Fracții zecimale periodice

Q: Care este diferența dintre 0,5 și 0,555…?

0,5 este o dezvoltare zecimală finită, cu o singură cifră după virgulă. 0,555… este periodică, pentru că cifra 5 se repetă la nesfârșit.

Q: Toate împărțirile dau rezultate finite?

Nu. Unele împărțiri, ca 1: 4, se termină cu rest 0 și dau o dezvoltare finită. Altele, ca 1: 3, nu ajung niciodată la rest 0 și dau o dezvoltare periodică.

Ce vei învăța

Recunoști dacă o dezvoltare zecimală este finită sau periodică.
Identifici perioada unei fracții zecimale periodice.
Scrii corect o fracție zecimală periodică, cu perioada între paranteze.
Deosebești o fracție zecimală periodică simplă de una mixtă.
Obții o dezvoltare zecimală periodică printr-o împărțire care nu se termină.
Transformi o fracție zecimală periodică simplă în fracție ordinară.
Transformi o fracție zecimală periodică mixtă în fracție ordinară, reducând-o la una simplă.

Recomandat înainte: Împărțirea fracțiilor zecimale. Media aritmetică

Ideea de bază

La împărțirea fracțiilor zecimale, ai văzut împărțiri care se termină, cu rest zero. Nu toate împărțirile se termină: uneori restul se repetă la nesfârșit, și atunci și cifrele câtului se repetă după un anumit tipar. Aceasta este o fracție zecimală periodică.

Grupul de cifre care se repetă la nesfârșit se numește perioadă și se scrie o singură dată, între paranteze rotunde, imediat după virgulă sau după cifrele care nu se repetă.

O împărțire care nu se termină

La lecția anterioară, orice împărțire pe care ai făcut-o s-a terminat, la un moment dat, cu rest zero. Încearcă acum să împarți $1$ la $3$

1 : 3

1 împărțit la 3

10 : 3 = 3 \text{ rest } 1

coborâm un zero: 10 împărțit la 3 dă 3, rest 1

10 : 3 = 3 \text{ rest } 1

coborâm iar un zero: restul este tot 1, deci cifra 3 apare din nou

Restul $1$ se repetă mereu, așa că și cifra $3$ a câtului se repetă la nesfârșit. Rezultatul nu este o dezvoltare zecimală finită.

1 : 3 = 0{,}333\ldots

Cifra care se repetă

Cifra $3$ se repetă la nesfârșit după virgulă. Spunem că $0{,}333\ldots$ este o fracție zecimală periodică, iar $3$ este perioada ei.

Ce este o fracție zecimală periodică

O dezvoltare zecimală este periodică atunci când, după virgulă, una sau mai multe cifre se repetă la nesfârșit, mereu în aceeași ordine.

La $0{,}333\ldots$ se repetă cifra $3$
La $0{,}121212\ldots$ se repetă grupul de cifre $12$
La $0{,}1666\ldots$ după cifra $1$ se repetă doar cifra $6$

Grupul de cifre care se repetă la nesfârșit se numește perioadă. Perioada se scrie o singură dată, între paranteze rotunde. Punctele de suspensie $0{,}333\ldots$ arată doar că cifrele continuă; forma corectă, care spune clar care este perioada, este cea cu paranteze: $0{,}(3)$

Perioada și scrierea corectă

Perioada este exact grupul de cifre care se repetă. O scrii o singură dată, între paranteze, chiar după virgulă (sau după cifrele care nu se repetă, dacă există).

Perioada unei fracții zecimale periodice
Dezvoltare	Perioadă	Scriere corectă
$0{,}333\ldots$	$3$	$0{,}(3)$
$0{,}121212\ldots$	$12$	$0{,}(12)$
$2{,}1666\ldots$	$6$	$2{,}1(6)$

Paranteze sau bară: același lucru

Pe eMatematica scriem perioada între paranteze rotunde: $0{,}(3)$ În unele manuale sau culegeri o poți întâlni scrisă cu o bară deasupra cifrelor care se repetă: $0{,}\overline{3}$ Cele două scrieri înseamnă exact același lucru: ${0{,}(3) = 0{,}\overline{3}}$

Doar cifrele care se repetă intră în paranteză

La $2{,}1(6)$ cifra $1$ nu se repetă, deci nu intră în paranteză. Între paranteze scrii numai cifrele care se repetă la nesfârșit, adică perioada.

