Cum îmi aduc aminte formulele ₃, ₄, ₆?

Poți reconstrui oricare din triunghiul OAB cu unghiul la centru corespunzător: 60° (echilateral, = R), 90° (dreptunghic isoscel, Pitagora, = R√(2)), 120° (înălțimea din O, unghi de 30°, = R√(3)).

Poligoane regulate înscrise, lungimea cercului, aria discului

Q: De ce este latura hexagonului regulat înscris egală cu raza?

Pentru că unghiul la centru al hexagonului este 60°, iar triunghiul isoscel format de două raze și latură are vârful de 60°: e echilateral, deci latura este egală cu raza.

Q: De ce unghiul exterior al unui poligon regulat este egal cu unghiul la centru?

Unghiul interior este 180° - 360°/n, iar unghiul exterior îl completează până la 180°, deci este 360°/n, exact măsura unghiului la centru.

Q: Care este diferența dintre lungimea cercului și aria discului?

Lungimea cercului (L = 2π R) este o măsură liniară, „conturul”. Aria discului (A = π R²) este o măsură de suprafață, „interiorul”. Nu se pot compara direct, au unități diferite.

Q: π este exact 3,14?

Nu, 3,14 este doar o valoare aproximativă. π este un număr irațional, cu infinit de zecimale neperiodice. Rezultatele exacte se scriu cu π, iar cele aproximative folosesc π ≈ 3,14.

Ce vei învăța

Construiesc și recunosc triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat înscrise într-un cerc.
Calculez latura acestor poligoane regulate din raza cercului și, invers, raza din latură.
Calculez unghiul interior al unui poligon regulat cu $n$ laturi și, invers, aflu $n$ din unghiul interior sau exterior.
Descriu construcția cu rigla și compasul a hexagonului, a triunghiului echilateral și a pătratului înscrise într-un cerc.
Calculez perimetrul unui poligon regulat înscris.
Calculez lungimea unui cerc cu formula $L = 2\pi R$
Calculez aria unui disc și a unui sector de disc.

Recomandat înainte: Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Ideea de bază

Un poligon regulat înscris împarte cercul în arce egale, câte unul pentru fiecare latură. Cu $n$ laturi, fiecare unghi la centru are $\dfrac{360°}{n}$ iar triunghiul isoscel format de două raze și o latură îți dă lungimea laturii, dar și unghiul interior al poligonului, $180° - \dfrac{360°}{n}$

Lungimea cercului și aria discului sunt proporționale cu raza, prin numărul $\pi$ cu cât raza crește, cu atât cercul „cuprinde” mai mult contur și mai multă suprafață.

Poligoane regulate înscrise în cerc

Un poligon este regulat dacă are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Un poligon regulat cu $n$ laturi poate fi înscris într-un cerc: toate vârfurile lui sunt puncte ale cercului.

Unind centrul $O$ cu fiecare vârf obții $n$ triunghiuri isoscele congruente, cu vârful în $O$ Ele împart cercul în $n$ arce egale, deci și în $n$ unghiuri la centru egale, fiecare de măsură:

\angle \text{la centru} = \dfrac{360°}{n}

Hexagonul regulat

ABCDEF

înscris în cerc: cele

6

laturi sunt egale, iar unghiul la centru corespunzător fiecărei laturi este

\dfrac{360°}{6} = 60°

Ce face un poligon regulat: laturi egale ȘI unghiuri egale. Un romb, de exemplu, are laturile egale, dar (în general) nu și unghiurile, deci nu este regulat.

Hexagonul regulat înscris

Pentru hexagon, $n = 6$ deci unghiul la centru este $\dfrac{360°}{6} = 60°$ Triunghiul $OAB$ cu $OA = OB = R$ (raze) și unghiul din $O$ de $60°$ este isoscel cu vârful de $60°$ deci celelalte două unghiuri sunt $\dfrac{180° - 60°}{2} = 60°$ fiecare. Toate cele trei unghiuri sunt $60°$ triunghiul $OAB$ este echilateral.

Unghiul la centru de

60°

face din

OAB

un triunghi echilateral, deci latura

\ell_6 = OA = R

\ell_6 = R

Latura hexagonului regulat înscris este egală cu raza cercului.

Pătratul înscris

Pentru pătrat, $n = 4$ deci unghiul la centru este $\dfrac{360°}{4} = 90°$ Triunghiul $OAB$ este dreptunghic isoscel, cu catetele $OA = OB = R$ Latura pătratului este ipotenuza acestui triunghi, aflată cu teorema lui Pitagora.

Unghiul la centru de

90°

triunghiul

OAB

este dreptunghic isoscel, cu catetele

R

\ell_4^2 = OA^2 + OB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2

\ell_4 = R\sqrt{2}

Diagonala pătratului înscris trece prin centru: este chiar un diametru al cercului, $d = 2R$

Triunghiul echilateral înscris

Pentru triunghiul echilateral, $n = 3$ deci unghiul la centru este $\dfrac{360°}{3} = 120°$ Triunghiul $OAB$ este isoscel cu $OA = OB = R$ și unghiul din $O$ de $120°$ deci unghiurile de la bază sunt $\dfrac{180° - 120°}{2} = 30°$ fiecare.

