Funcția liniară f(x) = ax + b: grafic, coeficienți, intersecții cu axele

Q: Ce este o funcție liniară?

Este o funcție dată printr-o formulă de forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale fixate, numite coeficienți.

Q: Ce reprezintă coeficienții a și b?

a arată direcția graficului: crescătoare dacă a > 0, descrescătoare dacă a < 0, constantă (dreaptă orizontală) dacă a = 0. b este valoarea funcției în x = 0 și înălțimea la care graficul taie axa Oy.

Q: Cum arăt graficul unei funcții liniare pe ℝ?

Calculezi f(x) pentru două valori diferite ale lui x, marchezi cele două puncte și tragi dreapta care trece prin ele, prelungind-o în ambele direcții. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Q: Cum diferă graficul pe un interval de graficul pe ℝ?

Pe un interval, graficul este doar segmentul de dreaptă dintre punctele corespunzătoare celor două capete, fără prelungire. Pe ℝ, dreapta se întinde cât ține desenul, fără capete.

Q: Cum aflu intersecțiile cu axele?

Intersecția cu Oy este (0, b), direct din coeficientul b. Intersecția cu Ox se află rezolvând ecuația ax + b = 0 (pentru a ≠ 0), cu soluția x = -b/a.

Q: Cum știu dacă funcția e crescătoare sau descrescătoare doar din formulă?

Te uiți la semnul lui a: pozitiv înseamnă crescătoare, negativ înseamnă descrescătoare, iar a = 0 înseamnă funcție constantă.

Ce vei învăța

Recunoști coeficienții $a$ și $b$ dintr-o formulă $f(x) = ax + b$
Reprezinți grafic o funcție liniară pe un domeniu finit, pe un interval și pe $\mathbb{R}$
Interpretezi semnul lui $a$ pentru a spune dacă funcția este crescătoare, descrescătoare sau constantă.
Determini intersecțiile graficului cu axele Ox și Oy.
Citești valori, direcție și intersecții de pe un grafic dat.

Recomandat înainte: Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

Ideea de bază

Fie funcția $f(x) = 2x - 1$ Calculezi valoarea ei pentru două numere oarecare, de exemplu $x = 0$ și $x = 1$

f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1

f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1

Obții două puncte, $(0, -1)$ și $(1, 1)$ Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, iar graficul funcției liniare este exact acea dreaptă.

Graficul funcției

f(x) = 2x - 1

pe

\mathbb{R}

dreapta care trece prin

(0, -1)

și

(1, 1)

prelungită în ambele direcții.

Restul lecției explică ce înseamnă coeficienții $a$ și $b$ cum arată graficul pe fiecare tip de domeniu și cum citești un astfel de grafic.

Funcția liniară f(x) = ax + b

O funcție liniară este o funcție dată printr-o formulă de forma $f(x) = ax + b$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate. $a$ se numește coeficientul lui $x$ iar $b$ se numește termenul liber.

De exemplu, pentru $f(x) = 2x - 1$ $a = 2$ și $b = -1$ Pentru $f(x) = -x + 5$ $a = -1$ și $b = 5$

Cum citești a și b

$a$ este numărul care înmulțește $x$ $b$ este numărul adunat sau scăzut la final, fără $x$ lângă el.

Ca orice funcție, $f(x) = ax + b$ are un domeniu. Modul în care arăți graficul depinde de tipul domeniului: finit, un interval, sau toată mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$

Graficul pe domeniu finit și pe un interval

Când domeniul este o mulțime finită de numere, graficul rămâne format din puncte izolate, exact ca la orice funcție cu domeniu finit.

Fie $f(x) = -2x + 3$ pe domeniul $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$

Valorile funcției $f(x) = -2x + 3$ pe domeniul $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$
$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$5$	$3$	$1$	$-1$	$-3$

Domeniu finit: puncte izolate, fără linie între ele, ca la orice funcție cu domeniu finit.