Fracție zecimală periodică simplă și mixtă

O fracție zecimală periodică este simplă atunci când perioada începe imediat după virgulă.

0{,}(3) \qquad 0{,}(12)

O fracție zecimală periodică este mixtă atunci când, între virgulă și perioadă, mai există una sau mai multe cifre care nu se repetă.

0{,}1(6) \qquad 0{,}2(45)

La $0{,}1(6)$ cifra $1$ de după virgulă nu se repetă, iar $6$ este perioada. La $0{,}2(45)$ cifra $2$ nu se repetă, iar $45$ este perioada.

Dezvoltare finită sau periodică

La împărțiri, unele rezultate sunt fracții zecimale finite, iar altele sunt periodice. Diferența se vede din faptul că restul ajunge sau nu ajunge vreodată la $0$

Împărțiri cu rezultat finit și cu rezultat periodic
Împărțire	Rezultat	Tip
$1 : 2$	$0{,}5$	finit
$1 : 4$	$0{,}25$	finit
$1 : 3$	$0{,}(3)$	periodic

La o dezvoltare finită, împărțirea se termină la un moment dat, cu rest $0$ La o dezvoltare periodică, restul nu ajunge niciodată $0$ ci se repetă, și odată cu el se repetă și cifrele câtului.

Cum obții o dezvoltare periodică prin împărțire

Împarți exact ca la lecția anterioară, cifră cu cifră, coborând câte un zero lângă rest. Diferența este că, la o dezvoltare periodică, un rest care a mai apărut deja se repetă, semn că ai găsit perioada.

2 : 3

2 împărțit la 3

20 : 3 = 6 \text{ rest } 2

coborâm un zero: 20 împărțit la 3 dă 6, rest 2

20 : 3 = 6 \text{ rest } 2

restul 2 a mai apărut deja, deci cifra 6 se repetă

2 : 3 = 0{,}(6)

perioada este 6

1 : 6

1 împărțit la 6

10 : 6 = 1 \text{ rest } 4

coborâm un zero: 10 împărțit la 6 dă 1, rest 4

40 : 6 = 6 \text{ rest } 4

coborâm iar un zero: 40 împărțit la 6 dă 6, rest 4

40 : 6 = 6 \text{ rest } 4

restul 4 se repetă, deci cifra 6 se repetă la nesfârșit

1 : 6 = 0{,}1(6)

cifra 1 nu se repetă, perioada este 6

Semnul unei perioade

Dacă, la o împărțire, un rest pe care l-ai mai obținut deja apare din nou, cifrele câtului încep să se repete de acolo încolo. Acolo începe perioada.

Transformarea unei fracții zecimale periodice simple în fracție ordinară

O fracție zecimală periodică simplă se transformă în fracție ordinară după o regulă simplă: la numărător scrii perioada, iar la numitor scrii un număr format din tot atâtea cifre de $9$ câte cifre are perioada.

0{,}(3)

perioada este 3, are o singură cifră

0{,}(3) = \dfrac{3}{9}

numărător: perioada 3; numitor: o singură cifră de 9

\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}

simplificăm fracția

0{,}(12)

perioada este 12, are două cifre

0{,}(12) = \dfrac{12}{99}

numărător: perioada 12; numitor: două cifre de 9

\dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}

simplificăm fracția

Câte cifre de 9, atâtea cifre are perioada

La o perioadă cu o cifră, numitorul este $9$ La o perioadă cu două cifre, numitorul este $99$ Numărul de cifre de $9$ este mereu egal cu numărul de cifre din perioadă.

Transformarea unei fracții zecimale periodice mixte în fracție ordinară

O periodică mixtă are, înainte de perioadă, cifre care nu se repetă. Nu ai nevoie de o regulă nouă: muți virgula peste cifrele care nu se repetă, ca să obții o periodică simplă, pe care știi deja s-o transformi.

