Las rezultatul cu π sau îl aproximez?

Rezultatul exact se scrie cu π. Aproximezi doar când problema cere, de obicei cu π ≈ 3,14, și scrii că rezultatul este aproximativ.

Sfera: aria și volumul – Clasa a VIII-a

Q: Care este diferența dintre sferă și corpul sferic?

Sfera este suprafața: toate punctele aflate la distanța r de centru. Corpul sferic (bila) conține și punctele din interior. De aceea vorbim despre aria sferei și despre volumul corpului sferic.

Q: Formulele folosesc raza sau diametrul?

Raza. Dacă problema dă diametrul d, calculezi întâi r = d/2.

Q: Cum îmi amintesc care formulă e pentru arie și care pentru volum?

Uită-te la exponent: aria are r² (două lungimi, unități pătrate), volumul are r³ (trei lungimi, unități cubice).

Q: Cum aflu raza dacă știu volumul?

Scrii 4π r³/3 = V, simplifici cu π, afli r³ și cauți numărul care ridicat la puterea a treia dă acel rezultat.

Ce vei învăța

Deosebești sfera (suprafața) de corpul sferic (corpul plin)
Treci corect de la diametru la rază: $r = \dfrac{d}{2}$
Calculezi aria sferei cu $A = 4\pi r^2$
Calculezi volumul corpului sferic cu $V = \dfrac{4\pi r^3}{3}$
Afli raza dintr-o arie sau dintr-un volum dat și rezolvi probleme aplicative

Recomandat înainte: Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Ideea de bază

Sfera de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor din spațiu aflate la distanța $r$ de $O$ Este o suprafață, ca o coajă subțire. Corpul sferic (numit și bilă) este format din sferă împreună cu toate punctele din interiorul ei.

Sferă de centru

O

și rază

r = OA

Cercul orizontal (punctat în spate) trece prin centru: este un cerc mare al sferei, cu aceeași rază

r

Sfera și corpul sferic

Elementele sunt cele de la cerc: centrul $O$ raza $r$ (segmentul de la centru la un punct al sferei) și diametrul $d = 2r$ (un segment care trece prin centru și are capetele pe sferă).

Sferă sau corp sferic?

Sfera este doar suprafața, deci are arie. Corpul sferic este corpul plin, deci are volum. Spunem „aria sferei” și „volumul corpului sferic”.

Orice plan care trece prin centru taie sfera după un cerc de rază $r$ numit cerc mare. Cercul desenat orizontal în figură este un astfel de cerc mare.

Aria sferei

A = 4\pi r^2

Aria sferei este exact de $4$ ori aria unui cerc mare $\pi r^2$ Pentru $r = 6$ cm: $A = 4\pi\cdot6^2 = 4\pi\cdot36 = 144\pi$ cm².

O legătură cu cilindrul

Un cilindru cu raza $r$ și înălțimea $2r$ are aria laterală $2\pi r\cdot2r = 4\pi r^2$ adică exact aria sferei de rază $r$ Rezultatul îi aparține lui Arhimede.

Volumul corpului sferic

V = \dfrac{4\pi r^3}{3}

Raza apare la puterea a treia, ca la orice volum: trei lungimi înmulțite. Pentru $r = 6$ cm: $V = \dfrac{4\pi\cdot216}{3} = \dfrac{864\pi}{3} = 288\pi$ cm³.

Ce depinde de $r^2$ și ce depinde de $r^3$
Mărime	Formulă	Unitate (pentru $r$ în cm)
Aria sferei	$4\pi r^2$	cm²
Volumul corpului sferic	$\dfrac{4\pi r^3}{3}$	cm³

Întâi raza, apoi formula

Dacă problema dă diametrul, împarte-l la $2$ înainte de orice calcul. O sferă cu diametrul $10$ cm are raza $5$ cm, deci $A = 100\pi$ cm², nu $400\pi$ cm².

Când raza crește de $k$ ori, aria crește de $k^2$ ori, iar volumul de $k^3$ ori. O sferă cu raza de două ori mai mare are aria de $4$ ori mai mare și volumul de $8$ ori mai mare.