Când domeniul este un interval de numere reale, între oricare două valori din interval mai există infinit de multe altele, iar funcția are o valoare pentru fiecare dintre ele. Graficul devine un segment de dreaptă, care unește punctele corespunzătoare celor două capete ale intervalului.

Fie $f(x) = x + 1$ pe intervalul $[-3, 2]$ La capete: $f(-3) = -2$ și $f(2) = 3$

Domeniu = intervalul

[-3, 2]

segmentul de dreaptă între capete, fără prelungire dincolo de ele.

Segment, nu dreaptă întreagă

Pe un interval, graficul se oprește exact la capete. Dacă ai prelungi segmentul mai departe, ai arăta valori ale funcției pentru $x$ care nu fac parte din domeniu.

Graficul pe toată mulțimea ℝ

Când domeniul funcției liniare este $\mathbb{R}$ graficul este o dreaptă întreagă, care se întinde cât ține desenul, fără capete.

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Ca să desenezi graficul, calculezi $f(x)$ pentru două valori diferite ale lui $x$ marchezi cele două puncte și tragi dreapta prin ele, prelungind-o în ambele direcții.

Fie $f(x) = 3x - 2$ Alegi $x = 0$ și $x = 1$

f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2

f(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1

Graficul lui

f(x) = 3x - 2

pe

\mathbb{R}

dreapta prin

(0, -2)

și

(1, 1)

Rolul coeficientului a: direcția dreptei

Semnul lui $a$ arată direcția dreptei.

Dacă $a > 0$ funcția este crescătoare: dreapta urcă de la stânga la dreapta.
Dacă $a < 0$ funcția este descrescătoare: dreapta coboară de la stânga la dreapta.
Dacă $a = 0$ funcția este constantă: $f(x) = b$ pentru orice $x$ iar dreapta este orizontală.

Compară $f(x) = 3x - 2$ (mai sus, crescătoare) cu $g(x) = -2x + 3$ care are $a = -2 < 0$

Graficul lui

g(x) = -2x + 3

a = -2 < 0

funcție descrescătoare, dreapta coboară spre dreapta.

Coeficientul $a$ nu trebuie să fie întreg. Pentru $h(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$ cu $a = \dfrac{1}{2} > 0$ funcția e tot crescătoare, dar dreapta „urcă” mai lin decât una cu $a = 3$

Graficul lui

h(x) = \dfrac{1}{2}x + 1

crescătoare, dar mai puțin înclinată decât o dreaptă cu

a = 3

Cazul special a = 0

Dacă $a = 0$ formula devine $f(x) = b$ funcția constantă. Toate valorile funcției sunt egale cu $b$ iar graficul este o dreaptă orizontală, nici crescătoare, nici descrescătoare.

Graficul funcției constante

f(x) = 3

dreaptă orizontală,

a = 0

Rolul coeficientului b: valoarea în x = 0

$b$ este valoarea funcției în $x = 0$ $f(0) = a \cdot 0 + b = b$ Pe grafic, $b$ este înălțimea la care dreapta taie axa Oy.

f(x) = -4x + 7

f(0) = -4 \cdot 0 + 7 = 7

Așadar graficul lui $f(x) = -4x + 7$ trece prin punctul $(0, 7)$ indiferent de valoarea lui $a$

Dacă $b = 0$ formula devine $f(x) = ax$ iar graficul trece prin originea $(0, 0)$ intersecția cu Oy este chiar originea. Pentru $a \ne 0$ originea este și intersecția cu Ox.

Intersecțiile cu axele

Intersecția cu axa Oy se află direct din $b$ este punctul $(0, b)$

Intersecția cu axa Ox se află rezolvând ecuația $f(x) = 0$ adică $ax + b = 0$ pentru $a \ne 0$ Soluția este $x = -\dfrac{b}{a}$

Fie $f(x) = -x + 3$

\text{Oy: } x = 0 \Rightarrow f(0) = 3 \Rightarrow (0, 3)

\text{Ox: } -x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow (3, 0)

Graficul lui

f(x) = -x + 3

intersecția cu Oy în

(0, 3)

intersecția cu Ox în

(3, 0)

punctele

(1, 2)

și

(2, 1)

sunt și ele pe dreaptă.