0{,}1(6)

partea care nu se repetă: 1; perioada: 6

0{,}1(6) \times 10 = 1{,}(6)

înmulțim cu 10: virgula trece peste cifra 1, perioada începe imediat după virgulă

1{,}(6) = 1 + 0{,}(6) = 1 + \dfrac{6}{9} = \dfrac{15}{9}

periodică simplă: 6 la numărător, 9 la numitor

0{,}1(6) = \dfrac{15}{9} : 10 = \dfrac{15}{90}

ne întoarcem: împărțim la 10, cât am înmulțit la început

\dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}

simplificăm cu 15

Verificare: mai sus ai obținut, prin împărțire, $1 : 6 = 0{,}1(6)$ Rezultatul se potrivește.

Din acești pași se vede și o scurtătură. La numitor, câte o cifră de $9$ vine de la fiecare cifră a perioadei, iar câte un $0$ vine de la fiecare cifră care nu se repetă (de la împărțirea la $10$ La numărător ajungi la $15 = 16 - 1$ adică numărul format din cifrele de după virgulă, până la capătul perioadei, minus numărul format din cifrele care nu se repetă.

0{,}2(45) = \dfrac{245 - 2}{990}

perioada are 2 cifre: 99; o cifră nu se repetă: un 0

= \dfrac{243}{990}

scădem

= \dfrac{27}{110}

simplificăm cu 9

Scurtătura vine din pași, nu din memorie

Dacă nu ești sigur de scurtătură, refaci pașii: înmulțești cu $10$ (sau $100$ transformi periodica simplă și împarți înapoi. Ajungi la aceeași fracție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: finit sau periodic

Este $0{,}75$ o dezvoltare finită sau periodică?

Vezi rezolvarea

Dezvoltarea se oprește după două cifre, fără nicio cifră care să se repete la nesfârșit.

$0{,}75$ este o dezvoltare zecimală finită.

Exemplul 2: identificarea perioadei

Care este perioada dezvoltării $0{,}454545\ldots$

Vezi rezolvarea

Grupul de cifre care se repetă la nesfârșit este $45$

0{,}454545\ldots = 0{,}(45)

Exemplul 3: scrierea corectă a perioadei

Scrie corect, cu perioada între paranteze, dezvoltarea $3{,}277\ldots$ unde se repetă doar cifra $7$

Vezi rezolvarea

Cifra $2$ de după virgulă nu se repetă, deci nu intră în paranteză. Perioada este $7$

3{,}277\ldots = 3{,}2(7)

Exemplul 4: dezvoltare obținută prin împărțire

Calculează $4 : 9$ și scrie rezultatul corect.

Vezi rezolvarea

$40 : 9 = 4$ rest $4$ Restul $4$ se repetă la fiecare pas, deci cifra $4$ a câtului se repetă.

4 : 9 = 0{,}(4)

Exemplul 5: două numere care seamănă, dar sunt diferite

Este $0{,}(3)$ același număr cu $0{,}33$

Vezi rezolvarea

$0{,}(3)$ înseamnă $0{,}333\ldots$ cu cifra $3$ repetată la nesfârșit.

$0{,}33$ are doar două cifre după virgulă, deci este o dezvoltare finită, nu aceeași cu $0{,}(3)$

$0{,}(3)$ și $0{,}33$ nu sunt scrieri echivalente ale aceluiași număr.

Exemplul 6: identificarea unei scrieri greșite

Ce este greșit la scrierea $0{,}12(12)$ pentru dezvoltarea $0{,}121212\ldots$

Vezi rezolvarea

Perioada este $12$ și trebuie scrisă o singură dată, între paranteze, imediat după virgulă.

Scrierea corectă este $0{,}(12)$ nu $0{,}12(12)$ care repetă inutil perioada înainte de paranteză.

Exemplul 7: simplă sau mixtă

Este $0{,}2(45)$ o fracție zecimală periodică simplă sau mixtă?

Vezi rezolvarea

Perioada $45$ nu începe imediat după virgulă, pentru că cifra $2$ nu se repetă.

$0{,}2(45)$ este o fracție zecimală periodică mixtă.

Exemplul 8: transformare în fracție ordinară

Transformă $0{,}(6)$ în fracție ordinară.

