Lecția 2 din 2 · Linii importante în triunghi

Înălțimile și medianele unui triunghi

Q: Ce este centrul de greutate al unui triunghi?

Punctul comun al celor trei mediane, notat cu G. Este mereu în interiorul triunghiului.

Din fiecare vârf al unui triunghi poți duce o înălțime, perpendiculară pe latura opusă, și o mediană, până la mijlocul laturii opuse. Cele trei înălțimi se întâlnesc în ortocentru, iar cele trei mediane în centrul de greutate. La final pui alături toate cele patru linii importante.

~ 22 min de citit

Ce vei învăța

Construiesc înălțimea dintr-un vârf cu echerul și îi recunosc piciorul.
Duc înălțimile în triunghiul ascuțitunghic, dreptunghic și obtuzunghic, inclusiv pe prelungirea unei laturi.
Recunosc ortocentrul $H$ punctul comun al înălțimilor.
Construiesc medianele și recunosc centrul de greutate $G$
Deosebesc bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea într-o figură.

Recomandat înainte: Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

Ideea de bază

Înălțimea din $A$ coboară din vârf perpendicular pe dreapta $BC$ Piciorul ei poate fi pe latură sau, în triunghiul obtuzunghic, pe prelungirea laturii. Dreptele celor trei înălțimi trec prin același punct, ortocentrul $H$

Mediana din $A$ unește vârful cu mijlocul laturii $BC$ Cele trei mediane trec prin același punct, centrul de greutate $G$ aflat mereu în interiorul triunghiului.

Înălțimea unui triunghi

Înălțimea din vârful $A$ al triunghiului $ABC$ este segmentul $AD$ perpendicular pe dreapta $BC$ cu $D$ pe dreapta $BC$ Punctul $D$ se numește piciorul înălțimii. Scriem $AD \perp BC$

AD

este înălțimea din

A

AD \perp BC

iar

D

este piciorul înălțimii.

Așază o latură a unghiului drept al echerului pe dreapta $BC$
Glisează echerul de-a lungul lui $BC$ până când cealaltă latură a unghiului drept trece prin $A$
Trasează segmentul din $A$ până la $BC$ Punctul de pe $BC$ este piciorul $D$ Marchează unghiul drept.

Un triunghi are trei înălțimi: $AD$ din $A$ $BE$ din $B$ și $CF$ din $C$ Lungimea $AD$ este distanța de la $A$ la dreapta $BC$

Înălțimile în triunghiuri ascuțitunghice, dreptunghice și obtuzunghice

Unde cade piciorul înălțimii depinde de unghiurile triunghiului.

Triunghi ascuțitunghic: cele trei înălțimi sunt în interior și trec prin același punct,

H

În triunghiul dreptunghic, două catete sunt perpendiculare, deci fiecare este înălțimea dusă pe cealaltă. Rămâne de construit doar înălțimea din vârful unghiului drept.

Triunghi dreptunghic în

A

înălțimea din

B

este

BA

cea din

C

este

CA

Înălțimile se întâlnesc în vârful

A

În triunghiul obtuzunghic, perpendiculara dintr-un vârf al unghiului ascuțit nu mai ajunge pe latura opusă, ci pe prelungirea ei. Prelungești latura cu linie punctată și duci perpendiculara pe prelungire.

Înălțimea din

B

cade pe prelungirea lui

CA

prelungești latura și duci perpendiculara pe ea.

Înălțimea nu cade mereu în interior

În triunghiul obtuzunghic, două dintre înălțimi sunt în afara triunghiului, iar picioarele lor sunt pe prelungirile laturilor.

Ortocentrul

Dreptele pe care se află cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează cu $H$ și se numește ortocentrul triunghiului. Concurența se acceptă fără demonstrație.

În triunghiul ascuțitunghic, $H$ este în interior (prima figură de mai sus).
În triunghiul dreptunghic, $H$ este vârful unghiului drept.
În triunghiul obtuzunghic, $H$ este în afara triunghiului: prelungești înălțimile până se întâlnesc.

Triunghi obtuzunghic: picioarele

E

și

F

sunt pe prelungirile laturilor. Dreptele înălțimilor se întâlnesc în

H

în afara triunghiului.

