Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Q: Care este diferența dintre apotema bazei și apotema piramidei?

Apotema bazei este distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi, în interiorul bazei. Apotema piramidei este pe fața laterală, de la apex la mijlocul unei laturi a bazei, și se calculează din apotema bazei și înălțimea piramidei, prin teorema lui Pitagora.

Q: De ce volumul piramidei are factorul 13, spre deosebire de prismă?

Pentru că o piramidă ocupă exact o treime din volumul unei prisme cu aceeași bază și aceeași înălțime (rezultat demonstrat riguros mai târziu, cu alte metode, dar folosit aici ca formulă). Omiterea factorului 13 este cea mai frecventă greșeală la acest tip de calcul.

Q: De ce aria totală a prismei și a trunchiului de piramidă adună DOUĂ baze, iar a piramidei doar UNA?

Prisma și trunchiul de piramidă au două baze (congruente la prismă, asemenea la trunchi). Piramida are o singură bază; apexul nu este o „a doua bază”, ci un punct.

Q: Formulele din lecție funcționează la orice prismă sau doar la una cu baza regulată?

Formulele prismei (A_(l)=P_(b) · h, A_(t)=A_(l)+2A_(b), V=A_(b) · h) funcționează la orice prismă DREAPTĂ, indiferent de forma bazei. Formulele piramidei și ale trunchiului, care folosesc apotema, cer ca baza să fie un poligon REGULAT (piramidă/trunchi regulat).

Q: Cum calculez apotema trunchiului de piramidă, dacă nu îmi este dată direct?

Din înălțimea trunchiului h și diferența apotemelor celor două baze: a_(p)=√(h²+(a₁-a₂)²), o aplicare a teoremei lui Pitagora, la fel ca la apotema piramidei.

Q: De ce nu se calculează aici muchia laterală a piramidei sau a trunchiului?

Pentru că niciuna din formulele de arie sau de volum din scopul acestei lecții nu are nevoie de ea. Distanțe de acest tip (diagonale, muchii oblice) au fost tratate deja, pentru cub și paralelipiped, în lecția anterioară a modulului.

Ce vei învăța

Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unei prisme drepte
Deosebești apotema bazei de apotema piramidei și le calculezi prin teorema lui Pitagora
Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unei piramide regulate
Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui trunchi de piramidă regulată
Recunoști și corectezi greșeli frecvente: factorul $\frac13$ uitat, înălțime confundată cu apotema, bază aleasă greșit

Recomandat înainte: Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Ideea de bază

La o prismă dreaptă, fiecare față laterală este un dreptunghi: o latură egală cu o latură a bazei, cealaltă egală cu înălțimea prismei. Suma ariilor tuturor fețelor laterale este $A_l = P_b \cdot h$ unde $P_b$ este perimetrul bazei, iar $h$ este înălțimea prismei.

Prismă dreaptă cu baza un triunghi dreptunghic în

B

AB=3

BC=4

AC=5

și înălțimea

AA_1=6

Baza umbrită:

A_b = \dfrac{3\cdot4}{2}=6

cm², perimetrul

P_b=3+4+5=12

cm. Aria laterală:

A_l=P_b\cdot h=12\cdot6=72

cm².

La o piramidă regulată, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, nu dreptunghiuri: aria lor se calculează cu apotema piramidei (înălțimea triunghiului lateral), nu cu înălțimea corpului. Vezi mai jos, în secțiunea despre piramidă.

Aria și volumul prismei drepte

Pentru o prismă dreaptă cu baza de arie $A_b$ și perimetru $P_b$ și înălțime $h$ aria laterală $A_l = P_b\cdot h$ aria totală $A_t = A_l + 2A_b$ (aria laterală plus cele două baze), volumul $V = A_b\cdot h$

Orice bază, aceeași formulă

Formulele de mai sus funcționează pentru orice prismă DREAPTĂ, indiferent de forma bazei (triunghi, patrulater, hexagon...): tot ce contează este aria bazei $A_b$ și perimetrul ei $P_b$

Pentru prisma din figura de mai sus $A_b=6$ cm², $P_b=12$ cm, $h=6$ cm): aria totală $A_t = 72 + 2\cdot6 = 84$ cm², volumul $V = 6\cdot6 = 36$ cm³.