Dacă a = 0, dreapta poate să nu taie Ox deloc

Pentru $f(x) = b$ cu $b \ne 0$ dreapta este orizontală și paralelă cu axa Ox: nu o taie niciodată. Formula $x = -b/a$ nu se aplică, pentru că ai avea o împărțire la $0$ Singura excepție este $f(x) = 0$ (adică $a = 0$ și $b = 0$ graficul este chiar axa Ox, deci toate punctele ei sunt comune cu graficul.

Cum citești un grafic

Folosind graficul funcției $f(x) = -x + 3$ de mai sus, poți citi direct mai multe informații.

Valoarea funcției într-un punct: punctul $(1, 2)$ îți spune că $f(1) = 2$
Pentru ce $x$ funcția are o valoare dată: punctul de la înălțimea $1$ este $(2, 1)$ deci $f(x) = 1$ pentru $x = 2$
Intersecția cu Oy: dreapta trece prin $(0, 3)$ deci $b = 3$
Intersecția cu Ox: dreapta trece prin $(3, 0)$ deci ecuația $f(x) = 0$ are soluția $x = 3$
Direcția: dreapta coboară de la stânga la dreapta, deci funcția este descrescătoare, adică $a < 0$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifică a și b

Identifică $a$ și $b$ pentru $f(x) = -4x + 7$

Vezi rezolvarea

$a = -4$ $b = 7$

Exemplul 2: grafic pe domeniu finit

Reprezintă grafic $f(x) = 3x + 1$ pe domeniul $\{-2, -1, 0, 1\}$

Vezi rezolvarea

Valorile funcției $f(x) = 3x + 1$
$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$-5$	$-2$	$1$	$4$

Domeniu finit: patru puncte izolate, fără linie.

Exemplul 3: grafic pe un interval

Reprezintă grafic $f(x) = 2x - 3$ pe intervalul $[-1, 3]$

Vezi rezolvarea

f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -5

f(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3

Segmentul de dreaptă între capetele intervalului

[-1, 3]

Exemplul 4: grafic pe ℝ, funcție crescătoare

Reprezintă grafic $f(x) = x + 2$ pe $\mathbb{R}$

Vezi rezolvarea

f(0) = 2

f(2) = 4

a = 1 > 0

funcție crescătoare.

Exemplul 5: grafic pe ℝ, funcție descrescătoare

Reprezintă grafic $f(x) = -3x + 1$ pe $\mathbb{R}$

Vezi rezolvarea

f(0) = 1

f(1) = -3 + 1 = -2

a = -3 < 0

funcție descrescătoare.

Exemplul 6: intersecția cu Oy

Găsește intersecția cu axa Oy a graficului lui $f(x) = 5x - 3$

Vezi rezolvarea

f(0) = 5 \cdot 0 - 3 = -3 \Rightarrow (0, -3)

Exemplul 7: intersecția cu Ox

Găsește intersecția cu axa Ox a graficului lui $f(x) = 2x - 8$

Vezi rezolvarea

2x - 8 = 0

2x = 8

x = 4

Intersecția cu Ox este punctul $(4, 0)$

Exemplul 8: ambele intersecții și graficul

Găsește intersecțiile cu axele pentru $f(x) = -x + 3$ și reprezintă graficul.

Vezi rezolvarea

\text{Oy: } f(0) = 3 \Rightarrow (0, 3)

\text{Ox: } -x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow (3, 0)

Graficul lui

f(x) = -x + 3

cu ambele intersecții marcate.

Exemplul 9: citirea unui grafic dat

Pe graficul lui $f(x) = -x + 3$ sunt marcate punctele $(1, 2)$ și $(2, 1)$ (vezi figura). Citește $f(1)$ și găsește $x$ pentru care $f(x) = 1$

Vezi rezolvarea

Graficul lui

f(x) = -x + 3

cu punctele

(1, 2)

și

(2, 1)

marcate.