Mediana unui triunghi

Mediana din vârful $A$ al triunghiului $ABC$ este segmentul $AM$ unde $M$ este mijlocul laturii $BC$ Deci $BM = MC$

AM

este mediana din

A

M

este mijlocul lui

BC

deci

BM = MC

Măsoară latura $BC$ cu rigla gradată și împarte lungimea la $2$ (sau construiește mijlocul cu compasul, ca la mediatoare).
Marchează mijlocul $M$ și liniuțele egale pe $BM$ și $MC$
Unește $A$ cu $M$

Mediană, nu mediatoare

Mediana este un segment din vârf până la mijlocul laturii opuse. Mediatoarea este o dreaptă perpendiculară pe latură în mijlocul ei și, în general, nu trece prin vârf.

Centrul de greutate

Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează cu $G$ și se numește centrul de greutate al triunghiului. Concurența se acceptă fără demonstrație.

Medianele

AM

BN

CP

se întâlnesc în centrul de greutate,

G

Centrul de greutate este mereu în interiorul triunghiului, chiar și în triunghiul obtuzunghic. Dacă decupezi un triunghi din carton, el stă în echilibru pe vârful unui creion pus în $G$

Și în triunghiul obtuzunghic, centrul de greutate

G

este în interior.

Cele patru linii importante, comparate

Linia	De unde pleacă	Ce condiție are
bisectoarea	din vârf	împarte unghiul în două unghiuri egale
mediana	din vârf	ajunge în mijlocul laturii opuse
înălțimea	din vârf	este perpendiculară pe latura opusă
mediatoarea	din mijlocul laturii	este perpendiculară pe latură; nu trebuie să treacă prin vârf

Bisectoarea

AD

\angle BAD = \angle DAC

Mediana

AM

BM = MC

Înălțimea

AD

AD \perp BC

Mediatoarea lui

BC

perpendiculară în mijlocul

M

nu trece prin

A

Linia	Punctul comun	Unde este
bisectoarele	$I$ incentrul	mereu în interior
medianele	$G$ centrul de greutate	mereu în interior
înălțimile	$H$ ortocentrul	depinde de tipul triunghiului
mediatoarele	$O$ circumcentrul	punctul egal depărtat de vârfuri

Recunoști linia după marcaje: arcele egale arată bisectoarea, liniuțele egale pe latură arată mijlocul (mediana sau mediatoarea), careul arată unghiul drept (înălțimea sau mediatoarea). Mediatoarea are și liniuțe, și careu, dar pleacă din mijlocul laturii, nu din vârf.

Exemple rezolvate

Recunoașterea înălțimii

În figură, ce este segmentul $AD$ și cum se numește punctul $D$

Vezi rezolvarea

AD

este înălțimea din

A

AD \perp BC

iar

D

este piciorul înălțimii.

Careul din $D$ arată $AD \perp BC$ $AD$ este înălțimea din $A$ iar $D$ este piciorul înălțimii.

Unghiurile din piciorul înălțimii

$AD$ este înălțimea triunghiului $ABC$ cu $D$ pe $BC$ Cât au $\angle ADB$ și $\angle ADC$

Vezi rezolvarea

Înălțimea este perpendiculară pe $BC$ deci $\angle ADB = \angle ADC = 90°$

Un unghi din triunghiul format de înălțime

În $\triangle ABC$ $\angle B = 62°$ iar $AD$ este înălțimea din $A$ Află $\angle BAD$

Vezi rezolvarea

În $\triangle ABD$ $\angle ADB = 90°$ Deci $\angle BAD = 180° - (90° + 62°) = 28°$

Înălțimea pe prelungire

Triunghiul $ABC$ are unghiul $A$ obtuz. Unde cade piciorul înălțimii din $B$

Vezi rezolvarea

Înălțimea din

B

cade pe prelungirea lui

CA

prelungești latura și duci perpendiculara pe ea.

Unghiul din $A$ este obtuz, deci perpendiculara din $B$ pe dreapta $CA$ cade dincolo de $A$ pe prelungirea laturii $CA$ Piciorul $E$ nu este pe latura $CA$

Ortocentrul unui triunghi dreptunghic

$\triangle ABC$ este dreptunghic în $A$ Unde este ortocentrul?