Exemple rezolvate

Aria unei sfere

Calculează aria unei sfere cu raza $5$ cm.

Vezi rezolvarea

$A = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot25 = 100\pi$ cm².

Volumul unui corp sferic

Calculează volumul unui corp sferic cu raza $3$ cm.

Vezi rezolvarea

$V = \dfrac{4\pi\cdot3^3}{3} = \dfrac{4\pi\cdot27}{3} = 36\pi$ cm³.

Observație: aria sferei cu aceeași rază este tot $4\pi\cdot9 = 36\pi$ dar în cm². Numerele coincid doar pentru $r = 3$ mărimile sunt diferite.

Din diametru, volumul

Un corp sferic are diametrul $10$ cm. Calculează volumul.

Vezi rezolvarea

Raza: $r = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

$V = \dfrac{4\pi\cdot125}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$ cm³.

Din diametru, aria

O sferă are diametrul $8$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

$r = 4$ cm, deci $A = 4\pi\cdot16 = 64\pi$ cm².

Raza, din arie

Aria unei sfere este $196\pi$ cm². Calculează raza.

Vezi rezolvarea

$4\pi r^2 = 196\pi$ deci $r^2 = 49$

$r = 7$ cm (raza este pozitivă).

Raza, din volum

Volumul unui corp sferic este $972\pi$ cm³. Calculează raza.

Vezi rezolvarea

$\dfrac{4\pi r^3}{3} = 972\pi$ deci $4r^3 = 2\,916$ și $r^3 = 729$

$r = 9$ cm, pentru că $9^3 = 729$

Compararea a două sfere

O sferă are raza $2$ cm, alta are raza $4$ cm. Compară ariile și volumele corpurilor sferice.

Vezi rezolvarea

Ariile: $4\pi\cdot4 = 16\pi$ cm² și $4\pi\cdot16 = 64\pi$ cm², raport $4$

Volumele: $\dfrac{4\pi\cdot8}{3} = \dfrac{32\pi}{3}$ cm³ și $\dfrac{4\pi\cdot64}{3} = \dfrac{256\pi}{3}$ cm³, raport $8$

Raza s-a dublat: aria crește de $2^2 = 4$ ori, volumul de $2^3 = 8$ ori.

Câtă piele pentru o minge

O minge are diametrul $24$ cm. Aproximativ câți centimetri pătrați de material acoperă suprafața ei? Folosește $\pi \approx 3{,}14$

Vezi rezolvarea

Raza: $12$ cm. Suprafața mingii este o sferă: $A = 4\pi\cdot144 = 576\pi$ cm².

Cu $\pi \approx 3{,}14$ $A \approx 1\,808{,}64$ cm².

Un corp sferic topit și turnat într-un cilindru

Un corp sferic de metal cu raza $3$ cm este topit, iar metalul este turnat într-o formă cilindrică cu raza $3$ cm. Ce înălțime are cilindrul obținut?

Vezi rezolvarea

Volumul se păstrează. Corpul sferic: $V = 36\pi$ cm³.

Cilindrul: $\pi\cdot9\cdot h = 36\pi$ deci $h = 4$ cm.

Raportul volumelor

Raza unui corp sferic este de $3$ ori mai mare decât raza altuia. De câte ori este mai mare volumul?

Vezi rezolvarea

Volumul depinde de $r^3$ $3^3 = 27$ Volumul este de $27$ ori mai mare.

Eroare: diametrul folosit drept rază

O sferă are diametrul $6$ cm. Un elev calculează $A = 4\pi\cdot6^2 = 144\pi$ cm². Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. În formulă intră raza, nu diametrul: $r = 3$ cm.

$A = 4\pi\cdot9 = 36\pi$ cm², de $4$ ori mai puțin decât rezultatul elevului.

Eroare: exponentul greșit la volum

Un elev calculează volumul unui corp sferic cu raza $4$ cm astfel: $V = \dfrac{4\pi\cdot4^2}{3} = \dfrac{64\pi}{3}$ cm³. Ce a greșit?