Unghiul la centru de

120°

triunghiul

OAB

este isoscel, cu unghiurile de la bază de

30°

Duci înălțimea din $O$ pe $AB$ cu piciorul $M$ (mijlocul lui $AB$ fiindcă triunghiul este isoscel). În triunghiul dreptunghic $OMA$ unghiul din $A$ este $30°$ deci cateta opusă lui, $OM$ este jumătate din ipotenuza $OA = R$

OM = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{R}{2}

cateta opusă unghiului de

30°

AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{3R^2}{4}} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}

teorema lui Pitagora

\ell_3 = AB = 2 \cdot AM = R\sqrt{3}

M

este mijlocul lui

AB

\ell_3 = R\sqrt{3}

Laturile poligoanelor regulate înscrise, funcție de raza $R$
Poligon	$n$	Unghi la centru	Latura
triunghi echilateral	$3$	$120°$	$\ell_3 = R\sqrt{3}$
pătrat	$4$	$90°$	$\ell_4 = R\sqrt{2}$
hexagon regulat	$6$	$60°$	$\ell_6 = R$

Unghiul interior al poligonului regulat

Unghiul interior al unui poligon este unghiul format de două laturi consecutive, de exemplu $\angle ABC$ Îl afli din același triunghi isoscel $OAB$ ca mai sus. Unghiul din $O$ este $\dfrac{360°}{n}$ deci fiecare unghi de la bază are $\dfrac{180° - \frac{360°}{n}}{2}$

Pentagonul regulat

ABCDE

(aici doar ca ilustrare):

\angle AOB = 360° : 5 = 72°

iar unghiurile de la baza

B

sunt

\angle ABO = \angle OBC = (180° - 72°) : 2 = 54°

Raza $OB$ împarte unghiul interior $\angle ABC$ în două unghiuri de la baza $B$ egale între ele (triunghiurile $OAB$ și $OBC$ sunt congruente). Prin urmare, unghiul interior este dublul unui unghi de la bază:

\angle ABC = 2 \cdot \dfrac{180° - \frac{360°}{n}}{2}

\angle \text{interior} = 180° - \dfrac{360°}{n}

Unghiul exterior este cel care completează unghiul interior până la $180°$ deci este $180° - \left(180° - \dfrac{360°}{n}\right) = \dfrac{360°}{n}$ Într-un poligon regulat, unghiul exterior este egal cu unghiul la centru.

Unghiurile unui poligon regulat cu $n$ laturi
Poligon	$n$	Unghi la centru = unghi exterior	Unghi interior
triunghi echilateral	$3$	$120°$	$180° - 120° = 60°$
pătrat	$4$	$90°$	$180° - 90° = 90°$
pentagon regulat	$5$	$72°$	$180° - 72° = 108°$
hexagon regulat	$6$	$60°$	$180° - 60° = 120°$

Aceeași valoare se scrie și $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ pentru că $180° - \dfrac{360°}{n} = \dfrac{180° \cdot n - 360°}{n}$ Folosește forma care ți se pare mai comodă.

Nu confunda unghiul interior cu unghiul la centru. La hexagon, unghiul la centru este $60°$ dar unghiul interior este $120°$ Împreună cu unghiul exterior, unghiul interior face $180°$

Din unghiul exterior poți afla și numărul de laturi: dacă un poligon regulat are unghiul exterior $e$ atunci $n = \dfrac{360°}{e}$

Construcția poligoanelor regulate înscrise

Ideea construcției vine direct din ce ai aflat: vârfurile unui poligon regulat înscris împart cercul în $n$ arce egale, deci razele spre vârfuri formează unghiuri la centru egale. Construiești vârfurile, apoi unești vârfurile consecutive. Cu rigla și compasul se construiesc ușor trei poligoane regulate înscrise.

Hexagonul: desenezi cercul de centru $O$ și raza $R$ apoi alegi un punct $A$ pe cerc.
Păstrezi compasul deschis cât raza $R$ pui vârful în $A$ și trasezi un arc care taie cercul în $B$ Din $B$ obții $C$ și tot așa până revii în $A$
Unești vârfurile consecutive $A, B, C, D, E, F$ și obții hexagonul regulat.

Construcția hexagonului: cu deschiderea compasului egală cu

R

obții pe cerc, din aproape în aproape, cele șase vârfuri. Latura

AB = R

la fel ca

OA

Ai întâlnit deja motivul: triunghiul $OAB$ este echilateral, deci $AB = OA = R$ iar cele șase vârfuri se așază la câte $60°$ unul după altul.

Triunghiul echilateral: construiești hexagonul $ABCDEF$ și unești vârfurile din două în două, $A$ $C$ $E$ Cele trei coarde $AC$ $CE$ $EA$ sunt egale, fiindcă fiecare corespunde unui unghi la centru de $120°$

Triunghiul echilateral

ACE

din vârfurile hexagonului, luate din două în două: fiecare latură a lui subîntinde un unghi la centru de

2 \cdot 60° = 120°

Pătratul se construiește altfel: cu două diametre perpendiculare, ca în Exemplul 9. Orice alt poligon regulat cere o construcție diferită, neprevăzută în această lecție. Deschiderea compasului egală cu raza dă doar hexagonul, nu orice poligon regulat.