Vezi rezolvarea

Triunghi dreptunghic în

A

înălțimea din

B

este

BA

cea din

C

este

CA

Înălțimile se întâlnesc în vârful

A

$BA \perp CA$ deci $BA$ este înălțimea din $B$ iar $CA$ înălțimea din $C$ Ele se întâlnesc în $A$ deci ortocentrul este $A$

Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic

În figură, triunghiul este obtuzunghic în $A$ Unde este $H$ și de ce apar linii punctate?

Vezi rezolvarea

Triunghi obtuzunghic: picioarele

E

și

F

sunt pe prelungirile laturilor. Dreptele înălțimilor se întâlnesc în

H

în afara triunghiului.

Picioarele $E$ și $F$ sunt pe prelungirile laturilor, iar înălțimile, prelungite, se întâlnesc deasupra lui $A$ $H$ este în afara triunghiului. Liniile punctate sunt prelungirile laturilor și ale înălțimilor.

Mediana și mijlocul laturii

$AM$ este mediana din $A$ a triunghiului $ABC$ iar $BC = 7\text{ cm}$ Află $BM$

Vezi rezolvarea

AM

este mediana din

A

M

este mijlocul lui

BC

deci

BM = MC

$M$ este mijlocul lui $BC$ $BM = MC = 7 : 2 = 3{,}5\text{ cm}$

Latura, din jumătatea ei

$BN$ este mediana din $B$ a triunghiului $ABC$ iar $AN = 4{,}2\text{ cm}$ Află $AC$

Vezi rezolvarea

$N$ este mijlocul lui $AC$ deci $AC = 2 \cdot AN = 8{,}4\text{ cm}$

Centrul de greutate

În figură, $AM$ $BN$ și $CP$ sunt medianele. Cum se numește $G$ Trece mediana $CP$ prin $G$

Vezi rezolvarea

Medianele

AM

BN

CP

se întâlnesc în centrul de greutate,

G

$G$ este punctul comun al medianelor, centrul de greutate. Medianele sunt concurente, deci și $CP$ trece prin $G$ ajung două mediane ca să găsești $G$

Trei linii din același vârf

În $\triangle ABC$ oarecare, din $A$ se duc înălțimea, bisectoarea și mediana. Ajung în același punct pe $BC$

Vezi rezolvarea

Din același vârf: înălțimea

AD

bisectoarea

AE

și mediana

AM

ajung în puncte diferite pe

BC

Nu. Înălțimea ajunge în piciorul perpendicularei $D$ bisectoarea în $E$ cu $\angle BAE = \angle EAC$ mediana în mijlocul $M$ Într-un triunghi oarecare sunt trei puncte diferite.

Găsește greșeala

Elena spune că $AM$ din figură este înălțimea triunghiului, pentru că pornește din $A$ și ajunge pe $BC$ Are dreptate?

Vezi rezolvarea

AM

este mediana din

A

M

este mijlocul lui

BC

deci

BM = MC

Nu. Marcajele arată $BM = MC$ deci $AM$ este mediana. Nu există careu de unghi drept în $M$ iar $AM$ nu este perpendiculară pe $BC$

Mediană sau mediatoare?

O linie trece prin mijlocul $M$ al lui $BC$ și este perpendiculară pe $BC$ Este mediana din $A$

Vezi rezolvarea

Mediatoarea lui

BC

perpendiculară în mijlocul

M

nu trece prin

A

Nu, este mediatoarea lui $BC$ Mediana din $A$ trebuie să pornească din $A$ mediatoarea trece prin $A$ doar în cazuri speciale.