Nu uita cele DOUĂ baze la aria totală

Aria laterală $A_l$ include doar fețele dintre cele două baze, nu și bazele însele. Aria totală adaugă AMBELE baze: $A_t = A_l + 2A_b$ nu $A_l + A_b$

Aria și volumul piramidei regulate

O piramidă este regulată dacă baza este un poligon regulat, iar apexul este exact deasupra centrului bazei. Fețele laterale sunt atunci triunghiuri isoscele congruente, iar înălțimea fiecăreia, măsurată de la apex la mijlocul unei laturi a bazei, se numește apotema piramidei, notată $a_p$ Apotema bazei, notată $a_b$ este distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi, deci stă în planul bazei.

Apotema piramidei, din teorema lui Pitagora

Înălțimea corpului $h$ apotema bazei $a_b$ și apotema piramidei $a_p$ formează un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept la centrul bazei. Apotema piramidei este ipotenuza: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$

Piramidă regulată cu baza pătrat latura

6

cm și înălțimea

VO=4

cm. Apotema bazei

OM=a_b=3

cm (jumătate din latură). Apotema piramidei

VM=a_p

este ipotenuza triunghiului dreptunghic umbrit

VOM

VM=\sqrt{VO^2+OM^2}=\sqrt{16+9}=5

cm. Baza:

A_b=36

cm²,

P_b=24

cm. Aria laterală:

A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}=\dfrac{24\cdot5}{2}=60

cm².

Aria totală este $A_t = A_l + A_b$ (aria laterală plus o singură bază, pentru că piramida are o singură bază, nu două). Volumul este $V = \dfrac{A_b\cdot h}{3}$ unde $h$ este ÎNĂLȚIMEA piramidei, nu apotema.

Pentru piramida din figură: $A_t = 60+36=96$ cm², $V = \dfrac{36\cdot4}{3}=48$ cm³.

Nu confunda $h$ cu $a_p$

Volumul folosește înălțimea $h$ (perpendiculară pe bază, de la apex la centrul bazei). Aria laterală folosește apotema piramidei $a_p$ (pe fața laterală, de la apex la mijlocul unei laturi). Cele două segmente NU sunt egale, decât întâmplător.

Trunchiul de piramidă regulată: aria și volumul

Trunchiul de piramidă regulată are două baze paralele, poligoane regulate asemenea (baza mare, cu perimetrul $P_1$ aria $A_1$ și apotema $a_1$ baza mică, cu perimetrul $P_2$ aria $A_2$ și apotema $a_2$ și fețe laterale trapezoidale congruente. Apotema trunchiului, $a_p$ este înălțimea unei fețe laterale (distanța dintre cele două laturi paralele ale trapezului, măsurată pe segmentul care unește mijloacele lor).

Trunchi de piramidă regulată, baze pătrate laturile

10

cm și

4

cm, înălțimea

OO'=4

cm. Apotemele bazelor:

OM=a_1=5

cm și

O'M'=a_2=2

cm. Punctul

N

este proiecția lui

M'

pe baza mare, deci

ON=O'M'=2

cm și

NM=a_1-a_2=3

cm. Apotema trunchiului

MM'=a_p

este ipotenuza triunghiului dreptunghic umbrit

MM'N

cu catetele

M'N=OO'=4

cm și

NM=3

cm:

a_p=\sqrt{4^2+3^2}=5

cm.

Aria laterală a trunchiului este suma ariilor celor $4$ trapeze, $A_l = \dfrac{(P_1+P_2)}{2}\cdot a_p$ (perimetrele celor două baze, la media lor, înmulțite cu apotema trunchiului). Pentru figura de mai sus: $P_1=40$ cm, $P_2=16$ cm, deci $A_l = \dfrac{40+16}{2}\cdot5 = 28\cdot5 = 140$ cm².

Aria totală adaugă cele DOUĂ baze: $A_t = A_l+A_1+A_2$ Cu $A_1=100$ cm² și $A_2=16$ cm²: $A_t = 140+100+16=256$ cm².