Punctul $(1, 2)$ are înălțimea $2$ deci $f(1) = 2$

Punctul de la înălțimea $1$ este $(2, 1)$ deci $f(x) = 1$ pentru $x = 2$

Exemplul 10: coeficient fracționar, domeniu finit

Completează tabelul pentru $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2$ cu $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$

Vezi rezolvarea

Valorile funcției $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2$
$x$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$f(x)$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$

Exemplul 11: funcție constantă negativă

Reprezintă grafic funcția constantă $f(x) = -2$ pe $\mathbb{R}$

Vezi rezolvarea

$a = 0$ $b = -2$ fiecare $x$ are imaginea $-2$ Graficul este o dreaptă orizontală, sub axa Ox.

Graficul funcției constante

f(x) = -2

dreaptă orizontală.

Exemplul 12: monotonia din formulă

Spune dacă fiecare funcție este crescătoare, descrescătoare sau constantă, doar din formulă: $f_1(x) = 5x - 1$ $f_2(x) = -x + 10$ $f_3(x) = 7$

Vezi rezolvarea

$f_1(x) = 5x - 1$ $a = 5 > 0$ crescătoare.
$f_2(x) = -x + 10$ $a = -1 < 0$ descrescătoare.
$f_3(x) = 7$ $a = 0$ constantă.

Exemplul 13: problemă aplicată

Un abonament telefonic costă 20 de lei pe lună, plus 3 lei pentru fiecare minut peste limita inclusă. Scrie funcția care dă costul total în funcție de numărul de minute suplimentare și calculează costul pentru 0, 5 și 10 minute suplimentare.

Vezi rezolvarea

f(x) = 3x + 20

f(0) = 3 \cdot 0 + 20 = 20

f(5) = 3 \cdot 5 + 20 = 35

f(10) = 3 \cdot 10 + 20 = 50

$a = 3 > 0$ costul crește pe măsură ce vorbești mai multe minute suplimentare. $b = 20$ este costul fix, cel pe care îl plătești chiar dacă nu depășești limita.

Greșeli frecvente

Cred că graficul unei funcții liniare pe un interval se prelungește la nesfârșit, ca pe $\mathbb{R}$
Pe un interval, graficul se oprește la capete: este doar un segment de dreaptă, nu o dreaptă întreagă.
Presupun că orice funcție liniară are graficul crescător.
Direcția depinde de semnul lui $a$ crescătoare dacă $a > 0$ descrescătoare dacă $a < 0$ orizontală (constantă) dacă $a = 0$
Calculez greșit $f(x) = ax + b$ de exemplu uit semnul lui $b$
Calculezi întâi $a \cdot x$ apoi aduni $b$ păstrând exact semnul lui.
Citesc intersecția cu Oy ca fiind $(b, 0)$ în loc de $(0, b)$
Intersecția cu axa Oy este punctul cu $x = 0$ deci $(0, b)$ Intersecția cu axa Ox este punctul cu $y = 0$ adică $\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right)$
Trag dreapta printr-un singur punct calculat.
O dreaptă are nevoie de cel puțin două puncte distincte. Calculezi $f(x)$ pentru două valori diferite ale lui $x$
Cred că $f(x) = b$ (cu $a = 0$ nu este o funcție liniară, pentru că formula nu are $x$ vizibil.
Este o funcție liniară particulară, numită funcție constantă: se poate scrie $f(x) = 0 \cdot x + b$ iar fiecare $x$ din domeniu are aceeași imagine, $b$
Confund rolul lui $a$ cu rolul lui $b$ cred că $a$ arată unde taie dreapta axa Oy.
$b$ este cel care arată intersecția cu Oy, punctul $(0, b)$ $a$ arată direcția dreptei: crescătoare, descrescătoare sau constantă.