Greșeli frecvente

„Mediana și mediatoarea sunt același lucru.”
Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Mediatoarea este perpendiculara pe latură în mijlocul ei și, în general, nu trece prin vârf.
„Înălțimea cade mereu în interiorul triunghiului.”
În triunghiul obtuzunghic, două înălțimi cad pe prelungirile laturilor, în afara triunghiului.
Înălțimea din $B$ a unui triunghi obtuzunghic în $A$ desenată până pe latura $CA$ „aproape perpendiculară”.
Perpendiculara din $B$ pe dreapta $CA$ cade pe prelungirea lui $CA$ Prelungești latura și marchezi unghiul drept acolo.
„Piciorul înălțimii este mijlocul laturii.”
Piciorul înălțimii este locul unde perpendiculara întâlnește latura. În general nu este mijlocul; mijlocul este piciorul medianei.
„Ortocentrul este mereu în interiorul triunghiului, ca centrul de greutate.”
$G$ este mereu în interior. $H$ este în interior doar la triunghiul ascuțitunghic; la cel dreptunghic este vârful unghiului drept, la cel obtuzunghic este în afara triunghiului.
Notarea piciorului înălțimii cu $H$ și a ortocentrului tot cu $H$
Folosește litere diferite: de exemplu $D$ pentru picior și $H$ pentru ortocentru.
„Mediana din $A$ împarte unghiul $A$ în două unghiuri egale.”
Asta face bisectoarea. Mediana împarte latura opusă în două segmente egale.

Exerciții

Ușor

Cum se numește segmentul din vârful $A$ perpendicular pe dreapta $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: înălțimea din $A$
Cum se numește segmentul care unește vârful $A$ cu mijlocul laturii $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: mediana din $A$
Câte înălțimi și câte mediane are un triunghi?
Arată răspunsul
Răspuns: trei înălțimi și trei mediane
Cum se numește punctul comun al medianelor? Dar al înălțimilor?
Arată răspunsul
Răspuns: centrul de greutate $G$ ortocentrul $H$
Ce linie este desenată din $C$ Ce marcaj te ajută?
Arată răspunsul
Răspuns: înălțimea $CF$
Careul de unghi drept din $F$ arată $CF \perp AB$
Ce linie este desenată din $B$ Ce marcaj te ajută?
Arată răspunsul
Răspuns: mediana $BN$
Liniuțele egale arată $AN = NC$ deci $N$ este mijlocul lui $AC$
$AM$ este mediană și $BC = 10\text{ cm}$ Cât este $MC$
Arată răspunsul
Răspuns: $5\text{ cm}$

Mediu

$AD$ este înălțimea din $A$ iar $\angle C = 50°$ Află $\angle DAC$
Arată răspunsul
Răspuns: $40°$
În $\triangle ADC$ $\angle ADC = 90°$ $\angle DAC = 180° - (90° + 50°) = 40°$
$CP$ este mediana din $C$ iar $AP = 3{,}5\text{ cm}$ Află $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $7\text{ cm}$
Unde este ortocentrul unui triunghi dreptunghic în $B$
Arată răspunsul
Răspuns: în $B$
Catetele $BA$ și $BC$ sunt perpendiculare, deci sunt înălțimi și se întâlnesc în $B$
Triunghiul din figură este obtuzunghic în $C$ $AD$ și $CE$ sunt înălțimi. Unde este piciorul $D$ pe latura $BC$ sau pe prelungirea ei? Dar piciorul $E$ față de latura $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $D$ este pe prelungirea laturii $BC$ dincolo de $C$ $E$ este pe latura $AB$
Unghiul din $C$ este obtuz, deci perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$ cade dincolo de $C$ (porțiunea punctată). Înălțimea din vârful unghiului obtuz, $CE$ cade pe latura opusă, în interior.
Numește cele trei înălțimi și punctul lor comun din figură.
Arată răspunsul
Răspuns: $AD$ $BE$ $CF$ ortocentrul $H$
În figură sunt desenate doar două linii, $BE$ și $CF$ Ce sunt ele, după marcaje? Cum se numește $G$ și prin ce punct al lui $BC$ trece dreapta $AG$
Arată răspunsul
Răspuns: medianele din $B$ și din $C$ centrul de greutate; prin mijlocul lui $BC$
Liniuțele arată $AE = EC$ și $AF = FB$ deci $BE$ și $CF$ sunt mediane. $G$ punctul lor comun, este centrul de greutate. Medianele sunt concurente, deci și mediana din $A$ trece prin $G$ dreapta $AG$ ajunge în mijlocul lui $BC$
Care dintre punctele $H$ și $G$ poate fi în afara triunghiului?
Arată răspunsul
Răspuns: $H$ (la triunghiul obtuzunghic)
Centrul de greutate este mereu în interior.
Pentru fiecare linie, spune dacă pornește obligatoriu dintr-un vârf: bisectoarea, mediana, înălțimea, mediatoarea.
Arată răspunsul
Răspuns: da, da, da, nu (mediatoarea)