Vezi rezolvarea

Perioada este $6$ are o singură cifră, deci numitorul are o singură cifră de $9$

0{,}(6) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}

Exemplul 9: caz contextual

Trei prieteni împart egal $1$ leu. Câți lei revin fiecăruia, ca număr zecimal?

Vezi rezolvarea

Fiecare primește $1 : 3$ lei.

1 : 3 = 0{,}(3)

Un leu nu se împarte exact în 3 părți egale: restul nu ajunge niciodată $0$ iar dezvoltarea zecimală este periodică. În bani, fiecare ar primi aproximativ $0{,}33$ lei.

Exemplul 10: periodică mixtă în fracție ordinară

Transformă $0{,}3(8)$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea

Cifra $3$ nu se repetă, perioada este $8$ Înmulțim cu $10$ ca perioada să înceapă imediat după virgulă.

0{,}3(8) \times 10 = 3{,}(8) = 3 + \dfrac{8}{9} = \dfrac{35}{9}

0{,}3(8) = \dfrac{35}{9} : 10 = \dfrac{35}{90} = \dfrac{7}{18}

Cu scurtătura: $\dfrac{38 - 3}{90} = \dfrac{35}{90} = \dfrac{7}{18}$ Același rezultat.

Greșeli frecvente

Confundă o dezvoltare zecimală finită cu una periodică doar pentru că are multe cifre după virgulă.
O dezvoltare este periodică doar dacă un grup de cifre se repetă la nesfârșit, nu doar pentru că are multe zecimale scrise.
Alege greșit perioada, incluzând în paranteză și cifre care nu se repetă.
Între paranteze scrii numai cifrele care se repetă la nesfârșit. Cifrele dinaintea lor, care nu se repetă, rămân în afara parantezei.
Include cifrele nerepetitive în perioadă, de exemplu scrie $0{,}(16)$ în loc de $0{,}1(6)$
Verifici cu grijă de unde începe repetarea. Doar de acolo încolo este perioada.
Scrie doar câteva cifre ale dezvoltării, fără paranteze și fără puncte de suspensie, de parcă dezvoltarea s-ar termina, de exemplu $0{,}333$
O dezvoltare periodică trebuie mereu marcată. Forma corectă este cu perioada între paranteze $0{,}(3)$ Punctele de suspensie $0{,}333\ldots$ arată doar că cifrele continuă.
Folosește punctul în loc de virgulă la scrierea unui număr zecimal, de exemplu $0.3$ în loc de $0{,}3$
În România, numerele zecimale se scriu cu virgulă: $0{,}3$ nu $0.3$
Pune și virgula în paranteză, de exemplu $(0{,}3)$
În paranteză intră doar cifrele perioadei, niciodată virgula: $0{,}(3)$
Crede că orice împărțire cu rest dă o dezvoltare periodică.
Multe împărțiri cu rest ajung totuși la rest $0$ după câțiva pași și dau o dezvoltare finită, de exemplu $1 : 4 = 0{,}25$ Periodicitatea apare doar când restul nu ajunge niciodată $0$
Transformă periodica mixtă $0{,}7(2)$ ca pe una simplă și scrie $\dfrac{72}{99}$
Cifra $7$ nu se repetă. Înmulțești întâi cu $10$ și obții $7{,}(2) = 7 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{65}{9}$ apoi împarți la $10$ și obții $\dfrac{65}{90} = \dfrac{13}{18}$

Exerciții

Ușor

Este $0{,}5$ o dezvoltare finită sau periodică?
Arată răspunsul
Răspuns: finită
Este $0{,}666\ldots$ o dezvoltare finită sau periodică?
Arată răspunsul
Răspuns: periodică
Care este perioada dezvoltării $0{,}777\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Scrie corect, cu perioada între paranteze, dezvoltarea $0{,}999\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(9)$
Care este perioada dezvoltării $0{,}181818\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $18$