Exerciții

Ușor

Identifică $a$ și $b$ din $f(x) = 6x - 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = 6$ $b = -5$
Identifică $a$ și $b$ din $f(x) = -x + 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = -1$ $b = 2$
Calculează $f(0)$ dacă $f(x) = 4x - 7$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(0) = -7$
Este funcția $f(x) = 3x + 1$ crescătoare sau descrescătoare?
Arată răspunsul
Răspuns: Crescătoare.
$a = 3 > 0$
Este funcția $f(x) = -5x + 2$ crescătoare sau descrescătoare?
Arată răspunsul
Răspuns: Descrescătoare.
$a = -5 < 0$
Care este intersecția cu axa Oy a graficului funcției $f(x) = 2x + 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $(0, 9)$
Câte puncte sunt suficiente pentru a desena graficul unei funcții liniare pe $\mathbb{R}$
Arată răspunsul
Răspuns: Două puncte distincte.
Ce fel de grafic are o funcție liniară cu domeniul un interval $[m, n]$
Arată răspunsul
Răspuns: Un segment de dreaptă.
Ce fel de funcție este $f(x) = 5$
Arată răspunsul
Răspuns: Funcție constantă $a = 0$

Mediu

Calculează intersecția cu axa Ox a graficului funcției $f(x) = 3x - 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $(3, 0)$
$3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$
Calculează intersecția cu axa Ox a graficului funcției $f(x) = -4x + 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $(2, 0)$
$-4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2$
Scrie perechile $(x, f(x))$ pentru $f(x) = 2x + 1$ cu domeniul $\{-1, 0, 1, 2\}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-1, -1)$ $(0, 1)$ $(1, 3)$ $(2, 5)$
Funcția $f(x) = -3$ este crescătoare, descrescătoare sau constantă?
Arată răspunsul
Răspuns: Constantă.
O dreaptă (graficul unei funcții liniare) trece prin punctele $(0, 2)$ și $(1, 5)$ Care este coeficientul $b$
Arată răspunsul
Răspuns: $b = 2$
$b$ este valoarea funcției în $x = 0$ deci coordonata $y$ a punctului cu $x = 0$
Pentru $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 1$ calculează $f(3)$ și $f(-3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(3) = 0$ $f(-3) = -2$
Pentru graficul lui $f(x) = -x + 4$ pe intervalul $[0, 4]$ găsește punctele capetelor.
Arată răspunsul
Răspuns: $(0, 4)$ și $(4, 0)$
Este adevărat că graficul funcției $f(x) = 2x$ trece prin origine?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$b = 0$ deci intersecția cu Oy este $(0, 0)$ chiar originea.
O funcție liniară are $a = 0$ și $b = -6$ Taie graficul ei axa Ox?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$f(x) = -6$ pentru orice $x$ dreapta este orizontală și nu atinge niciodată axa Ox.
La o firmă de taxi, o cursă costă $5$ lei taxa de pornire plus $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs, deci prețul unei curse de $x$ km este $f(x) = 3x + 5$ lei. a) Cât costă o cursă de $8$ km? b) Câți kilometri a parcurs un client care a plătit $41$ de lei? c) Funcția este crescătoare sau descrescătoare? Ce înseamnă asta pentru client?
Arată răspunsul
Răspuns: a) $29$ lei; b) $12$ km; c) crescătoare: cu cât cursa e mai lungă, cu atât costă mai mult.
a) $f(8) = 3 \cdot 8 + 5 = 29$ lei. b) $3x + 5 = 41 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$ km. c) $a = 3 > 0$ deci $f$ este crescătoare: fiecare kilometru în plus adaugă $3$ lei la preț.