Volumul trunchiului este $V = \dfrac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1\cdot A_2}\right)$ Cu $h=4$ cm: $V = \dfrac{4}{3}\left(100+16+\sqrt{100\cdot16}\right) = \dfrac{4}{3}(116+40) = \dfrac{4}{3}\cdot156 = 208$ cm³.

Nu e nevoie să construiești piramida întreagă

Volumul trunchiului este diferența dintre volumul piramidei mari și volumul piramidei mici îndepărtate. Formula $V=\dfrac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2})$ dă același rezultat direct, din datele trunchiului, fără să afli înălțimea piramidei mari.

Exemple rezolvate

Aria laterală a unei prisme drepte

O prismă dreaptă are baza un triunghi dreptunghic cu catetele $6$ cm și $8$ cm, iar înălțimea prismei este $5$ cm. Calculează aria laterală.

Vezi rezolvarea

Ipotenuza bazei: $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm. Perimetrul bazei: $P_b=6+8+10=24$ cm.

Aria laterală: $A_l = P_b\cdot h = 24\cdot5 = 120$ cm².

Aria totală a unei prisme drepte

Pentru prisma de mai sus $P_b=24$ cm, $h=5$ cm, baza cu catetele $6$ cm și $8$ cm), calculează aria totală.

Vezi rezolvarea

Aria bazei: $A_b = \dfrac{6\cdot8}{2} = 24$ cm².

$A_t = A_l + 2A_b = 120 + 2\cdot24 = 120+48 = 168$ cm².

Volumul unei prisme drepte

Pentru aceeași prismă $A_b=24$ cm², $h=5$ cm), calculează volumul.

Vezi rezolvarea

$V = A_b\cdot h = 24\cdot5 = 120$ cm³.

Înălțimea prismei, din volum

O prismă dreaptă are baza cu aria $15$ cm² și volumul $180$ cm³. Calculează înălțimea prismei.

Vezi rezolvarea

Din $V=A_b\cdot h$ $h = \dfrac{V}{A_b} = \dfrac{180}{15} = 12$ cm.

Apotema piramidei, din înălțime și apotema bazei

O piramidă patrulateră regulată are baza latura $10$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează apotema piramidei.

Vezi rezolvarea

Apotema bazei: $a_b = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

Apotema piramidei: $a_p = \sqrt{h^2+a_b^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Aria laterală a unei piramide regulate

Pentru piramida de mai sus (baza latura $10$ cm, apotema piramidei $13$ cm), calculează aria laterală.

Vezi rezolvarea

Perimetrul bazei: $P_b = 4\cdot10 = 40$ cm.

$A_l = \dfrac{P_b\cdot a_p}{2} = \dfrac{40\cdot13}{2} = 260$ cm².

Aria totală și volumul unei piramide regulate

Pentru aceeași piramidă (baza latura $10$ cm, $A_l=260$ cm², înălțimea $12$ cm), calculează aria totală și volumul.

Vezi rezolvarea

Aria bazei: $A_b = 10^2 = 100$ cm². $A_t = A_l+A_b = 260+100 = 360$ cm².

$V = \dfrac{A_b\cdot h}{3} = \dfrac{100\cdot12}{3} = 400$ cm³.

Pânza unui cort piramidal

Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate, cu baza pătrat latura $4$ m și apotema piramidei $5$ m (fără podea). Câți metri pătrați de pânză sunt necesari pentru pereți?

Vezi rezolvarea

Pereții cortului sunt fețele laterale ale piramidei: aria laterală.

Perimetrul bazei: $P_b=4\cdot4=16$ m. $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}=\dfrac{16\cdot5}{2}=40$ m².

Înălțimea piramidei, din volum

O piramidă patrulateră regulată are baza latura $9$ cm și volumul $243$ cm³. Calculează înălțimea piramidei.

Vezi rezolvarea

Aria bazei: $A_b=9^2=81$ cm².

Din $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$ $h = \dfrac{3V}{A_b} = \dfrac{3\cdot243}{81} = \dfrac{729}{81} = 9$ cm.