Mediu

Scrie corect, cu perioada între paranteze, dezvoltarea $0{,}181818\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(18)$
Este $0{,}1(3)$ o fracție zecimală periodică simplă sau mixtă?
Arată răspunsul
Răspuns: mixtă
Cifra $1$ de după virgulă nu se repetă, deci perioada nu începe imediat după virgulă.
Calculează $1 : 9$ și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(1)$
$10 : 9 = 1$ rest $1$ restul se repetă, deci cifra $1$ se repetă la nesfârșit.
Calculează $2 : 9$ și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(2)$
$20 : 9 = 2$ rest $2$ restul se repetă, deci cifra $2$ se repetă la nesfârșit.
Completează perioada: $0{,}242424\ldots = 0{,}(\phantom{00})$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(24)$
Un elev a scris $0{,}(03)$ pentru dezvoltarea $0{,}0333\ldots$ unde se repetă doar cifra $3$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: a inclus greșit cifra 0 în perioadă
Cifra $0$ de după virgulă nu se repetă. Scrierea corectă este $0{,}0(3)$
Transformă $0{,}(2)$ în fracție ordinară.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{9}$
Perioada $2$ are o singură cifră, deci numitorul este $9$ $0{,}(2) = \dfrac{2}{9}$
Transformă $0{,}1(2)$ în fracție ordinară.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{11}{90}$
$0{,}1(2) \times 10 = 1{,}(2) = 1 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{11}{9}$ împărțim la $10$ și obținem $\dfrac{11}{90}$
Transformă $0{,}4(6)$ în fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{15}$
$\dfrac{46 - 4}{90} = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$

Provocare

Transformă $0{,}(45)$ în fracție ordinară și simplifică.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{11}$
Perioada $45$ are două cifre: $0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$
Calculează $5 : 6$ și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}8(3)$
$50 : 6 = 8$ rest $2$ $20 : 6 = 3$ rest $2$ restul $2$ se repetă, deci perioada este $3$
Este dezvoltarea obținută din $3 : 8$ finită sau periodică? Calculeaz-o.
Arată răspunsul
Răspuns: finită, $0{,}375$
$30 : 8 = 3$ rest $6$ $60 : 8 = 7$ rest $4$ $40 : 8 = 5$ rest $0$ Restul ajunge $0$ deci dezvoltarea este finită.
Un elev spune că $0{,}(3)$ și $0{,}3$ sunt același număr. Are dreptate? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: nu
$0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ cu cifra $3$ repetată la nesfârșit, iar $0{,}3$ are o singură zecimală. Nu sunt același număr.
Transformă $0{,}12(3)$ în fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{37}{300}$
Două cifre nu se repetă, deci înmulțim cu $100$ și obținem $12{,}(3) = 12 + \dfrac{3}{9} = \dfrac{111}{9}$ Împărțim la $100$ și obținem $\dfrac{111}{900} = \dfrac{37}{300}$ Cu scurtătura: $\dfrac{123 - 12}{900}$
Transformă $1{,}2(7)$ în fracție ordinară.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{23}{18}$
$1{,}2(7) = 1 + 0{,}2(7)$ iar $0{,}2(7) = \dfrac{27 - 2}{90} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}$ Deci $1 + \dfrac{5}{18} = \dfrac{23}{18}$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este o dezvoltare zecimală periodică?
1. orice dezvoltare cu multe cifre după virgulă
2. o dezvoltare care se termină întotdeauna după 3 cifre
3. o dezvoltare în care una sau mai multe cifre se repetă la nesfârșit, în aceeași ordine
4. o dezvoltare care nu are virgulă
Arată răspunsul
Răspuns: o dezvoltare în care una sau mai multe cifre se repetă la nesfârșit, în aceeași ordine
Periodicitatea înseamnă repetarea la nesfârșit a unui grup de cifre, mereu în aceeași ordine.
2. Care este perioada dezvoltării $0{,}555\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: 5
Cifra $5$ se repetă la nesfârșit, deci perioada este $5$
3. Cum se scrie corect perioada unei fracții zecimale periodice?
1. o singură dată, între paranteze rotunde
2. de câteva ori la rând, fără alt semn
3. între ghilimele
4. cu font îngroșat, fără alt semn
Arată răspunsul
Răspuns: o singură dată, între paranteze rotunde
Perioada se scrie o singură dată, între paranteze, ex. $0{,}(3)$
4. Calculează $7 : 9$ și scrie rezultatul corect, cu perioada între paranteze.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(7)$
$70 : 9 = 7$ rest $7$ restul se repetă, deci $7 : 9 = 0{,}(7)$
5. Care este diferența dintre $0{,}5$ și $0{,}(5)$
1. nu există nicio diferență
2. $0{,}5$ este mai mare
3. $0{,}(5)$ nu este un număr valid
4. $0{,}5$ este o dezvoltare finită, $0{,}(5)$ este periodică, cu $5$ repetat la nesfârșit
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}5$ este o dezvoltare finită, $0{,}(5)$ este periodică, cu $5$ repetat la nesfârșit
$0{,}5$ are o singură zecimală, iar $0{,}(5) = 0{,}555\ldots$ repetă cifra $5$ la nesfârșit.
6. Ce fel de fracție zecimală periodică este $0{,}2(7)$
1. simplă
2. mixtă
3. finită
4. nu este periodică
Arată răspunsul
Răspuns: mixtă
Cifra $2$ de după virgulă nu se repetă, deci perioada nu începe imediat după virgulă: este mixtă.
7. Este orice împărțire de numere naturale o dezvoltare periodică? Răspunde cu da sau nu.
Arată răspunsul
Răspuns: nu
Unele împărțiri se termină cu rest $0$ și dau o dezvoltare finită, de exemplu $1 : 4 = 0{,}25$
8. Calculează $1 : 11$ și scrie rezultatul corect, cu perioada între paranteze.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}(09)$
$10 : 11 = 0$ rest $10$ apoi $100 : 11 = 9$ rest $1$ restul $1$ se repetă, deci cifrele $0$ și $9$ se repetă: $1 : 11 = 0{,}(09)$
9. Ce numitor obții, înainte de simplificare, când transformi $0{,}5(6)$ în fracție ordinară?
1. $9$
2. $99$
3. $90$
4. $900$
Arată răspunsul
Răspuns: $90$
Perioada are o cifră (un $9$ iar o cifră nu se repetă (un $0$ $0{,}5(6) = \dfrac{56 - 5}{90} = \dfrac{51}{90}$