Perimetrul unui poligon regulat înscris

Perimetrul unui poligon regulat cu $n$ laturi, fiecare de lungime $\ell$ este $P = n \cdot \ell$

R = 4\text{ cm}

\ell_6 = R = 4\text{ cm} \Rightarrow P_6 = 6 \cdot 4\text{ cm} = 24\text{ cm}

\ell_4 = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \Rightarrow P_4 = 4 \cdot 4\sqrt{2}\text{ cm} = 16\sqrt{2}\text{ cm}

\ell_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \Rightarrow P_3 = 3 \cdot 4\sqrt{3}\text{ cm} = 12\sqrt{3}\text{ cm}

Lungimea cercului

Cu cât un poligon regulat înscris are mai multe laturi, cu atât perimetrul lui se apropie mai mult de „lungimea” cercului, adică de conturul complet. Această lungime se numește lungimea cercului (sau circumferința) și se calculează cu formula:

L = 2\pi R = \pi d

Cerc și disc

Cercul este curba, adică conturul: are lungime. Discul este suprafața mărginită de cerc: are arie. De aceea vorbim despre lungimea cercului și despre aria discului.

$\pi$ (pi) este un număr irațional, aproximativ $3{,}14$ Rezultatul exact se scrie cu $\pi$ forma aproximativă se obține înlocuind $\pi \approx 3{,}14$

R = 5\text{ cm}

L = 2\pi \cdot 5\text{ cm} = 10\pi\text{ cm}

formă exactă

L \approx 10 \cdot 3{,}14\text{ cm} = 31{,}4\text{ cm}

formă aproximativă

Pentru $R = 5\text{ cm}$ perimetrul hexagonului înscris este $P_6 = 6 \cdot 5\text{ cm} = 30\text{ cm}$ puțin mai mic decât lungimea cercului, $10\pi\text{ cm} \approx 31{,}4\text{ cm}$ Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât perimetrul lui se apropie mai mult de lungimea cercului.

Aria discului

Aria discului de rază $R$ (suprafața mărginită de cerc) se calculează cu formula:

A = \pi R^2

R = 6\text{ cm}

A = \pi \cdot 6^2\text{ cm}^2 = 36\pi\text{ cm}^2

formă exactă

A \approx 36 \cdot 3{,}14\text{ cm}^2 = 113{,}04\text{ cm}^2

formă aproximativă

Sectorul de disc

Un sector de disc este porțiunea din disc cuprinsă între două raze și arcul dintre ele, ca o „felie” din disc. Dacă unghiul la centru al sectorului este $n°$ sectorul reprezintă fracțiunea $\dfrac{n°}{360°}$ din tot discul, deci aria lui este aceeași fracțiune din aria discului.

A_{\text{sector}} = \dfrac{n°}{360°} \cdot \pi R^2

Sectorul de disc

AOB

delimitat de razele

OA

OB

și de arcul

\overset{\frown}{AB}

Raportul dintre unghiul la centru al sectorului și

360°

dă fracțiunea din disc pe care o ocupă (aici, un sfert de disc,

90°

din

360°

R = 6\text{ cm},\ n = 90°

A_{\text{sector}} = \dfrac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2\text{ cm}^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 36\pi\text{ cm}^2 = 9\pi\text{ cm}^2 \approx 28{,}26\text{ cm}^2

Exemple rezolvate

Exemplul 1: latura hexagonului din rază

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 7\text{ cm}$ Află latura hexagonului.

Vezi rezolvarea

\ell_6 = R = 7\text{ cm}

Exemplul 2: raza din latura hexagonului

Un hexagon regulat înscris are latura $9\text{ cm}$ Află raza cercului.

Vezi rezolvarea

R = \ell_6 = 9\text{ cm}

Exemplul 3: latura pătratului din rază

Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R = 5\text{ cm}$ Află latura pătratului.

Vezi rezolvarea

\ell_4 = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}

Exemplul 4: raza din latura pătratului (raționalizare)

Un pătrat înscris are latura $8\text{ cm}$ Află raza cercului.

Vezi rezolvarea

\ell_4 = R\sqrt{2} \Rightarrow R = \dfrac{\ell_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}}

R = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}

raționalizarea numitorului

Exemplul 5: latura triunghiului echilateral din rază

Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R = 4\text{ cm}$ Află latura triunghiului.

Vezi rezolvarea

\ell_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}

Exemplul 6: raza din latura triunghiului echilateral

Un triunghi echilateral înscris are latura $9\text{ cm}$ Află raza cercului.

Vezi rezolvarea

R = \dfrac{\ell_3}{\sqrt{3}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}}

R = \dfrac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\text{ cm}

Exemplul 7: unghiul interior din numărul de laturi

Calculează unghiul la centru și unghiul interior al unui octogon regulat $n = 8$

Vezi rezolvarea

\angle \text{la centru} = \dfrac{360°}{8} = 45°

\angle \text{interior} = 180° - 45° = 135°

Verificare cu cealaltă formă: $\dfrac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \dfrac{1080°}{8} = 135°$

Exemplul 8: numărul de laturi din unghiul interior

Un poligon regulat are unghiul interior de $150°$ Câte laturi are?