Provocare

Determină $f(x) = ax + b$ știind că graficul trece prin $(0, -3)$ și este crescătoare cu $a = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(x) = 2x - 3$
$b$ este valoarea în $x = 0$ deci $b = -3$ $a = 2$ este dat.
Fie $f(x) = -2x + 7$ Există un punct de pe grafic, diferit de intersecția cu Oy, care să aibă tot înălțimea $7$ Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Funcția este descrescătoare $a = -2 < 0$ deci valori diferite ale lui $x$ dau valori diferite ale lui $f(x)$ înălțimea $7$ corespunde unui singur $x$ anume $x = 0$
Pentru ce valoare a lui $a$ funcția $f(x) = ax + 5$ este constantă?
Arată răspunsul
Răspuns: $a = 0$
O dreaptă trece prin $(2, 0)$ și $(0, 4)$ Scrie funcția liniară corespunzătoare $f(x) = ax + b$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(x) = -2x + 4$
Din $(0, 4)$ $b = 4$ Din $(2, 0)$ $2a + 4 = 0 \Rightarrow a = -2$
Graficul unei funcții liniare taie axa Ox în $(5, 0)$ și axa Oy în $(0, -10)$ Determină $a$ și $b$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = 2$ $b = -10$
$b = -10$ din intersecția cu Oy. Din $(5, 0)$ $5a - 10 = 0 \Rightarrow a = 2$
Explică de ce o funcție liniară cu $a \ne 0$ taie axa Ox în exact un punct.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că ecuația $ax + b = 0$ are exact o soluție, $x = -b/a$ atunci când $a \ne 0$
Un elev desenează graficul funcției $f(x) = -x + 1$ ca pe o dreaptă care urcă de la stânga la dreapta. Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A greșit direcția.
$a = -1 < 0$ înseamnă funcție descrescătoare; dreapta trebuie să coboare de la stânga la dreapta.
Fie $f(x) = 4x + b$ cu graficul trecând prin punctul $(1, 10)$ Află $b$
Arată răspunsul
Răspuns: $b = 6$
$4 \cdot 1 + b = 10 \Rightarrow b = 6$
Un rezervor conține $60$ de litri de apă și se golește uniform, câte $4$ litri pe minut. a) Scrie volumul $V(t)$ rămas după $t$ minute ca funcție de forma $V(t) = at + b$ b) După câte minute se golește rezervorul? c) Ce semn are $a$ și ce arată acest semn despre grafic?
Arată răspunsul
Răspuns: a) $V(t) = -4t + 60$ b) după $15$ minute; c) $a = -4 < 0$ funcția este descrescătoare.
a) La început $t = 0$ sunt $60$ de litri, deci $b = 60$ în fiecare minut se scad $4$ litri, deci $a = -4$ $V(t) = -4t + 60$ b) $-4t + 60 = 0 \Rightarrow t = 15$ adică graficul taie axa orizontală în punctul $(15, 0)$ c) $a < 0$ deci funcția este descrescătoare: dreapta coboară de la stânga la dreapta, pe măsură ce apa scade. Modelul are sens doar pentru $0 \le t \le 15$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Într-o funcție liniară $f(x) = ax + b$ ce reprezintă $b$
1. valoarea funcției în $x = 0$
2. direcția dreptei
3. intersecția cu Ox
4. domeniul funcției
Arată răspunsul
Răspuns: valoarea funcției în $x = 0$
$f(0) = a \cdot 0 + b = b$ deci $b$ este valoarea funcției în $x = 0$ și înălțimea intersecției cu Oy.
2. Dacă $a < 0$ graficul funcției liniare este:
1. constant
2. crescător
3. descrescător
4. nu se poate desena
Arată răspunsul
Răspuns: descrescător
Un coeficient $a$ negativ înseamnă funcție descrescătoare.
3. Intersecția cu axa Ox a funcției $f(x) = 5x - 10$ este:
1. $(0, -10)$
2. $(2, 0)$
3. $(-2, 0)$
4. $(5, 0)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(2, 0)$
$5x - 10 = 0 \Rightarrow x = 2$
4. Funcția $f:[0, 3]\to\mathbb{R}$ $f(x) = x + 1$ Cum arată graficul ei?
1. dreapta prin $(0,1)$ și $(3,4)$
2. segmentul cu capetele $(0,1)$ și $(3,4)$
3. doar punctele $(0,1)$ și $(3,4)$
4. semidreapta care pornește din $(0,1)$
Arată răspunsul
Răspuns: segmentul cu capetele $(0,1)$ și $(3,4)$
Domeniul este intervalul $[0, 3]$ deci graficul este bucata de dreaptă dintre $(0, f(0)) = (0,1)$ și $(3, f(3)) = (3,4)$ cu capete cu tot.
5. Identifică $a$ și $b$ din $f(x) = -7x + 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = -7$ $b = 2$
6. Calculează $f(0)$ pentru $f(x) = 9x - 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(0) = -4$
7. Ca să desenezi graficul lui $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(x) = 5x - 4$ alegi $x = 0$ și $x = 1$ Ce două puncte obții?
Arată răspunsul
Răspuns: $(0, -4)$ și $(1, 1)$
$f(0) = -4$ și $f(1) = 5 - 4 = 1$ Două puncte distincte sunt suficiente pentru dreapta graficului.
8. Funcția constantă $f(x) = 8$ are graficul:
1. un singur punct
2. o dreaptă verticală
3. o dreaptă orizontală
4. nu are grafic
Arată răspunsul
Răspuns: o dreaptă orizontală
$a = 0$ deci fiecare $x$ are aceeași imagine, $8$ dreaptă orizontală.
9. Graficul funcției $f(x) = ax + b$ taie axa Oy în punctul...
Arată răspunsul
Răspuns: $(0, b)$