Vezi rezolvarea

La volum raza este la puterea a treia: $4^3 = 64$ nu $4^2 = 16$

$V = \dfrac{4\pi\cdot64}{3} = \dfrac{256\pi}{3}$ cm³.

Eroare: „volumul sferei” în cm²

Un elev scrie: „volumul sferei cu raza $1$ cm este $4\pi$ cm²”. Ce trebuie corectat?

Vezi rezolvarea

A folosit formula ariei. $4\pi\cdot1^2 = 4\pi$ cm² este aria sferei.

Volumul corpului sferic este $\dfrac{4\pi\cdot1^3}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ cm³, în unități cubice.

Greșeli frecvente

Sfera și corpul sferic sunt același lucru.
Sfera este suprafața (are arie); corpul sferic este corpul plin (are volum).
Dacă se dă diametrul, îl pun direct în formulă.
Formulele folosesc raza. Împarte întâi diametrul la $2$ $r = \dfrac{d}{2}$
Volumul corpului sferic este $4\pi r^2$
$4\pi r^2$ este aria sferei. Volumul este $\dfrac{4\pi r^3}{3}$
În volum, raza apare la puterea a doua.
Volumul are raza la puterea a treia: $V = \dfrac{4\pi r^3}{3}$
Volumul se scrie în cm².
Aria se scrie în unități pătrate (cm²), volumul în unități cubice (cm³).
Dacă raza se dublează, volumul se dublează.
Volumul crește de $2^3 = 8$ ori, iar aria de $2^2 = 4$ ori.

Exerciții

Ușor

Scrie formula ariei sferei de rază $r$
Arată răspunsul
Răspuns: $A = 4\pi r^2$
Scrie formula volumului corpului sferic de rază $r$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = \dfrac{4\pi r^3}{3}$
Calculează aria unei sfere cu raza $2$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $16\pi$ cm².
$4\pi\cdot4 = 16\pi$ cm².
Calculează volumul unui corp sferic cu raza $8$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2048\pi}{3}$ cm³.
$V=\dfrac{4\pi r^3}{3}=\dfrac{4\pi\cdot512}{3}=\dfrac{2048\pi}{3}$ cm³.
O sferă are diametrul $14$ cm. Care este raza?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm.
Calculează aria unei sfere cu raza $10$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $400\pi$ cm².
$4\pi\cdot100 = 400\pi$ cm².
Calculează volumul unui corp sferic cu raza $6$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $288\pi$ cm³.
$\dfrac{4\pi\cdot216}{3} = 288\pi$ cm³.
Care dintre cele două are volum: sfera sau corpul sferic?
Arată răspunsul
Răspuns: Corpul sferic. Sfera este o suprafață și are arie.
Raza unei sfere este măsurată în metri. În ce unitate se exprimă aria ei? Dar volumul corpului sferic?
Arată răspunsul
Răspuns: Aria în m², volumul în m³.