Vezi rezolvarea

\angle \text{exterior} = 180° - 150° = 30°

n = \dfrac{360°}{30°} = 12

Poligonul are $12$ laturi. Verificare: unghiul la centru este $\dfrac{360°}{12} = 30°$ iar $180° - 30° = 150°$

Exemplul 9: construcția pătratului înscris

Construiește un pătrat înscris într-un cerc cu raza de $2{,}5\text{ cm}$ și precizează cât este fiecare unghi la centru.

Vezi rezolvarea

Desenezi cercul de centru $O$ și rază $2{,}5\text{ cm}$
Trasezi un diametru $AC$ prin centrul $O$
Trasezi al doilea diametru $BD$ perpendicular pe $AC$ în $O$ (cu echerul sau cu compasul).
Unești vârfurile consecutive $A$ $B$ $C$ $D$

Diametrele perpendiculare

AC

și

BD

taie cercul în vârfurile pătratului

ABCD

Cele patru unghiuri la centru sunt egale, fiecare de $\dfrac{360°}{4} = 90°$ deci pătratul are laturile egale, iar unghiurile lui sunt de $90°$

Exemplul 10: perimetrul hexagonului înscris

Hexagonul regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 6\text{ cm}$ Află perimetrul lui.

Vezi rezolvarea

P_6 = 6 \cdot \ell_6 = 6 \cdot 6\text{ cm} = 36\text{ cm}

Exemplul 11: perimetrul pătratului înscris

Pătratul este înscris într-un cerc de rază $R = 3\text{ cm}$ Află perimetrul lui, în formă exactă.

Vezi rezolvarea

\ell_4 = 3\sqrt{2}\text{ cm}

P_4 = 4 \cdot 3\sqrt{2}\text{ cm} = 12\sqrt{2}\text{ cm}

Exemplul 12: lungimea cercului din rază

Un cerc are raza $R = 9\text{ cm}$ Află lungimea lui, în formă exactă și aproximativă $\pi \approx 3{,}14$

Vezi rezolvarea

L = 2\pi R = 2\pi \cdot 9\text{ cm} = 18\pi\text{ cm}

L \approx 18 \cdot 3{,}14\text{ cm} = 56{,}52\text{ cm}

Exemplul 13: raza din lungimea cercului

Lungimea unui cerc este $L = 22\pi\text{ cm}$ Află raza.

Vezi rezolvarea

R = \dfrac{L}{2\pi} = \dfrac{22\pi}{2\pi}\text{ cm} = 11\text{ cm}

Exemplul 14: aria discului din rază

Un disc are raza $R = 10\text{ cm}$ Află aria lui, în formă exactă și aproximativă.

Vezi rezolvarea

A = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2\text{ cm}^2 = 100\pi\text{ cm}^2

A \approx 100 \cdot 3{,}14\text{ cm}^2 = 314\text{ cm}^2

Exemplul 15: raza din aria discului

Aria unui disc este $A = 49\pi\text{ cm}^2$ Află raza lui.

Vezi rezolvarea

R^2 = \dfrac{A}{\pi} = \dfrac{49\pi}{\pi} = 49

R = \sqrt{49}\text{ cm} = 7\text{ cm}

Exemplul 16: aria unui sector de disc

Un sector de disc are unghiul la centru $60°$ dintr-un disc de rază $R = 12\text{ cm}$ Află aria sectorului.

Vezi rezolvarea

A_{\text{sector}} = \dfrac{60°}{360°} \cdot \pi R^2 = \dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot 12^2\text{ cm}^2

A_{\text{sector}} = \dfrac{144\pi}{6}\text{ cm}^2 = 24\pi\text{ cm}^2 \approx 75{,}36\text{ cm}^2

Exemplul 17: unghiul unui sector din aria lui

Un sector dintr-un disc de rază $R = 6\text{ cm}$ (aria discului $36\pi\text{ cm}^2$ are aria $9\pi\text{ cm}^2$ Află unghiul lui la centru.

Vezi rezolvarea

\dfrac{n°}{360°} = \dfrac{A_{\text{sector}}}{A_{\text{disc}}} = \dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}

n° = \dfrac{360°}{4} = 90°

Exemplul 18: comparație poligon–cerc

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 5\text{ cm}$ Compară perimetrul hexagonului cu lungimea cercului $\pi \approx 3{,}14$

Vezi rezolvarea

P_6 = 6 \cdot R = 6 \cdot 5\text{ cm} = 30\text{ cm}

L = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5\text{ cm} = 31{,}4\text{ cm}

Așadar $P_6 = 30\text{ cm}$ este mai mic decât $L \approx 31{,}4\text{ cm}$ pentru că laturile poligonului „taie” din arce, fiind coarde, nu chiar arcul.