Eroare: volumul piramidei fără factorul $\frac13$

Un elev calculează volumul unei piramide cu baza $A_b=50$ cm² și înălțimea $h=9$ cm astfel: $V = A_b\cdot h = 450$ cm³. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Volumul piramidei este $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$ NU $A_b\cdot h$ (formula pentru prismă).

Volumul corect: $V = \dfrac{50\cdot9}{3} = \dfrac{450}{3} = 150$ cm³, o treime din calculul elevului.

Apotema trunchiului de piramidă

Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $12$ cm și $6$ cm, iar înălțimea $4$ cm. Calculează apotema trunchiului.

Vezi rezolvarea

Apotemele bazelor: $a_1=6$ cm, $a_2=3$ cm, diferența $3$ cm.

Apotema trunchiului: $a_p = \sqrt{h^2+(a_1-a_2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$ cm.

Aria totală a unui trunchi de piramidă

Pentru trunchiul de mai sus (baze laturile $12$ cm și $6$ cm, apotema trunchiului $5$ cm), calculează aria totală.

Vezi rezolvarea

Perimetrele: $P_1=48$ cm, $P_2=24$ cm. Aria laterală: $A_l=\dfrac{48+24}{2}\cdot5=36\cdot5=180$ cm².

Ariile bazelor: $A_1=144$ cm², $A_2=36$ cm². $A_t=180+144+36=360$ cm².

Volumul aceluiași trunchi de piramidă

Pentru trunchiul de mai sus $A_1=144$ cm², $A_2=36$ cm², $h=4$ cm), calculează volumul.

Vezi rezolvarea

$\sqrt{A_1\cdot A_2} = \sqrt{144\cdot36} = \sqrt{5184} = 72$ cm².

$V = \dfrac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}) = \dfrac{4}{3}(144+36+72) = \dfrac{4}{3}\cdot252 = 336$ cm³.

Eroare: bazele trunchiului tratate ca la o prismă

Un elev calculează aria totală a unui trunchi de piramidă adunând aria LATERALĂ cu aria unei SINGURE baze (cea mare), ca și cum cealaltă bază nu ar exista. Ce greșește?

Vezi rezolvarea

Trunchiul de piramidă are DOUĂ baze, de arii diferite $A_1$ baza mare, și $A_2$ baza mică), spre deosebire de o piramidă (o singură bază).

Aria totală corectă adună amândouă: $A_t = A_l + A_1 + A_2$ nu doar $A_l+A_1$

Greșeli frecvente

Volumul piramidei este $A_b\cdot h$ la fel ca la prismă.
Volumul piramidei este $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$ o treime din volumul unei prisme cu aceeași bază și aceeași înălțime. Factorul $\dfrac13$ nu poate fi omis.
Apotema piramidei și înălțimea piramidei sunt același segment.
Înălțimea $h$ este perpendiculara din apex pe planul bazei (până la centrul bazei). Apotema piramidei $a_p$ este înălțimea unei fețe laterale (de la apex la mijlocul unei laturi a bazei). Sunt catetă, respectiv ipotenuză, în același triunghi dreptunghic, deci diferite.
Aria totală a unei prisme sau a unui trunchi de piramidă este aria laterală plus O SINGURĂ bază.
Prisma și trunchiul de piramidă au DOUĂ baze (congruente la prismă, diferite la trunchi). Aria totală adaugă AMBELE: $A_t=A_l+2A_b$ (prismă) sau $A_t=A_l+A_1+A_2$ (trunchi).
Aria laterală a piramidei se calculează cu perimetrul și înălțimea corpului, ca la prismă.
La piramidă, fețele laterale sunt triunghiuri, nu dreptunghiuri: aria laterală folosește apotema PIRAMIDEI, $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$ nu înălțimea corpului.
Volumul se calculează din aria TOTALĂ a bazei (inclusiv fețele laterale), înmulțită cu înălțimea.
Volumul folosește doar aria BAZEI (poligonul de jos), nu aria totală a corpului. Formula $V=A_b\cdot h$ (prismă) sau $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$ (piramidă) are $A_b$ = aria bazei, un singur poligon.
Un trunchi de piramidă regulată se calculează ca o prismă, pentru că are două baze.
La o prismă, cele două baze sunt CONGRUENTE. La un trunchi de piramidă, cele două baze sunt doar ASEMENEA (mărimi diferite), iar fețele laterale sunt trapeze, nu dreptunghiuri: formulele sunt diferite.
Un rezultat de arie sau de volum e corect dacă numărul e corect, indiferent de unitate.
Aria se exprimă în unități pătrate $\text{cm}^2$ volumul în unități cubice $\text{cm}^3$ Un rezultat fără exponentul potrivit este incomplet sau greșit, chiar dacă numărul e corect.
Apotema bazei și apotema piramidei se pot folosi interschimbabil în orice formulă.
Apotema BAZEI $a_b$ este folosită pentru a calcula apotema PIRAMIDEI $a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}$ doar apotema piramidei intră apoi în formula ariei laterale, $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$