Provocare

În $\triangle ABC$ $\angle B = 70°$ $\angle C = 40°$ $AD$ este înălțimea, iar $AE$ este bisectoarea unghiului $A$ Află $\angle DAE$
Arată răspunsul
Răspuns: $15°$
$\angle A = 70°$ deci $\angle BAE = 35°$ În $\triangle ABD$ $\angle BAD = 90° - 70° = 20°$ $\angle DAE = 35° - 20° = 15°$
În figură, trei linii pornesc din $B$ spre latura $AC$ Spune care este înălțimea, care este bisectoarea și care este mediana, după ce marcaj o recunoști pe fiecare și de ce $P$ $Q$ $R$ sunt diferite.
Arată răspunsul
Răspuns: $BQ$ înălțimea, $BR$ bisectoarea, $BP$ mediana
$BQ \perp AC$ (careu în $Q$ $P$ este mijlocul lui $AC$ (liniuțe), $BR$ împarte unghiul $B$ în două (arce la fel). Triunghiul este oarecare, deci cele trei condiții dau trei puncte diferite pe $AC$
Triunghiul din figură este obtuzunghic în $B$ iar $AD$ $BE$ $CF$ sunt înălțimile. Radu spune că ortocentrul este în interior, „ca la ascuțitunghic”. Fără să desenezi $H$ spune unde se întâlnesc dreptele înălțimilor: în interior sau în afara triunghiului, și de partea cărui vârf?
Arată răspunsul
Răspuns: în afara triunghiului, de partea vârfului obtuz $B$ sub latura $BC$
Picioarele $D$ și $F$ sunt pe prelungirile laturilor, dincolo de $B$ Dreptele $AD$ și $CF$ prelungite, se întâlnesc sub $BC$ de partea lui $B$ acolo trece și dreapta $BE$ Ortocentrul este în interior doar la triunghiul ascuțitunghic.
O dreaptă trece prin mijlocul lui $BC$ și prin $A$ Este mediatoarea lui $BC$ Ce linie este sigur?
Arată răspunsul
Răspuns: Este sigur mediana din $A$ Este și mediatoare doar dacă este perpendiculară pe $BC$
Recunoaște linia din figură: bisectoare, mediană, înălțime sau mediatoare? Pleacă dintr-un vârf?
Arată răspunsul
Răspuns: mediatoarea lui $AB$ nu pleacă din vârf (nu trece prin $C$
Trece prin mijlocul $N$ al lui $AB$ (liniuțe) și este perpendiculară pe $AB$ (careu), dar nu trece prin $C$ nu este nici mediană, nici înălțime.
$AM$ este mediană în $\triangle ABC$ $BM = 2x + 1$ și $MC = 9$ (în cm). Află $x$ și $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 4$ $BC = 18\text{ cm}$
$BM = MC$ $2x + 1 = 9$ deci $x = 4$ $BC = 2 \cdot 9 = 18\text{ cm}$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Înălțimea din $A$ a triunghiului $ABC$ este:
1. segmentul din $A$ până la mijlocul lui $BC$
2. segmentul din $A$ perpendicular pe dreapta $BC$
3. dreapta perpendiculară pe $BC$ în mijlocul lui
4. segmentul care împarte $\angle A$ în două
Arată răspunsul
Răspuns: segmentul din $A$ perpendicular pe dreapta $BC$
2. Mediana din $A$ ajunge pe $BC$
1. în piciorul perpendicularei
2. în mijlocul lui $BC$
3. oriunde
4. în $B$
Arată răspunsul
Răspuns: în mijlocul lui $BC$
3. Ce linie este desenată din $A$ în figură?
1. bisectoarea
2. mediana
3. înălțimea
4. mediatoarea
Arată răspunsul
Răspuns: înălțimea
Careul din $D$ arată $AD \perp BC$
4. Unde este ortocentrul triunghiului din figură?
1. în interior
2. în mijlocul lui $KM$
3. în vârful $L$ al unghiului drept
4. în afara triunghiului
Arată răspunsul
Răspuns: în vârful $L$ al unghiului drept
Catetele $KL$ și $ML$ sunt înălțimi și se întâlnesc în $L$ înălțimea $LD$ trece și ea prin $L$
5. În $\triangle ABC$ $G$ este punctul comun al medianelor $AD$ $BE$ și $CF$ Ce este punctul $D$ pentru latura $BC$
1. piciorul înălțimii din $A$
2. mijlocul lui $BC$
3. centrul de greutate
4. punctul în care bisectoarea din $A$ taie $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: mijlocul lui $BC$
Mediana $AD$ unește vârful $A$ cu mijlocul laturii opuse, deci $D$ este mijlocul lui $BC$ Centrul de greutate este $G$ nu $D$
6. $AM$ este mediana din $A$ și $BM = 4{,}5\text{ cm}$ Cât este $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $9\text{ cm}$
7. Într-un triunghi obtuzunghic, înălțimile din vârfurile unghiurilor ascuțite:
1. cad pe laturi
2. cad pe prelungirile laturilor
3. nu există
4. coincid cu medianele
Arată răspunsul
Răspuns: cad pe prelungirile laturilor
8. Andrei spune: „Mediana și mediatoarea sunt același lucru, amândouă trec prin mijlocul laturii.” Ce răspunzi?
1. are dreptate
2. nu: mediana pornește din vârf, mediatoarea este perpendiculară pe latură în mijloc
3. are dreptate doar la triunghiul obtuzunghic
4. nu: mediatoarea nu trece prin mijlocul laturii
Arată răspunsul
Răspuns: nu: mediana pornește din vârf, mediatoarea este perpendiculară pe latură în mijloc
9. Care punct este mereu în interiorul triunghiului?
1. ortocentrul $H$
2. centrul de greutate $G$
3. piciorul înălțimii din $B$
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: centrul de greutate $G$
$G$ este mereu în interior; $H$ poate fi în afară, la triunghiul obtuzunghic.
10. Care linie NU trebuie să pornească dintr-un vârf?
1. bisectoarea
2. mediana
3. înălțimea
4. mediatoarea
Arată răspunsul
Răspuns: mediatoarea