Greșeli frecvente

Orice poligon cu laturile egale este regulat.
Poligonul regulat are ȘI laturile, ȘI unghiurile egale. Un romb are laturile egale, dar unghiurile diferite (în general), deci nu este regulat.
Latura hexagonului regulat înscris se calculează cu o formulă complicată.
Latura hexagonului este chiar egală cu raza cercului, $\ell_6 = R$ pentru că triunghiul format de două raze consecutive este echilateral.
Unghiul interior al poligonului regulat este egal cu unghiul la centru, $\dfrac{360°}{n}$
$\dfrac{360°}{n}$ este unghiul la centru (și unghiul exterior). Unghiul interior este $180° - \dfrac{360°}{n}$ la hexagon, $60°$ la centru, dar $120°$ interior.
Cu compasul deschis cât raza obțin orice poligon regulat înscris.
Deschiderea compasului egală cu raza dă laturi egale cu raza, adică exact hexagonul regulat. Pătratul și triunghiul echilateral se obțin altfel: din diametre perpendiculare, respectiv din vârfurile hexagonului luate din două în două.
Confund latura pătratului înscris cu diagonala lui.
Diagonala pătratului înscris este diametrul cercului, $d = 2R$ Latura este $\ell_4 = R\sqrt{2}$ mai mică decât diagonala.
$\ell_3 = R\sqrt{3}$ înseamnă că latura triunghiului este mai mică decât raza.
$\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$ deci $\ell_3 = R\sqrt{3}$ este mai mare decât $R$ nu mai mică.
Lungimea cercului se calculează cu $\pi R^2$
$\pi R^2$ este aria discului. Lungimea cercului este $L = 2\pi R$ (sau $\pi d$
Perimetrul poligonului regulat înscris este egal cu lungimea cercului.
Perimetrul poligonului este mereu mai mic decât lungimea cercului, pentru că laturile sunt coarde, mai scurte decât arcele corespunzătoare. Se apropie de lungimea cercului doar când $n$ este foarte mare.
Aria unui sector de $90°$ se obține luând un sfert din lungimea cercului.
Fracțiunea $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$ se aplică ariei discului, $\pi R^2$ nu lungimii cercului. Aria se măsoară în cm $^2$ lungimea în cm: sunt mărimi diferite.

Exerciții

Ușor

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $8\text{ cm}$ Cât este latura hexagonului?
Arată răspunsul
Răspuns: $8\text{ cm}$
$\ell_6 = R$
Un hexagon regulat înscris are latura $6{,}5\text{ cm}$ Cât este raza cercului?
Arată răspunsul
Răspuns: $6{,}5\text{ cm}$
$R = \ell_6$
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R=4\text{ cm}$ Cât este latura pătratului?
Arată răspunsul
Răspuns: $4\sqrt2\text{ cm}$
$\ell_4=R\sqrt2=4\sqrt2$ cm.
Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R = 2\text{ cm}$ Cât este latura triunghiului?
Arată răspunsul
Răspuns: $2\sqrt{3}\text{ cm}$
$\ell_3 = R\sqrt{3}$
Cât este unghiul la centru corespunzător unei laturi a unui pătrat înscris?
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
$360° : 4 = 90°$
Cât este unghiul la centru corespunzător unei laturi a unui triunghi echilateral înscris?
Arată răspunsul
Răspuns: $120°$
$360° : 3 = 120°$
Cât este unghiul interior al unui poligon regulat cu $n = 9$ laturi?
Arată răspunsul
Răspuns: $140°$
Unghiul la centru este $360° : 9 = 40°$ deci unghiul interior este $180° - 40° = 140°$
Cât este unghiul la centru al unui poligon regulat cu $10$ laturi?
Arată răspunsul
Răspuns: $36°$
$360° : 10 = 36°$
Într-un hexagon regulat $ABCDEF$ înscris în cercul de centru $O$ cât sunt $\angle AOB$ și $\angle ABC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOB = 60°$ $\angle ABC = 120°$
$\angle AOB = 360° : 6 = 60°$ iar $\angle ABC = 180° - 60° = 120°$
Un poligon regulat are unghiul exterior de $45°$ Câte laturi are?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ laturi
$n = 360° : 45° = 8$
Un elev a scris „unghiul interior al unui poligon regulat cu $n$ laturi este $\dfrac{360°}{n}$ Corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{360°}{n}$ este unghiul la centru; unghiul interior este $180° - \dfrac{360°}{n}$
De exemplu, pentru $n = 4$ formula elevului dă $90°$ (corect doar întâmplător), dar pentru $n = 6$ dă $60°$ iar unghiul interior al hexagonului este $120°$
Un cerc are raza $R = 4\text{ cm}$ Scrie lungimea cercului în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $8\pi\text{ cm}$
$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}$
Un cerc are diametrul $d = 14\text{ cm}$ Scrie lungimea cercului în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $14\pi\text{ cm}$
$L = \pi d = 14\pi\text{ cm}$
Un disc are raza $R = 3\text{ cm}$ Scrie aria lui în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $9\pi\text{ cm}^2$
$A = \pi R^2 = 9\pi\text{ cm}^2$
Adevărat sau fals? „Perimetrul unui poligon regulat înscris este mai mare decât lungimea cercului.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Este mai mic, pentru că laturile sunt coarde, mai scurte decât arcele.