Exerciții

Ușor

Scrie formula ariei laterale a unei prisme drepte, cu perimetrul bazei $P_b$ și înălțimea $h$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = P_b\cdot h$
Scrie formula volumului unei prisme drepte, cu aria bazei $A_b$ și înălțimea $h$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = A_b\cdot h$
Scrie formula volumului unei piramide, cu aria bazei $A_b$ și înălțimea $h$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = \dfrac{A_b\cdot h}{3}$
Scrie formula ariei laterale a unei piramide regulate, cu perimetrul bazei $P_b$ și apotema piramidei $a_p$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = \dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$
O prismă dreaptă are baza aria $8$ cm² și înălțimea $7$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $56$ cm³.
$V=A_b\cdot h=8\cdot7=56$ cm³.
O piramidă are baza aria $18$ cm² și înălțimea $5$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $30$ cm³.
$V=\dfrac{18\cdot5}{3}=30$ cm³.
Câte baze are o prismă? Dar o piramidă?
Arată răspunsul
Răspuns: Prisma are două baze; piramida are o singură bază.
Câte baze are un trunchi de piramidă?
Arată răspunsul
Răspuns: Două (baza mare și baza mică).
Aria totală a unei prisme cu aria laterală $90$ cm² și aria bazei $12$ cm² este...
Arată răspunsul
Răspuns: $114$ cm².
$A_t=A_l+2A_b=90+24=114$ cm².

Mediu

O prismă dreaptă are baza un dreptunghi cu dimensiunile $4$ cm și $5$ cm, iar înălțimea prismei este $6$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l=108$ cm², $A_t=148$ cm², $V=120$ cm³.
$P_b=2(4+5)=18$ cm, $A_l=18\cdot6=108$ cm²; $A_b=20$ cm², $A_t=108+40=148$ cm²; $V=20\cdot6=120$ cm³.
O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura $6$ cm (perimetru $18$ cm) și înălțimea prismei $9$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $162$ cm².
$A_l=P_b\cdot h=18\cdot9=162$ cm².
O piramidă patrulateră regulată are baza latura $14$ cm și înălțimea $24$ cm. Calculează apotema piramidei.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$ cm.
Apotema bazei $=7$ cm; $a_p=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm.
Pentru piramida de mai sus (baza latura $14$ cm, apotema $25$ cm), calculează aria laterală și aria totală.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l=700$ cm², $A_t=896$ cm².
$P_b=56$ cm; $A_l=\dfrac{56\cdot25}{2}=700$ cm²; $A_b=196$ cm²; $A_t=700+196=896$ cm².
Pentru aceeași piramidă (baza $196$ cm², înălțimea $24$ cm), calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $1\,568$ cm³.
$V=\dfrac{196\cdot24}{3}=1\,568$ cm³.
O prismă dreaptă are volumul $200$ cm³ și înălțimea $8$ cm. Calculează aria bazei.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$ cm².
$A_b=\dfrac{V}{h}=\dfrac{200}{8}=25$ cm².
O piramidă are volumul $96$ cm³ și baza cu aria $24$ cm². Calculează înălțimea piramidei.
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$h=\dfrac{3V}{A_b}=\dfrac{3\cdot96}{24}=12$ cm.
Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $6$ cm și $2$ cm, iar înălțimea $4$ cm. Calculează apotemele bazelor și apotema trunchiului.
Arată răspunsul
Răspuns: Apotemele bazelor: $3$ cm și $1$ cm. Apotema trunchiului: $\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ cm.
Apotemele bazelor sunt jumătate din laturi; apotema trunchiului $=\sqrt{h^2+(3-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt5$ cm.
Un rezervor are forma unei prisme drepte cu baza un pătrat cu latura $2$ m și înălțimea $3$ m. Calculează volumul, în litri.
Arată răspunsul
Răspuns: $12\,000$ litri.
$V=4\cdot3=12$ m³; $1$ m³ $=1\,000$ litri, deci $12\,000$ litri.
Un elev spune: „apotema piramidei este jumătate din latura bazei”. Explică de ce greșește.
Arată răspunsul
Răspuns: Jumătate din latura bazei este apotema BAZEI, nu a piramidei. Apotema piramidei se calculează din apotema bazei și înălțimea piramidei, prin teorema lui Pitagora.