Întrebări frecvente

Ce este o funcție liniară?

Este o funcție dată printr-o formulă de forma $f(x) = ax + b$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixate, numite coeficienți.

Ce reprezintă coeficienții

a

și

b

$a$ arată direcția graficului: crescătoare dacă $a > 0$ descrescătoare dacă $a < 0$ constantă (dreaptă orizontală) dacă $a = 0$ $b$ este valoarea funcției în $x = 0$ și înălțimea la care graficul taie axa Oy.

Cum arăt graficul unei funcții liniare pe

\mathbb{R}

Calculezi $f(x)$ pentru două valori diferite ale lui $x$ marchezi cele două puncte și tragi dreapta care trece prin ele, prelungind-o în ambele direcții. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Cum diferă graficul pe un interval de graficul pe

\mathbb{R}

Pe un interval, graficul este doar segmentul de dreaptă dintre punctele corespunzătoare celor două capete, fără prelungire. Pe $\mathbb{R}$ dreapta se întinde cât ține desenul, fără capete.

Cum aflu intersecțiile cu axele?

Intersecția cu Oy este $(0, b)$ direct din coeficientul $b$ Intersecția cu Ox se află rezolvând ecuația $ax + b = 0$ (pentru $a \ne 0$ cu soluția $x = -b/a$

Cum știu dacă funcția e crescătoare sau descrescătoare doar din formulă?

Te uiți la semnul lui $a$ pozitiv înseamnă crescătoare, negativ înseamnă descrescătoare, iar $a = 0$ înseamnă funcție constantă.

Funcția liniară f(x) = ax + b

Ce vei învăța

Ideea de bază

Funcția liniară f(x) = ax + b

Graficul pe domeniu finit și pe un interval

Graficul pe toată mulțimea ℝ

Rolul coeficientului a: direcția dreptei

Rolul coeficientului b: valoarea în x = 0

Intersecțiile cu axele

Cum citești un grafic

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifică a și b

Exemplul 2: grafic pe domeniu finit

Exemplul 3: grafic pe un interval

Exemplul 4: grafic pe ℝ, funcție crescătoare

Exemplul 5: grafic pe ℝ, funcție descrescătoare

Exemplul 6: intersecția cu Oy

Exemplul 7: intersecția cu Ox

Exemplul 8: ambele intersecții și graficul

Exemplul 9: citirea unui grafic dat

Exemplul 10: coeficient fracționar, domeniu finit

Exemplul 11: funcție constantă negativă

Exemplul 12: monotonia din formulă

Exemplul 13: problemă aplicată

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a