Mediu

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 11\text{ cm}$ Află perimetrul hexagonului.
Arată răspunsul
Răspuns: $66\text{ cm}$
Latura hexagonului regulat înscris este egală cu raza: $\ell_6 = 11\text{ cm}$ deci $P_6 = 6 \cdot 11\text{ cm} = 66\text{ cm}$
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R = 6\text{ cm}$ Află perimetrul pătratului, în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $24\sqrt{2}\text{ cm}$
$\ell_4 = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ $P_4 = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\text{ cm}$
Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R = 5\text{ cm}$ Află perimetrul triunghiului, în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $15\sqrt{3}\text{ cm}$
$\ell_3 = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ $P_3 = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\text{ cm}$
Un pătrat înscris are latura $10\text{ cm}$ Află raza cercului circumscris (raționalizează numitorul).
Arată răspunsul
Răspuns: $5\sqrt{2}\text{ cm}$
$R = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}$
Un triunghi echilateral înscris are latura $12\text{ cm}$ Află raza cercului circumscris.
Arată răspunsul
Răspuns: $4\sqrt{3}\text{ cm}$
$R = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$
Un cerc are raza $R = 20\text{ cm}$ Află lungimea lui aproximativă, cu $\pi \approx 3{,}14$
Arată răspunsul
Răspuns: $125{,}6\text{ cm}$
$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 20 = 125{,}6\text{ cm}$
Lungimea unui cerc este $L = 62{,}8\text{ cm}$ $\pi \approx 3{,}14$ Află raza aproximativă.
Arată răspunsul
Răspuns: $10\text{ cm}$
$R = \dfrac{62{,}8}{2 \cdot 3{,}14} = \dfrac{62{,}8}{6{,}28} = 10\text{ cm}$
Un disc are raza $R = 8\text{ cm}$ Află aria lui aproximativă, cu $\pi \approx 3{,}14$
Arată răspunsul
Răspuns: $200{,}96\text{ cm}^2$
$A = 3{,}14 \cdot 64 = 200{,}96\text{ cm}^2$
Aria unui disc este $A = 25\pi\text{ cm}^2$ Află raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $5\text{ cm}$
$R^2 = 25$ $R = 5\text{ cm}$
Un sector de disc are unghiul la centru $45°$ într-un disc de rază $R = 8\text{ cm}$ Află aria sectorului, în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $8\pi\text{ cm}^2$
$A_{\text{sector}} = \dfrac{45°}{360°} \cdot \pi \cdot 64 = \dfrac{1}{8} \cdot 64\pi = 8\pi\text{ cm}^2$
Un sector are aria $A_{\text{sector}} = 15\pi\text{ cm}^2$ dintr-un disc cu aria $A = 40\pi\text{ cm}^2$ Află unghiul lui la centru.
Arată răspunsul
Răspuns: $135°$
$\dfrac{n°}{360°} = \dfrac{15\pi}{40\pi} = \dfrac{3}{8}$ $n° = \dfrac{3}{8} \cdot 360° = 135°$
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R = 6\text{ cm}$ (latura lui este $\ell_4 = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ Compară perimetrul pătratului cu lungimea cercului $\pi \approx 3{,}14$ Care este mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: Lungimea cercului $37{,}68\text{ cm}$ este mai mare decât perimetrul pătratului $24\sqrt{2}\text{ cm} \approx 33{,}94\text{ cm}$
$P_4 = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \approx 33{,}94\text{ cm}$ $L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 37{,}68\text{ cm}$
Un poligon regulat are unghiul interior de $156°$ Câte laturi are?
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ laturi
Unghiul exterior este $180° - 156° = 24°$ deci $n = 360° : 24° = 15$
Un poligon regulat are unghiul la centru de $18°$ Câte laturi are și cât este unghiul lui interior?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ de laturi; unghiul interior este $162°$
$n = 360° : 18° = 20$ iar unghiul interior este $180° - 18° = 162°$
Poate exista un poligon regulat cu unghiul interior de $100°$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Unghiul exterior ar fi $80°$ iar $n = 360° : 80° = 4{,}5$ care nu este număr natural.
Descrie, în pași, cum construiești un hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza de $4\text{ cm}$ folosind compasul. Cât este latura hexagonului?
Arată răspunsul
Răspuns: Compasul se deschide la $4\text{ cm}$ din $A$ se marchează pe cerc, din aproape în aproape, $B, C, D, E, F$ apoi se unesc consecutiv. Latura este $4\text{ cm}$
Deschiderea compasului egală cu raza dă laturi egale cu raza, deoarece $\ell_6 = R$
Descrie cum obții un triunghi echilateral înscris într-un cerc cu raza de $6\text{ cm}$ pornind de la hexagonul regulat. Cât este latura triunghiului?
Arată răspunsul
Răspuns: Se construiește hexagonul $ABCDEF$ și se unesc vârfurile $A$ $C$ $E$ Latura triunghiului este $6\sqrt{3}\text{ cm}$
Vârfurile luate din două în două subîntind unghiuri la centru de $120°$ deci $\ell_3 = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$
Un pătrat este înscris într-un cerc construit cu două diametre perpendiculare, de lungime $12\text{ cm}$ fiecare. Cât este latura pătratului, în formă exactă?
Arată răspunsul
Răspuns: $6\sqrt{2}\text{ cm}$
$R = 12 : 2 = 6\text{ cm}$ deci $\ell_4 = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$