Provocare

Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $12$ cm și $4$ cm, iar apotema trunchiului este $5$ cm. Calculează înălțimea trunchiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm.
Apotemele bazelor sunt $6$ cm și $2$ cm, diferența $4$ cm; $h^2=a_p^2-(a_1-a_2)^2=25-16=9$ deci $h=3$ cm.
O prismă dreaptă are baza fixă, dar înălțimea se triplează. De câte ori se schimbă volumul? Dar aria laterală?
Arată răspunsul
Răspuns: Volumul se triplează; aria laterală se triplează și ea $A_l=P_b\cdot h$ direct proporțională cu $h$
$V=A_b\cdot h$ și $A_l=P_b\cdot h$ sunt amândouă direct proporționale cu $h$ (la $A_b$ și $P_b$ fixate), deci ambele se triplează. Aria totală NU se triplează (bazele, $2A_b$ rămân neschimbate).
O piramidă regulată are baza latura $a$ și apotema piramidei $a_p$ Dacă dublezi latura bazei, păstrând apotema piramidei neschimbată, de câte ori se schimbă aria laterală?
Arată răspunsul
Răspuns: De $2$ ori.
În $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$ perimetrul $P_b$ se dublează odată cu latura, iar $a_p$ rămâne fix, deci $A_l$ se dublează.
Un trunchi de piramidă regulată are $A_1=81$ cm², $A_2=25$ cm² și înălțimea $6$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $302$ cm³.
$\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{81\cdot25}=\sqrt{2025}=45$ $V=\dfrac{6}{3}(81+25+45)=2\cdot151=302$ cm³.
Explică, fără calcul numeric, de ce formula volumului trunchiului de piramidă, $V=\dfrac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2})$ dă un rezultat MAI MIC decât volumul unei prisme cu aceeași înălțime și bază $A_1$ (cea mare).
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că trunchiul se îngustează spre baza mică $A_2<A_1$ deci are mai puțin material decât o prismă cu baza $A_1$ pe toată înălțimea. În formulă: $A_2<A_1$ și $\sqrt{A_1A_2}<\sqrt{A_1A_1}=A_1$ deci $A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}<3A_1$ și $V<\dfrac{h}{3}\cdot 3A_1=A_1\cdot h$ adică volumul prismei.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. O prismă și o piramidă au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul prismei este $75$ cm³. Cât este volumul piramidei?
1. $75$ cm³
2. $25$ cm³
3. $150$ cm³
4. $37{,}5$ cm³
Arată răspunsul
Răspuns: $25$ cm³
$V_{\text{piramidă}} = \dfrac{A_b\cdot h}{3}$ o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime: $75 : 3 = 25$ cm³.
2. O prismă dreaptă are perimetrul bazei $20$ cm și înălțimea $7$ cm. Cât este aria laterală?
1. $140$ cm²
2. $70$ cm²
3. $27$ cm²
4. $280$ cm²
Arată răspunsul
Răspuns: $140$ cm²
Fețele laterale sunt dreptunghiuri cu înălțimea prismei: $A_l=P_b\cdot h = 20\cdot7 = 140$ cm².
3. Ce segment este apotema unei piramide regulate?
1. Distanța de la centrul bazei la o latură a bazei
2. Muchia laterală, de la apex la un vârf al bazei
3. Înălțimea corpului
4. Înălțimea unei fețe laterale, de la apex la mijlocul unei laturi a bazei
Arată răspunsul
Răspuns: Înălțimea unei fețe laterale, de la apex la mijlocul unei laturi a bazei
Apotema piramidei este pe fața laterală, de la apex la mijlocul unei laturi a bazei, diferită de apotema bazei și de înălțimea corpului.
4. Aria totală a unei prisme drepte este...
1. $A_l + A_b$
2. $A_l$
3. $A_l + 2A_b$
4. $2A_l + A_b$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l + 2A_b$
Prisma are două baze congruente; aria totală adaugă AMBELE la aria laterală.
5. Câte baze are un trunchi de piramidă regulată, și ce relație au între ele?
1. O singură bază
2. Două baze congruente
3. Două baze asemenea, de mărimi diferite
4. Trei baze
Arată răspunsul
Răspuns: Două baze asemenea, de mărimi diferite
Trunchiul de piramidă are baza mare și baza mică, poligoane asemenea, dar nu congruente.
6. O piramidă regulată are perimetrul bazei $28$ cm și apotema $5$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $70$ cm².
$A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2} = \dfrac{28\cdot5}{2} = 70$ cm².
7. O prismă dreaptă are baza $10$ cm² și înălțimea $6$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $60$ cm³.
8. O piramidă are baza $30$ cm² și înălțimea $9$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $90$ cm³.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre apotema bazei și apotema piramidei?