Mediu

O sferă are diametrul $12$ cm. Calculează aria sferei și volumul corpului sferic.
Arată răspunsul
Răspuns: $A = 144\pi$ cm², $V = 288\pi$ cm³.
$r = 6$ $A = 4\pi\cdot36 = 144\pi$ $V = \dfrac{4\pi\cdot216}{3} = 288\pi$
Aria unei sfere este $100\pi$ cm². Calculează raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm.
$4r^2 = 100$ $r^2 = 25$ $r = 5$ cm.
Aria unei sfere este $324\pi$ cm². Calculează volumul corpului sferic.
Arată răspunsul
Răspuns: $972\pi$ cm³.
$r^2 = 81$ $r = 9$ $V = \dfrac{4\pi\cdot729}{3} = 972\pi$ cm³.
Volumul unui corp sferic este $36\pi$ cm³. Calculează aria sferei.
Arată răspunsul
Răspuns: $36\pi$ cm².
$\dfrac{4r^3}{3} = 36$ $r^3 = 27$ $r = 3$ $A = 4\pi\cdot9 = 36\pi$ cm².
Volumul unui corp sferic este $288\pi$ cm³. Calculează raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
$4r^3 = 864$ $r^3 = 216$ $r = 6$ cm.
Calculează aria sferei și volumul corpului sferic cu raza $1{,}5$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $A = 9\pi$ cm², $V = 4{,}5\pi$ cm³.
$r^2 = 2{,}25$ $A = 4\pi\cdot2{,}25 = 9\pi$ $r^3 = 3{,}375$ $V = \dfrac{4\pi\cdot3{,}375}{3} = 4{,}5\pi$
O minge are diametrul $20$ cm. Aproximativ ce volum de aer conține? Folosește $\pi \approx 3{,}14$ și dă rezultatul în cm³, rotunjit la unități.
Arată răspunsul
Răspuns: Aproximativ $4\,187$ cm³ (circa $4{,}2$ litri).
$r = 10$ $V = \dfrac{4\pi\cdot1\,000}{3} = \dfrac{4\,000\pi}{3}$ cm³ $\approx \dfrac{12\,560}{3} \approx 4\,186{,}67$ cm³.
Un elev scrie volumul corpului sferic cu raza $7$ cm ca $\dfrac{196\pi}{3}$ cm³. Găsește greșeala și corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: A folosit $r^2$ în loc de $r^3$ Corect: $\dfrac{4\pi\cdot343}{3} = \dfrac{1372\pi}{3}$ cm³.
Un glob pământesc are raza $15$ cm. Aproximativ ce suprafață trebuie vopsită? Folosește $\pi \approx 3{,}14$
Arată răspunsul
Răspuns: Aproximativ $2\,826$ cm².
$A = 4\pi\cdot225 = 900\pi$ cm² $\approx 2\,826$ cm².
Două sfere au razele $2$ cm și $6$ cm. De câte ori este mai mare aria celei de-a doua? Dar volumul corpului sferic?
Arată răspunsul
Răspuns: Aria de $9$ ori, volumul de $27$ ori.
Raportul razelor este $3$ ariile se raportează ca $3^2 = 9$ volumele ca $3^3 = 27$
Arată că aria sferei de rază $r$ este egală cu aria laterală a unui cilindru cu raza $r$ și înălțimea $2r$
Arată răspunsul
Răspuns: $2\pi r\cdot2r = 4\pi r^2$ aceeași cu aria sferei.