Provocare

Un hexagon regulat înscris are perimetrul $42\text{ cm}$ Află lungimea cercului circumscris, în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $14\pi\text{ cm}$
$\ell_6 = R = 42 : 6 = 7\text{ cm}$ deci $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi\text{ cm}$
Aria unui disc este egală numeric cu lungimea cercului (adică $\pi R^2 = 2\pi R$ ca numere, fără unități). Află raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $R = 2$
$\pi R^2 = 2\pi R \Rightarrow R^2 = 2R \Rightarrow R(R-2) = 0$ iar $R \ne 0$ deci $R = 2$
Un triunghi echilateral și un hexagon regulat sunt înscrise în același cerc de rază $R = 6\text{ cm}$ Cu cât este mai mare perimetrul hexagonului decât cel al triunghiului?
Arată răspunsul
Răspuns: Cu $36 - 18\sqrt{3} \approx 4{,}8\text{ cm}$
$P_6 = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}$ $P_3 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31{,}2\text{ cm}$ diferența $\approx 4{,}8\text{ cm}$
Un pătrat este înscris într-un cerc, iar diagonala pătratului este $10\text{ cm}$ Află perimetrul pătratului, în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $20\sqrt{2}\text{ cm}$
Diagonala este diametrul, $d = 10\text{ cm}$ deci $R = 5\text{ cm}$ și $\ell_4 = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ $P_4 = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\text{ cm}$
Un sector de disc cu unghiul la centru $n°$ are aria egală cu un sfert din aria discului. Care este $n°$ Dacă $R = 10\text{ cm}$ care este aria sectorului, în formă exactă?
Arată răspunsul
Răspuns: $n° = 90°$ aria sectorului $25\pi\text{ cm}^2$
$\dfrac{n°}{360°} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow n° = 90°$ $A_{\text{sector}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 100 = 25\pi\text{ cm}^2$
Raza unui cerc se dublează. De câte ori se mărește lungimea cercului? Dar aria discului?
Arată răspunsul
Răspuns: Lungimea se dublează; aria se înmulțește cu $4$
$L = 2\pi R$ dublând $R$ $L$ se dublează (proporțională cu $R$ $A = \pi R^2$ dublând $R$ $A$ se înmulțește cu $2^2 = 4$ (proporțională cu $R^2$
Într-un poligon regulat, unghiul interior este de $4$ ori mai mare decât unghiul la centru. Află numărul de laturi.
Arată răspunsul
Răspuns: $n = 10$
Cu $x$ = unghiul la centru, unghiul interior este $180° - x$ Din $180° - x = 4x$ obții $x = 36°$ deci $n = 360° : 36° = 10$
Într-un poligon regulat $A_1A_2\ldots A_n$ înscris în cercul de centru $O$ unghiul interior este cu $140°$ mai mare decât unghiul exterior. Află $n$ și $\angle OA_1A_2$
Arată răspunsul
Răspuns: $n = 18$ $\angle OA_1A_2 = 80°$
Cu $x$ = unghiul exterior, $180° - x = x + 140°$ deci $x = 20°$ și $n = 360° : 20° = 18$ Unghiul interior este $160°$ iar $OA_1$ îl împarte în două unghiuri egale: $\angle OA_1A_2 = 160° : 2 = 80°$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Un poligon este regulat dacă:
1. are toate laturile egale
2. are toate unghiurile egale
3. are toate laturile și toate unghiurile egale
4. este înscris într-un cerc
Arată răspunsul
Răspuns: are toate laturile și toate unghiurile egale
Trebuie ambele condiții deodată.
2. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R = 10\text{ cm}$ Cât este latura lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $10\text{ cm}$
$\ell_6 = R$
3. Latura unui pătrat înscris într-un cerc de rază $R$ este:
1. $R$
2. $R\sqrt{2}$
3. $R\sqrt{3}$
4. $2R$
Arată răspunsul
Răspuns: $R\sqrt{2}$
Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel $OAB$
4. Latura unui triunghi echilateral înscris într-un cerc de rază $R$ este:
1. $R$
2. $R\sqrt{2}$
3. $R\sqrt{3}$
4. $2R$
Arată răspunsul
Răspuns: $R\sqrt{3}$
Din triunghiul dreptunghic cu unghiul de $30°$ obținut prin înălțimea din $O$
5. Unghiul interior al unui poligon regulat cu $n = 5$ laturi este:
1. $72°$
2. $120°$
3. $128°$
4. $108°$
Arată răspunsul
Răspuns: $108°$
Unghiul la centru este $360° : 5 = 72°$ iar unghiul interior este $180° - 72° = 108°$
6. Care este construcția corectă a pătratului înscris într-un cerc?
1. două diametre perpendiculare, apoi se unesc capetele consecutive
2. un arc de compas cu raza cercului, repetat din vârf în vârf
3. două diametre oarecare, apoi se unesc capetele
4. se unesc vârfurile hexagonului din două în două
Arată răspunsul
Răspuns: două diametre perpendiculare, apoi se unesc capetele consecutive
Diametrele perpendiculare dau patru unghiuri la centru de $90°$ Arcele cu raza cercului dau hexagonul, iar vârfurile hexagonului din două în două dau triunghiul echilateral.
7. Un poligon regulat are unghiul exterior de $72°$ Câte laturi are?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$n = 360° : 72° = 5$ (pentagonul regulat).
8. Un cerc are raza $R = 13\text{ cm}$ Scrie lungimea lui în formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $26\pi\text{ cm}$
$L = 2\pi R = 2\pi\cdot13 = 26\pi\text{ cm}$
9. Formula ariei discului este:
1. $A = \pi R^2$
2. $A = 2\pi R$
3. $A = \pi d$
4. $A = 4\pi R$
Arată răspunsul
Răspuns: $A = \pi R^2$
$A = \pi R^2$ $2\pi R$ și $\pi d$ sunt formule pentru lungimea cercului.
10. Aria unui disc este $A = 196\pi\text{ cm}^2$ Cât este raza?
Arată răspunsul
Răspuns: $14\text{ cm}$
$\pi R^2 = 196\pi$ deci $R^2 = 196$ și $R = 14\text{ cm}$
11. Un sector de disc cu unghiul la centru $180°$ reprezintă din disc:
1. un sfert
2. o treime
3. o jumătate
4. tot discul
Arată răspunsul
Răspuns: o jumătate
$\dfrac{180°}{360°} = \dfrac{1}{2}$
12. Într-un cerc fix, treci de la hexagonul regulat înscris la poligonul regulat înscris cu $12$ laturi. Perimetrul:
1. scade
2. rămâne același
3. crește, dar rămâne mai mic decât lungimea cercului
4. devine mai mare decât lungimea cercului
Arată răspunsul
Răspuns: crește, dar rămâne mai mic decât lungimea cercului
Cu mai multe laturi, poligonul se apropie de cerc și perimetrul crește. Laturile rămân însă coarde, mai scurte decât arcele, deci perimetrul rămâne mai mic decât lungimea cercului.