Apotema bazei este distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi, în interiorul bazei. Apotema piramidei este pe fața laterală, de la apex la mijlocul unei laturi a bazei, și se calculează din apotema bazei și înălțimea piramidei, prin teorema lui Pitagora.

De ce volumul piramidei are factorul

\frac13

spre deosebire de prismă?

Pentru că o piramidă ocupă exact o treime din volumul unei prisme cu aceeași bază și aceeași înălțime (rezultat demonstrat riguros mai târziu, cu alte metode, dar folosit aici ca formulă). Omiterea factorului $\frac13$ este cea mai frecventă greșeală la acest tip de calcul.

De ce aria totală a prismei și a trunchiului de piramidă adună DOUĂ baze, iar a piramidei doar UNA?

Prisma și trunchiul de piramidă au două baze (congruente la prismă, asemenea la trunchi). Piramida are o singură bază; apexul nu este o „a doua bază”, ci un punct.

Formulele din lecție funcționează la orice prismă sau doar la una cu baza regulată?

Formulele prismei $A_l=P_b\cdot h$ $A_t=A_l+2A_b$ $V=A_b\cdot h$ funcționează la orice prismă DREAPTĂ, indiferent de forma bazei. Formulele piramidei și ale trunchiului, care folosesc apotema, cer ca baza să fie un poligon REGULAT (piramidă/trunchi regulat).

Cum calculez apotema trunchiului de piramidă, dacă nu îmi este dată direct?

Din înălțimea trunchiului $h$ și diferența apotemelor celor două baze: $a_p=\sqrt{h^2+(a_1-a_2)^2}$ o aplicare a teoremei lui Pitagora, la fel ca la apotema piramidei.

De ce nu se calculează aici muchia laterală a piramidei sau a trunchiului?

Pentru că niciuna din formulele de arie sau de volum din scopul acestei lecții nu are nevoie de ea. Distanțe de acest tip (diagonale, muchii oblice) au fost tratate deja, pentru cub și paralelipiped, în lecția anterioară a modulului.

Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Ce vei învăța

Ideea de bază

Aria și volumul prismei drepte

Aria și volumul piramidei regulate

Trunchiul de piramidă regulată: aria și volumul