două puncte comune, $A$ și încă unul, deci sunt aceeași dreaptă.
Scrie trei puncte coliniare și trei puncte necoliniare din figură.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu: coliniare $K$ $M$ $N$ necoliniare $L$ $N$ $P$
Oricare trei dintre $K$ $L$ $M$ $N$ sunt pe dreapta $h$ Un grup care îl conține pe $P$ și două puncte de pe $h$ este necoliniar, pentru că $P \notin h$
Dreptele $h$ și $k$ se intersectează în $R$ iar $S$ este pe $h$ Completează cu $\in$ sau $\notin$ $R \ldots h$ $R \ldots k$ $S \ldots h$ $S \ldots k$
Arată răspunsul
Răspuns: $R \in h$ $R \in k$ $S \in h$ $S \notin k$
Punctul de intersecție este pe ambele drepte. $S$ este doar pe $h$ dreapta $k$ trece prin $R$ nu prin $S$

Provocare

Dreptele $u$ și $v$ nu se întâlnesc pe desen. Sunt paralele? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Depărtarea dintre ele scade spre stânga, deci prelungite spre stânga se întâlnesc: sunt concurente.
În dreapta desenului dreptele sunt mai depărtate, în stânga mai apropiate. Două drepte paralele păstrează aceeași depărtare.
Sunt dreptele $XY$ $YZ$ și $ZX$ din figură concurente toate trei? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Se intersectează două câte două în trei puncte diferite, $X$ $Y$ $Z$ nu există un punct prin care să treacă toate trei.
Oricare două sunt concurente, dar trei drepte sunt concurente doar dacă trec toate prin același punct.
Pe figură, câte drepte distincte trec prin câte două dintre punctele $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
Arată răspunsul
Răspuns: 5: dreapta $d$ și dreptele $EA$ $EB$ $EC$ $ED$
Toate perechile dintre $A$ $B$ $C$ $D$ dau aceeași dreaptă, $d$ Fiecare pereche cu $E$ dă o dreaptă nouă.
Trei drepte distincte trec prin punctul $O$ Ce poziție au, două câte două?
Arată răspunsul
Răspuns: Oricare două sunt concurente în $O$ toate trei sunt concurente.
Trei puncte sunt necoliniare. Câte drepte trec prin câte două dintre ele? Dar dacă sunt coliniare?
Arată răspunsul
Răspuns: Necoliniare: 3 drepte. Coliniare: o singură dreaptă.
Adevărat sau fals? Dacă $a \parallel b$ și dreapta $c$ intersectează dreapta $a$ în $M$ atunci $M \in b$
Arată răspunsul
Răspuns: Fals. $M \in a$ iar $a$ și $b$ nu au puncte comune, deci $M \notin b$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce scriere este corectă?
1. $R \notin s$
2. $R \in s$
3. $Q \notin s$
4. $s \in Q$
Arată răspunsul
Răspuns: $R \notin s$
$R$ nu este pe dreaptă: $R \notin s$ $Q$ este pe dreaptă, deci $Q \in s$ nu $Q \notin s$
2. Punctele sunt coliniare dacă
1. sunt aproape unele de altele
2. există o dreaptă care trece prin toate
3. sunt notate cu litere consecutive
4. sunt în același plan
Arată răspunsul
Răspuns: există o dreaptă care trece prin toate
3. Ce poziție au dreptele $c$ și $e$
1. Concurente
2. Paralele
3. Coincid
4. Nu se poate spune
Arată răspunsul
Răspuns: Paralele
4. Două drepte concurente au
1. niciun punct comun
2. exact un punct comun
3. două puncte comune
4. toate punctele comune
Arată răspunsul
Răspuns: exact un punct comun
5. Ce înseamnă simbolul $\parallel$
1. aparține
2. este paralelă cu
3. este egal cu
4. se intersectează cu
Arată răspunsul
Răspuns: este paralelă cu
6. Câte grupuri de trei puncte coliniare sunt în figură?
1. 0
2. 1
3. 2
4. 5
Arată răspunsul
Răspuns: 1
Doar $R$ $S$ $T$ sunt pe aceeași dreaptă; niciun alt grup de trei puncte nu este coliniar.
7. Două drepte distincte nu se întâlnesc pe desen. Ce poți spune sigur?
1. Sunt paralele
2. Sunt concurente
3. Nimic sigur doar din desen; trebuie să știi că nu se întâlnesc niciodată
4. Coincid
Arată răspunsul
Răspuns: Nimic sigur doar din desen; trebuie să știi că nu se întâlnesc niciodată
8. Trei drepte trec toate prin același punct $O$ Cum se numesc?
Arată răspunsul
Răspuns: drepte concurente
9. Dacă $A$ $B$ $C$ sunt coliniare, dreptele $AB$ și $BC$
1. sunt paralele
2. coincid
3. sunt concurente în $A$
4. nu există
Arată răspunsul
Răspuns: coincid
10. Dreapta $c$ taie două drepte paralele, $a$ și $b$ Câte puncte de intersecție sunt în total între cele trei drepte?
Arată răspunsul
Răspuns: 2
$c$ taie pe $a$ într-un punct și pe $b$ în alt punct. Dreptele paralele $a$ și $b$ nu au niciun punct comun.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă puncte coliniare?

Puncte aflate toate pe aceeași dreaptă. Verifici cu rigla: dreapta prin două dintre ele trebuie să treacă prin toate celelalte.

Care este diferența dintre drepte paralele și drepte concurente?

Dreptele concurente au exact un punct comun, cel în care se intersectează. Dreptele paralele (distincte, din același plan) nu au niciun punct comun.

Ce înseamnă

A \in d

Punctul $A$ aparține dreptei $d$ adică este pe ea. $B \notin d$ înseamnă că $B$ nu este pe dreapta $d$

Pot două drepte să aibă două puncte comune?

Doar dacă sunt aceeași dreaptă. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Dacă două drepte nu se întâlnesc pe caiet, sunt paralele?

Nu neapărat. Pe caiet vezi doar o bucată. Dacă se apropie una de alta, prelungite se întâlnesc.

Ai terminat lecția

Poziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Poziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente

Ce vei învăța

Ideea de bază

Poziția unui punct față de o dreaptă

Puncte coliniare

Poziția a două drepte

Mai multe drepte concurente

Desenul arată doar o bucată

Exemple rezolvate

Aparține sau nu?

Puncte pe o dreaptă oblică

Coliniare

Necoliniare

Verificarea cu rigla

Două triplete coliniare

Drepte concurente

Drepte paralele oblice

Trei drepte, două câte două

Trei drepte concurente

Nu se întâlnesc pe desen

Contraexemplu: afirmație greșită

Patru puncte coliniare

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a