Provocare

Aria unei sfere crește de $16$ ori. De câte ori crește raza? Dar volumul corpului sferic?
Arată răspunsul
Răspuns: Raza de $4$ ori, volumul de $64$ de ori.
Aria depinde de $r^2$ $k^2 = 16$ deci $k = 4$ Volumul depinde de $r^3$ $4^3 = 64$
Aria unei sfere este $576\pi$ cm². Calculează volumul corpului sferic.
Arată răspunsul
Răspuns: $2304\pi$ cm³.
$4r^2 = 576$ $r^2 = 144$ $r = 12$ $V = \dfrac{4\pi\cdot1728}{3} = 2304\pi$ cm³.
Opt bile de metal, fiecare cu raza $1$ cm, sunt topite și transformate într-o singură bilă. Ce rază are bila nouă?
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cm.
Volumul total: $8\cdot\dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{32\pi}{3}$ Din $\dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{32\pi}{3}$ $R^3 = 8$ $R = 2$ cm.
Pentru ce rază sunt egale numeric aria sferei și volumul corpului sferic? Sunt egale și mărimile?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru $r = 3$ Mărimile nu sunt egale: una se măsoară în unități pătrate, cealaltă în unități cubice.
$4\pi r^2 = \dfrac{4\pi r^3}{3}$ dă $r = 3$ (pentru $r > 0$
Un cilindru are raza $r$ și înălțimea $2r$ Ce fracțiune din volumul cilindrului reprezintă volumul corpului sferic de rază $r$ Verifică pentru $r = 3$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac23$ Pentru $r = 3$ $36\pi$ din $54\pi$ cm³.
$V_{cil} = \pi r^2\cdot2r = 2\pi r^3$ $\dfrac{4\pi r^3}{3} : 2\pi r^3 = \dfrac23$ Pentru $r = 3$ $54\pi$ și $36\pi$
Într-un vas cilindric cu raza $5$ cm se află apă. Se scufundă complet o bilă cu raza $3$ cm. Cu cât crește nivelul apei (apa nu se varsă)?
Arată răspunsul
Răspuns: Cu $1{,}44$ cm.
Volumul bilei: $36\pi$ cm³. Creșterea nivelului: $\dfrac{36\pi}{25\pi} = 1{,}44$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care este aria sferei de rază $r$
1. $\pi r^2$
2. $2\pi r^2$
3. $4\pi r^2$
4. $\dfrac{4\pi r^3}{3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $4\pi r^2$
$A = 4\pi r^2$ de patru ori aria unui cerc mare.
2. Un corp sferic are raza $30$ cm. Care este volumul lui?
1. $36000\pi$ cm³
2. $108000\pi$ cm³
3. $3600\pi$ cm³
4. $12000\pi$ cm³
Arată răspunsul
Răspuns: $36000\pi$ cm³
$V = \dfrac{4\pi r^3}{3} = \dfrac{4\pi\cdot27000}{3} = 36000\pi$ cm³. $3600\pi$ cm² ar fi aria sferei.
3. Care afirmație este corectă?
1. Sfera are volum, corpul sferic are arie
2. Sfera este o suprafață, corpul sferic este corpul plin
3. Sfera și corpul sferic sunt același lucru
4. Corpul sferic nu are centru
Arată răspunsul
Răspuns: Sfera este o suprafață, corpul sferic este corpul plin
Sfera este suprafața; corpul sferic cuprinde și interiorul ei.
4. Raza unui corp sferic se dublează. De câte ori crește volumul?
1. $2$
2. $4$
3. $6$
4. $8$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
Volumul depinde de $r^3$ $2^3 = 8$
5. Raza unei sfere este în cm. În ce unitate se exprimă volumul corpului sferic?
1. cm
2. cm²
3. cm³
4. cm⁴
Arată răspunsul
Răspuns: cm³
Volumul se exprimă în unități cubice.
6. Calculează aria unei sfere cu raza $11$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $484\pi$ cm².
$A = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot121 = 484\pi$ cm².
7. Un corp sferic are diametrul $36$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $7776\pi$ cm³.
Raza este $18$ cm: $V = \dfrac{4\pi\cdot18^3}{3} = \dfrac{4\pi\cdot5832}{3} = 7776\pi$ cm³.
8. Aria unei sfere este $36\pi$ cm². Calculează raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre sferă și corpul sferic?

Sfera este suprafața: toate punctele aflate la distanța $r$ de centru. Corpul sferic (bila) conține și punctele din interior. De aceea vorbim despre aria sferei și despre volumul corpului sferic.

Formulele folosesc raza sau diametrul?

Raza. Dacă problema dă diametrul $d$ calculezi întâi $r = \dfrac{d}{2}$

Cum îmi amintesc care formulă e pentru arie și care pentru volum?

Uită-te la exponent: aria are $r^2$ (două lungimi, unități pătrate), volumul are $r^3$ (trei lungimi, unități cubice).

Cum aflu raza dacă știu volumul?

Scrii $\dfrac{4\pi r^3}{3} = V$ simplifici cu $\pi$ afli $r^3$ și cauți numărul care ridicat la puterea a treia dă acel rezultat.

Las rezultatul cu

\pi

sau îl aproximez?

Rezultatul exact se scrie cu $\pi$ Aproximezi doar când problema cere, de obicei cu $\pi \approx 3{,}14$ și scrii că rezultatul este aproximativ.

Sfera: aria și volumul

Ce vei învăța

Ideea de bază

Sfera și corpul sferic

Aria sferei

Volumul corpului sferic

Exemple rezolvate

Aria unei sfere

Volumul unui corp sferic

Din diametru, volumul

Din diametru, aria

Raza, din arie

Raza, din volum

Compararea a două sfere

Câtă piele pentru o minge

Un corp sferic topit și turnat într-un cilindru

Raportul volumelor

Eroare: diametrul folosit drept rază

Eroare: exponentul greșit la volum

Eroare: „volumul sferei” în cm²

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a