Întrebări frecvente

Ce este înălțimea unui triunghi?

Segmentul dus dintr-un vârf perpendicular pe dreapta laturii opuse. Punctul în care ajunge se numește piciorul înălțimii.

Ce este mediana unui triunghi?

Segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Fiecare triunghi are trei mediane.

Cum construiesc înălțimea într-un triunghi obtuzunghic?

Pentru vârfurile unghiurilor ascuțite, prelungești latura opusă cu linie punctată și duci cu echerul perpendiculara din vârf pe prelungire.

Ce este ortocentrul?

Punctul comun al dreptelor pe care se află cele trei înălțimi. Se notează cu $H$ Este în interior la triunghiul ascuțitunghic, în vârful unghiului drept la cel dreptunghic și în afară la cel obtuzunghic.

Ce este centrul de greutate al unui triunghi?

Punctul comun al celor trei mediane, notat cu $G$ Este mereu în interiorul triunghiului.

Care este diferența dintre mediană și mediatoare?

Mediana pleacă din vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse. Mediatoarea este perpendiculară pe latură în mijlocul ei și nu trebuie să treacă prin vârf.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Înălțimile și medianele unui triunghi

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VI-a

Înălțimile și medianele unui triunghi

Ce vei învăța

Ideea de bază

Înălțimea unui triunghi

Înălțimile în triunghiuri ascuțitunghice, dreptunghice și obtuzunghice

Ortocentrul

Mediana unui triunghi

Centrul de greutate

Cele patru linii importante, comparate

Exemple rezolvate

Recunoașterea înălțimii

Unghiurile din piciorul înălțimii

Un unghi din triunghiul format de înălțime

Înălțimea pe prelungire

Ortocentrul unui triunghi dreptunghic

Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic

Mediana și mijlocul laturii

Latura, din jumătatea ei

Centrul de greutate

Trei linii din același vârf

Găsește greșeala

Mediană sau mediatoare?

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a