Întrebări frecvente

Ce este o fracție zecimală periodică?

Este o dezvoltare zecimală în care una sau mai multe cifre se repetă la nesfârșit, mereu în aceeași ordine, de exemplu $0{,}333\ldots$

Ce înseamnă perioada?

Perioada este grupul de cifre care se repetă la nesfârșit. La $0{,}333\ldots$ perioada este $3$ la $0{,}121212\ldots$ perioada este $12$

Cum scriem perioada?

Perioada se scrie o singură dată, între paranteze rotunde, imediat după virgulă sau după cifrele care nu se repetă: $0{,}(3)$ $0{,}1(6)$ Poți întâlni și scrierea cu bară deasupra perioadei, $0{,}\overline{3}$ este același lucru.

Care este diferența dintre

0{,}5

și

0{,}555\ldots

$0{,}5$ este o dezvoltare zecimală finită, cu o singură cifră după virgulă. $0{,}555\ldots$ este periodică, pentru că cifra $5$ se repetă la nesfârșit.

Toate împărțirile dau rezultate finite?

Nu. Unele împărțiri, ca $1 : 4$ se termină cu rest $0$ și dau o dezvoltare finită. Altele, ca $1 : 3$ nu ajung niciodată la rest $0$ și dau o dezvoltare periodică.

Ce vei învăța

Ideea de bază

O împărțire care nu se termină

Ce este o fracție zecimală periodică

Perioada și scrierea corectă

Fracție zecimală periodică simplă și mixtă

Dezvoltare finită sau periodică

Cum obții o dezvoltare periodică prin împărțire

Transformarea unei fracții zecimale periodice simple în fracție ordinară

Transformarea unei fracții zecimale periodice mixte în fracție ordinară

Exemple rezolvate

Exemplul 1: finit sau periodic

Exemplul 2: identificarea perioadei

Exemplul 3: scrierea corectă a perioadei

Exemplul 4: dezvoltare obținută prin împărțire

Exemplul 5: două numere care seamănă, dar sunt diferite

Exemplul 6: identificarea unei scrieri greșite

Exemplul 7: simplă sau mixtă

Exemplul 8: transformare în fracție ordinară

Exemplul 9: caz contextual

Exemplul 10: periodică mixtă în fracție ordinară

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I