Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 56 din 130

1. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar $m(\angle 4) = m(\angle 6) = 128°$. Sunt $a$ și $b$ paralele? Justifică.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, $a \parallel b$.

   Arată rezolvarea

   $\angle 4$ și $\angle 6$ sunt alterne interne congruente.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar $m(\angle 3) = 72°$ și $m(\angle 6) = 108°$. Sunt $a$ și $b$ paralele?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, $a \parallel b$.

   Arată rezolvarea

   $\angle 3$ și $\angle 6$ sunt interne de aceeași parte a secantei, iar $72° + 108° = 180°$, deci sunt suplementare.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Știm că $a \parallel b$ și $m(\angle 1) = 47°$. Calculează $m(\angle 5)$, $m(\angle 7)$ și $m(\angle 6)$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $m(\angle 5) = 47°$, $m(\angle 7) = 47°$, $m(\angle 6) = 133°$.

   Arată rezolvarea

   $\angle 5$ este corespondent cu $\angle 1$; $\angle 7$ este alternă externă cu $\angle 1$; $\angle 6$ este suplementar cu $\angle 5$: $180° - 47° = 133°$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Dreptele distincte $a$, $b$, $c$ verifică $a \parallel b$ și $b \parallel c$. Scrie relația dintre $a$ și $c$ cu notația corectă.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $a \parallel c$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Dreptele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$, iar unghiurile alterne interne $\angle 3$ și $\angle 5$ au fiecare $74°$. Sunt $a$ și $b$ paralele?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da, $a \parallel b$.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile alterne interne sunt egale, deci criteriul de paralelism este îndeplinit.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Dreptele $a$, $b$, $d$ sunt tăiate de secanta $s$. Unghiurile marcate sunt în aceeași poziție (sus-dreapta) în cele trei puncte de intersecție. Găsește toate perechile de drepte paralele.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Doar $a \parallel b$.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile de pe $a$ și $b$ sunt corespondente și egale ($62°$), deci $a \parallel b$. Pe $d$ unghiul corespondent are $61°$. Dacă $d$ ar fi paralelă cu $a$, unghiul ar avea tot $62°$, deci $d \nparallel a$ și, la fel, $d \nparallel b$. Pe desen diferența de $1°$ abia se observă.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Știm că $a \parallel b$, iar $m(\angle 3) = 2x + 15°$ și $m(\angle 5) = 3x - 10°$. Calculează $x$ și $m(\angle 3)$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 25°$, $m(\angle 3) = 65°$.

   Arată rezolvarea

   Alterne interne la drepte paralele: $2x + 15° = 3x - 10°$, deci $x = 25°$ și $m(\angle 3) = 2 \cdot 25° + 15° = 65°$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Știm că $a \parallel b$, iar $m(\angle 4) = 3x$ și $m(\angle 5) = x + 20°$. Calculează măsurile celor două unghiuri.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $m(\angle 4) = 120°$, $m(\angle 5) = 60°$.

   Arată rezolvarea

   Interne de aceeași parte a secantei la drepte paralele, deci suplementare: $3x + x + 20° = 180°$, $4x = 160°$, $x = 40°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

   Un elev scrie: „$m(\angle 1) = 50°$ și $m(\angle 8) = 50°$, deci $a \parallel b$.” Unde greșește? Sunt dreptele paralele?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Greșește; dreptele nu sunt paralele.

   Arată rezolvarea

   $\angle 1$ și $\angle 8$ sunt externe de aceeași parte a secantei. La drepte paralele ar fi suplementare, dar $50° + 50° = 100° \ne 180°$. Deci $a \nparallel b$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-aProvocare

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

    Dreptele distincte $a$ și $c$ sunt amândouă paralele cu dreapta $b$. Explică, folosind axioma paralelelor, de ce $a$ și $c$ nu pot avea un punct comun.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Dacă ar avea un punct comun $M$, prin $M$ ar trece două paralele diferite la $b$, ceea ce contrazice axioma paralelelor.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Completează definiția: două drepte sunt perpendiculare dacă …

    Arată răspunsul

    Răspuns: se intersectează și formează un unghi drept ($90°$).

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Cum se citește $m \perp n$? Dar $m \parallel n$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: „$m$ este perpendiculară pe $n$”; „$m$ este paralelă cu $n$”.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    În figură, ce drepte sunt date ca perpendiculare?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $m \perp n$.

    Arată rezolvarea

    Doar în $A$ este marcat unghiul drept. Dreapta $p$ este oblică față de $m$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Două drepte sunt perpendiculare. Câte unghiuri drepte formează ele în punctul de intersecție?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Patru.

    Arată rezolvarea

    Unghiul opus la vârf are tot $90°$, iar fiecare unghi alăturat are $180° - 90° = 90°$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Completează: mediatoarea unui segment este dreapta … pe segment, care trece prin … segmentului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: perpendiculară; mijlocul.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Adevărat sau fals: „Orice dreaptă care trece prin mijlocul unui segment este mediatoarea lui.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals.

    Arată rezolvarea

    Mediatoarea trebuie să fie și perpendiculară pe segment.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-aUșor

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Punctul $P$ este chiar pe dreapta $d$. Care este simetricul lui $P$ față de $d$? Cât este distanța de la $P$ la $d$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Simetricul este chiar $P$; distanța este $0$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-aMediu

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Punctele $A$, $H$, $B$ sunt pe dreapta $d$. Care segment arată distanța de la $P$ la $d$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $PH$.

    Arată rezolvarea

    Doar $PH$ este perpendicular pe $d$ (careul din $H$). $PA$ și $PB$ sunt oblice.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-aMediu

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    $PH \perp d$, cu $H$ pe $d$, $PH = 6\text{ cm}$, iar $A$ este un alt punct al lui $d$, cu $PA = 10\text{ cm}$. Cât este distanța de la $P$ la $d$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $6\text{ cm}$.

    Arată rezolvarea

    Distanța este lungimea perpendicularei $PH$; $PA$ este o oblică.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-aMediu

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    $OA \perp OB$, iar semidreapta $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$, cu $m(\angle AOC) = 48°$. Calculează $m(\angle COB)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $m(\angle COB) = 42°$.

    Arată rezolvarea

    $m(\angle AOB) = 90°$, deci $m(\angle COB) = 90° - 48° = 42°$.

    Vezi lecția