Întrebări frecvente

De ce este latura hexagonului regulat înscris egală cu raza?

Pentru că unghiul la centru al hexagonului este $60°$ iar triunghiul isoscel format de două raze și latură are vârful de $60°$ e echilateral, deci latura este egală cu raza.

De ce unghiul exterior al unui poligon regulat este egal cu unghiul la centru?

Unghiul interior este $180° - \dfrac{360°}{n}$ iar unghiul exterior îl completează până la $180°$ deci este $\dfrac{360°}{n}$ exact măsura unghiului la centru.

Cum îmi aduc aminte formulele

\ell_3

\ell_4

\ell_6

Poți reconstrui oricare din triunghiul $OAB$ cu unghiul la centru corespunzător: $60°$ (echilateral, $\ell = R$ $90°$ (dreptunghic isoscel, Pitagora, $\ell = R\sqrt{2}$ $120°$ (înălțimea din $O$ unghi de $30°$ $\ell = R\sqrt{3}$

Care este diferența dintre lungimea cercului și aria discului?

Lungimea cercului $L = 2\pi R$ este o măsură liniară, „conturul”. Aria discului $A = \pi R^2$ este o măsură de suprafață, „interiorul”. Nu se pot compara direct, au unități diferite.

De ce perimetrul poligonului înscris este mai mic decât lungimea cercului?

Fiecare latură este o coardă, care „scurtcircuitează” arcul corespunzător (drumul cel mai scurt între două puncte este segmentul, nu arcul). Suma laturilor este deci mai mică decât suma arcelor, adică decât lungimea cercului.

Ce este, de fapt, un sector de disc?

Porțiunea din disc mărginită de două raze și de arcul dintre capetele lor, ca o felie de tort. Aria lui este fracțiunea $\dfrac{n°}{360°}$ din aria întregului disc, unde $n°$ este unghiul la centru al sectorului.

\pi

este exact

3{,}14

Nu, $3{,}14$ este doar o valoare aproximativă. $\pi$ este un număr irațional, cu infinit de zecimale neperiodice. Rezultatele exacte se scriu cu $\pi$ iar cele aproximative folosesc $\pi \approx 3{,}14$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Poligoane regulate înscrise în cerc

Hexagonul regulat înscris

Pătratul înscris

Triunghiul echilateral înscris

Unghiul interior al poligonului regulat

Construcția poligoanelor regulate înscrise

Perimetrul unui poligon regulat înscris

Lungimea cercului

Aria discului

Sectorul de disc

Exemple rezolvate

Exemplul 1: latura hexagonului din rază

Exemplul 2: raza din latura hexagonului

Exemplul 3: latura pătratului din rază

Exemplul 4: raza din latura pătratului (raționalizare)

Exemplul 5: latura triunghiului echilateral din rază

Exemplul 6: raza din latura triunghiului echilateral

Exemplul 7: unghiul interior din numărul de laturi

Exemplul 8: numărul de laturi din unghiul interior

Exemplul 9: construcția pătratului înscris

Exemplul 10: perimetrul hexagonului înscris

Exemplul 11: perimetrul pătratului înscris

Exemplul 12: lungimea cercului din rază

Exemplul 13: raza din lungimea cercului

Exemplul 14: aria discului din rază

Exemplul 15: raza din aria discului

Exemplul 16: aria unui sector de disc

Exemplul 17: unghiul unui sector din aria lui

Exemplul 18: comparație poligon–cerc

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită