Cilindrul și conul circular drept

Q: Cum știu ce relație leagă raza, înălțimea și generatoarea unui con?

Sunt laturile unui triunghi dreptunghic (VOA, dreptunghic în O): g² = r² + h², unde g este generatoarea, r raza și h înălțimea.

Un pahar cilindric sau o pălărie de petrecere conică arată altfel decât un cub sau o piramidă: au o parte curbă. Cilindrul și conul circular drept sunt corpuri rotunde, obținute prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe. Lecția asta pornește de la ideea de rotație, trece prin elementele fiecărui corp (baze, rază, generatoare, înălțime, axă) și ajunge la desfășurarea fiecăruia, desenul plan din care, prin pliere, iese corpul.

~ 22 min de citit

Ce vei învăța

Definești un corp rotund și explici prin rotația căror figuri plane se obțin cilindrul și conul circular drept.
Identifici bazele, centrele, raza, generatoarea, înălțimea și axa unui cilindru circular drept.
Identifici baza, vârful, raza, generatoarea, înălțimea și axa unui con circular drept.
Aplici relația dintre rază, înălțime și generatoare la conul circular drept (teorema lui Pitagora).
Recunoști și analizezi desfășurarea unui cilindru (un dreptunghi și două cercuri).
Recunoști și analizezi desfășurarea unui con (un sector de cerc și un cerc).

Recomandat înainte: Prisma, piramida, tetraedrul, cubul, paralelipipedul dreptunghic

Ideea de bază

Un corp rotund este un corp geometric obținut prin rotirea completă a unei figuri plane în jurul unei drepte fixe, numită axă de rotație. Spre deosebire de un poliedru, suprafața lui laterală este curbă, nu formată din poligoane plane.

Cilindrul se obține rotind un dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui: acea latură devine axa

OO'

latura opusă „mătură” suprafața laterală curbă, iar generatoarea

AA'

este exact acea latură, în orice poziție a rotației.

Conul se obține la fel, prin rotația unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete. Lecția continuă cu el în detaliu, în secțiunea proprie.

Corpuri rotunde: obținute prin rotație

Un poliedru (prisma, piramida, cubul) este mărginit numai de fețe plane. Cilindrul și conul sunt altfel: au cel puțin o parte a suprafeței curbă. Se numesc corpuri rotunde, pentru că se obțin prin rotirea completă a unei figuri plane în jurul unei drepte fixe, numită axă de rotație.

Cilindrul circular drept se obține prin rotația unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui. Acea latură devine axa; latura opusă, paralelă cu ea, „mătură” suprafața laterală curbă; celelalte două laturi, perpendiculare pe axă, „mătură” cele două baze circulare.
Conul circular drept se obține prin rotația unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catetele lui. Acea catetă devine axa (și înălțimea); cealaltă catetă „mătură” baza circulară; ipotenuza „mătură” suprafața laterală curbă și devine generatoarea.

De ce „circular drept”

„Circular” arată că baza este un cerc. „Drept” arată că axa de rotație este perpendiculară pe planul bazei (trece exact prin centrul ei). Există și cilindri sau conuri oblice, cu axa înclinată, dar ele nu fac obiectul acestei lecții.

Corp rotund ≠ poliedru

Un corp rotund nu are vârfuri, muchii și fețe în sensul de la poliedre: partea lui curbă nu este o „față” plană și nu are „muchii”. Doar cercurile care mărginesc bazele sunt curbe cu rol asemănător unei muchii, dar rămân cercuri, nu segmente.

Cilindrul circular drept: elemente

Cilindrul circular drept are două baze, două cercuri congruente, situate în plane paralele, cu centrele pe aceeași perpendiculară comună.

Bazele sunt cele două cercuri congruente, cu centrele $O$ (baza de sus) și $O'$ (baza de jos), de aceeași rază $r$
Axa este dreapta $OO'$ care unește centrele celor două baze.
Suprafața laterală este partea curbă dintre cele două baze.
O generatoare este un segment care unește un punct al unui cerc cu punctul corespunzător (aflat pe aceeași paralelă la axă) al celuilalt cerc, ca $AA'$ La cilindrul drept, toate generatoarele sunt paralele cu axa, congruente între ele și congruente cu înălțimea.
Înălțimea $h$ este distanța dintre planele celor două baze.

Cilindrul

OO'

bazele au centrele

O

și

O'

și raza

r

Segmentul

AA'

este o generatoare, paralelă cu axa

OO'

La cilindrul drept, lungimea generatoarei este exact înălțimea

h

Generatoarea = înălțimea, la cilindrul drept

Pentru că axa este perpendiculară pe baze și fiecare generatoare este paralelă cu axa, orice generatoare are exact lungimea $h$ La un cilindru oblic asta nu mai este adevărat, dar cilindrul oblic nu face obiectul acestei lecții.

Generatoarea nu este o muchie

Cilindrul nu are muchii, ca prisma sau piramida: suprafața lui laterală este curbă, nu formată din dreptunghiuri plane. Generatoarea este un segment util pentru a descrie suprafața laterală, dar nu delimitează două fețe plane vecine.

Conul circular drept: elemente

Conul circular drept are o singură bază, un cerc, și un vârf, situat pe perpendiculara dusă din centrul bazei.

Baza este cercul de centru $O$ și rază $r$
Vârful (apexul) este punctul $V$ situat în afara planului bazei.
Axa este dreapta $VO$
Înălțimea $h$ este lungimea segmentului $VO$ perpendicular pe planul bazei.
O generatoare este un segment care unește vârful cu un punct de pe cercul bazei, ca $VA$ La conul drept, toate generatoarele sunt congruente între ele, cu lungimea notată $g$ pentru că $V$ se proiectează exact în centrul $O$ al bazei.

Conul

V

–bază de centru

O

raza este

r

înălțimea este

VO = h

iar generatoarea este

VA = g

Triunghiul

VOA

este dreptunghic în

O

deci

g^2 = r^2 + h^2

(aici, cu

r = 3

h = 4

rezultă

g = 5

Rază, înălțime, generatoare: un triunghi dreptunghic

În triunghiul $VOA$ unghiul din $O$ este drept $VO$ este perpendicular pe planul bazei, deci și pe raza $OA$ care este în acel plan). Prin teorema lui Pitagora, $g^2 = r^2 + h^2$ Cunoscând oricare două dintre $r$ $h$ $g$ o afli pe a treia.

g^2 = r^2 + h^2

Generatoarea nu unește vârful cu orice punct

Generatoarea unește vârful $V$ doar cu un punct de PE cercul bazei, nu cu un punct oarecare din interiorul discului bazei sau din interiorul conului.

Desfășurarea cilindrului

Desfășurarea cilindrului este formată dintr-un dreptunghi (suprafața laterală, „desfăcută” în plan) și două cercuri (cele două baze).

O latură a dreptunghiului este chiar înălțimea cilindrului, $h$
Cealaltă latură are lungimea egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi r$ atunci când dreptunghiul se pliază înapoi în jurul axei, această latură „închide” exact cercul bazei.
Cele două cercuri, de rază $r$ se atașează câte unul la fiecare dintre laturile de lungime $2\pi r$ ale dreptunghiului.

Dreptunghiul lateral are lățimea

2\pi r

(lungimea cercului bazei) și înălțimea

h

Cele două cercuri, de rază

r

devin cele două baze.

$2\pi r$ nu diametrul

Lățimea dreptunghiului lateral este lungimea cercului bazei, $2\pi r$ nu diametrul $2r$ și nici raza $r$ Este o greșeală frecventă să confunzi lungimea cercului cu diametrul lui.

Desfășurarea conului

Desfășurarea conului este formată dintr-un sector de cerc (suprafața laterală) și un cerc (baza).

Sectorul de cerc are raza egală cu generatoarea conului, $g$
Arcul sectorului are lungimea egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi r$ atunci când sectorul se pliază în jurul vârfului, arcul „închide” exact cercul bazei.
Cercul, de rază $r$ se atașează pe arcul sectorului (baza conului).

Sectorul de cerc are raza

g

(generatoarea) și arcul de lungime

2\pi r

(lungimea cercului bazei, aici

r = 3

g = 5

Cercul de rază

r

devine baza conului.

Unghiul sectorului nu e la alegere

Unghiul sectorului este determinat exact de raportul dintre rază și generatoare: din $2\pi r = g \cdot \theta$ (lungimea arcului, cu $\theta$ în radiani), rezultă $\theta = \dfrac{r}{g}\cdot 360°$ în grade. Nu poți alege orice unghi pentru un $r$ și un $g$ date.

Raza sectorului este generatoarea, nu raza bazei

Raza sectorului din desfășurare este generatoarea $g$ a conului, nu raza $r$ a bazei. Cele două segmente au, în general, lungimi diferite.

Cilindru sau con? Comparație

Cilindrul și conul circular drept: diferențele esențiale.
Criteriu	Cilindru	Con
Numărul de baze	Două, congruente și paralele	Una singură
Vârf	Nu are	Are, unic $V$
Generatoarea	Paralelă cu axa; egală cu înălțimea $h$	Unește vârful cu un punct de pe cerc; lungime $g$ cu $g^2 = r^2 + h^2$
Figura plană rotită	Dreptunghi	Triunghi dreptunghic
Desfășurarea suprafeței laterale	Dreptunghi (laturi $h$ și $2\pi r$	Sector de cerc (rază $g$ arc $2\pi r$

Amândouă sunt corpuri rotunde, obținute prin rotația unei figuri plane în jurul unei axe, și amândouă au cel puțin o bază circulară și o suprafață laterală curbă. Diferența esențială este numărul de baze: cilindrul are două, conul are una singură și, în plus, un vârf.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ce corp obții rotind un dreptunghi

Ce corp geometric obții rotind complet un dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui?

Vezi rezolvarea

Un cilindru circular drept. Latura în jurul căreia se rotește devine axa; latura opusă mătură suprafața laterală; celelalte două laturi (perpendiculare pe axă) mătură cele două baze circulare.

Exemplul 2: ce corp obții rotind un triunghi dreptunghic

Ce corp geometric obții rotind complet un triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete?

Vezi rezolvarea

Un con circular drept. Cateta în jurul căreia se rotește devine axa (și înălțimea); cealaltă catetă mătură baza circulară; ipotenuza mătură suprafața laterală și devine generatoarea.

Exemplul 3: elementele cilindrului din figură

Care sunt bazele, axa și o generatoare ale cilindrului $OO'$ din figura din secțiunea „Cilindrul circular drept: elemente”?

Vezi rezolvarea

Bazele sunt cele două cercuri, cu centrele $O$ și $O'$ și raza $r$

Axa este dreapta $OO'$ O generatoare este segmentul $AA'$ paralel cu axa.

Exemplul 4: generatoarea cilindrului, cunoscând înălțimea

Un cilindru circular drept are înălțimea $h = 5$ cm. Cât este lungimea unei generatoare?

Vezi rezolvarea

La cilindrul drept, orice generatoare este paralelă cu axa și are exact lungimea înălțimii: generatoarea are $5$ cm.

Exemplul 5: elementele conului din figură

Care sunt baza, vârful și o generatoare ale conului din figura din secțiunea „Conul circular drept: elemente”?

Vezi rezolvarea

Baza este cercul de centru $O$ și rază $r$ Vârful este $V$

O generatoare este segmentul $VA$ unde $A$ este un punct de pe cercul bazei.

Exemplul 6: generatoarea conului, cunoscând raza și înălțimea

Un con circular drept are raza $r = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează generatoarea.

Vezi rezolvarea

g^2 = r^2 + h^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

g = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

Exemplul 7: înălțimea conului, cunoscând raza și generatoarea

Un con circular drept are raza $r = 6$ cm și generatoarea $g = 10$ cm. Calculează înălțimea.

Vezi rezolvarea

h^2 = g^2 - r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64

h = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}

Exemplul 8: raza conului, cunoscând înălțimea și generatoarea

Un con circular drept are înălțimea $h = 12$ cm și generatoarea $g = 13$ cm. Calculează raza.

Vezi rezolvarea

r^2 = g^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25

r = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

Exemplul 9: lățimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului

Un cilindru circular drept are raza $r = 5$ cm. Calculează lățimea dreptunghiului din desfășurarea lui.

Vezi rezolvarea

Lățimea dreptunghiului lateral este lungimea cercului bazei, $2\pi r$

2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \text{ cm}

Exemplul 10: raza cilindrului, cunoscând lățimea dreptunghiului

Desfășurarea unui cilindru are un dreptunghi lateral cu lățimea $12\pi$ cm. Calculează raza cilindrului.

Vezi rezolvarea

2\pi r = 12\pi \Rightarrow r = 6 \text{ cm}

Exemplul 11: unghiul sectorului din desfășurarea conului

Un con circular drept are raza $r = 3$ cm și generatoarea $g = 9$ cm. Calculează unghiul sectorului din desfășurare.

Vezi rezolvarea

Unghiul sectorului se calculează din raportul dintre rază și generatoare.

\theta = \dfrac{r}{g} \cdot 360° = \dfrac{3}{9} \cdot 360° = 120°

Exemplul 12: raza conului, cunoscând unghiul sectorului

Desfășurarea unui con circular drept este exact un semicerc $180°$ de rază $g = 8$ cm. Calculează raza bazei conului.

Vezi rezolvarea

\theta = \dfrac{r}{g} \cdot 360° \Rightarrow 180° = \dfrac{r}{8} \cdot 360°

r = \dfrac{180 \cdot 8}{360} = 4 \text{ cm}

Exemplul 13: corectarea unei confuzii cilindru–prismă

Un coleg spune: „Cilindrul este o prismă cu foarte multe laturi la bază.” Ce e corect și ce e greșit în afirmația asta?

Vezi rezolvarea

Corect: analogia cu generatoarele, care sunt paralele cu axa și congruente, la fel ca muchiile laterale ale unei prisme drepte.

Greșit: baza cilindrului este un cerc, nu un poligon, iar suprafața lui laterală este curbă, nu formată din dreptunghiuri plane. Cilindrul nu este, de fapt, o prismă, oricâte laturi „ai imagina” la bază.

Greșeli frecvente

„Cilindrul și conul au muchii, la fel ca prisma și piramida.”
Fals. Suprafața lor laterală este curbă, nu formată din poligoane plane, deci nu are muchii. Doar cercurile bazelor le mărginesc.
„La cilindrul circular drept, generatoarea nu are legătură cu înălțimea.”
Fals. La cilindrul drept, orice generatoare este paralelă cu axa și are exact lungimea înălțimii $h$
„Generatoarea unui con unește vârful cu orice punct din interiorul bazei.”
Nu. Generatoarea unește vârful $V$ doar cu un punct de PE cercul bazei, nu cu un punct oarecare din interiorul discului.
„Lățimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului este diametrul bazei.”
Nu. Este lungimea cercului bazei, $2\pi r$ nu diametrul $2r$
„Raza sectorului din desfășurarea conului este raza bazei conului.”
Nu. Raza sectorului este generatoarea $g$ a conului, nu raza $r$ a bazei; cele două au, în general, lungimi diferite.
„Unghiul sectorului din desfășurarea conului poate fi orice unghi, ales liber.”
Nu. Unghiul este determinat exact de raportul dintre rază și generatoare: $\theta = \dfrac{r}{g}\cdot 360°$
„Cilindrul este un caz particular de prismă.”
Nu. Prisma are baze poligonale și fețe laterale plane; cilindrul are baze circulare și o suprafață laterală curbă. Analogia (generatoare paralele cu axa) nu îl face o prismă.
„Conul este un caz particular de piramidă.”
Nu, din același motiv: piramida are baza un poligon și fețe laterale plane triunghiulare; conul are baza un cerc și o suprafață laterală curbă.

Exerciții

Ușor

Cum se numește dreapta fixă în jurul căreia se rotește o figură pentru a obține un corp rotund?
Arată răspunsul
Răspuns: Axa (de rotație).
Câte baze are un cilindru circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Două.
Câte baze are un con circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Una.
Cum se numește punctul comun tuturor generatoarelor unui con?
Arată răspunsul
Răspuns: Vârful (apexul).
La cilindrul circular drept, generatoarea este egală cu care element al cilindrului?
Arată răspunsul
Răspuns: Cu înălțimea.
Ce figură plană, rotită în jurul unei laturi, dă un cilindru circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un dreptunghi.
Ce figură plană, rotită în jurul unei catete, dă un con circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un triunghi dreptunghic.
Din ce este formată desfășurarea unui cilindru circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un dreptunghi și două cercuri congruente.
Din ce este formată desfășurarea unui con circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un sector de cerc și un cerc.
Cilindrul are muchii, la fel ca o prismă. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Suprafața laterală a cilindrului este curbă, nu formată din fețe plane, deci nu are muchii.

Mediu

Un con circular drept are raza $r = 20$ cm și înălțimea $h = 21$ cm. Calculează generatoarea.
Arată răspunsul
Răspuns: $g = 29$ cm.
$g^2 = r^2 + h^2 = 400 + 441 = 841$ deci $g = 29$ cm.
Un con circular drept are generatoarea $g=26$ cm și raza $r=10$ cm. Calculează înălțimea.
Arată răspunsul
Răspuns: $h=24$ cm.
$h^2=g^2-r^2=676-100=576$ deci $h=24$ cm.
Un con circular drept are generatoarea $g = 17$ cm și înălțimea $h = 15$ cm. Calculează raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 8$ cm.
$r^2 = g^2 - h^2 = 289 - 225 = 64$ deci $r = 8$ cm.
Un cilindru circular drept are raza $r = 4$ cm. Calculează lungimea dreptunghiului din desfășurarea lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $8\pi$ cm.
Lungimea dreptunghiului este $2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi$ cm.
Desfășurarea unui cilindru are un dreptunghi lateral cu lățimea $20\pi$ cm. Calculează raza cilindrului.
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 10$ cm.
$2\pi r = 20\pi \Rightarrow r = 10$ cm.
Un con circular drept are raza $r = 5$ cm și generatoarea $g = 18$ cm. Calculează unghiul sectorului din desfășurare.
Arată răspunsul
Răspuns: $100°$
$\theta = \dfrac{r}{g}\cdot 360° = \dfrac{5}{18}\cdot 360° = 100°$
Câte generatoare are un con circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: O infinitate: câte una pentru fiecare punct al cercului bazei.
Fiecare punct al cercului bazei, unit cu vârful, dă o generatoare, iar cercul are o infinitate de puncte.
Un elev spune: „Desfășurarea conului este formată din două cercuri.” Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Este formată dintr-un sector de cerc (suprafața laterală) și un singur cerc (baza).
Ce fel de triunghi formează raza, înălțimea și generatoarea unui con circular drept, și ce relație există între ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Un triunghi dreptunghic; $g^2 = r^2 + h^2$ (teorema lui Pitagora).
De ce sunt toate generatoarele unui con circular drept congruente între ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că vârful se proiectează exact în centrul bazei, deci fiecare generatoare este ipotenuza aceluiași triunghi dreptunghic, cu aceleași catete $r$ și $h$

Provocare

Un con circular drept are raza $r = 9$ cm și generatoarea $g = 15$ cm. Calculează înălțimea și unghiul sectorului din desfășurare.
Arată răspunsul
Răspuns: $h = 12$ cm; unghiul este $216°$
$h^2 = 225 - 81 = 144 \Rightarrow h = 12$ cm. $\theta = \dfrac{9}{15}\cdot 360° = 216°$
Un cilindru circular drept are înălțimea egală cu diametrul bazei $h = 2r$ și raza $r = 5$ cm. Calculează dimensiunile dreptunghiului din desfășurarea lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $10\pi$ cm și $10$ cm.
Lățimea este $2\pi r = 10\pi$ cm; înălțimea dreptunghiului este $h = 2r = 10$ cm.
Desfășurarea laterală a unui con este un sector de $240°$ cu raza $g=6$ cm. Calculează raza bazei conului.
Arată răspunsul
Răspuns: $r=4$ cm.
$240°=\dfrac{r}{6}\cdot360° \Rightarrow r=\dfrac{240 \cdot 6}{360}=4$ cm.
Un elev spune că desfășurarea unui cilindru sau a unui con poate fi formată numai din poligoane. De ce nu este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că bazele sunt cercuri, iar cercul nu este poligon. Desfășurarea cilindrului conține două cercuri, iar a conului un cerc și un sector de cerc.
Un con circular drept are generatoarea $g = 20$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează raza bazei și unghiul sectorului din desfășurare.
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 16$ cm; unghiul este $288°$
$r^2 = 400 - 144 = 256 \Rightarrow r = 16$ cm. $\theta = \dfrac{16}{20}\cdot 360° = 288°$
Un con circular drept are unghiul sectorului din desfășurare $90°$ și generatoarea $g = 8$ cm. Află raza bazei conului.
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 2$ cm.
$90° = \dfrac{r}{8}\cdot 360° \Rightarrow \dfrac{r}{8} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow r = 2$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce corp obții rotind complet un pătrat cu latura de $5$ cm în jurul uneia dintre laturile lui?
1. un cilindru cu raza $5$ cm și înălțimea $5$ cm
2. un con cu raza $5$ cm
3. un cub cu muchia $5$ cm
4. un cilindru cu raza $10$ cm și înălțimea $5$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: un cilindru cu raza $5$ cm și înălțimea $5$ cm
Pătratul este un dreptunghi: latura de rotație devine axa (înălțimea $5$ cm), iar latura perpendiculară pe ea devine raza $5$ cm).
2. Un triunghi dreptunghic cu catetele de $2$ cm și $7$ cm se rotește complet în jurul catetei de $2$ cm. Ce rază și ce înălțime are conul obținut?
Arată răspunsul
Răspuns: Raza $7$ cm, înălțimea $2$ cm.
Cateta de rotație devine înălțimea $2$ cm), iar cealaltă catetă mătură baza, deci devine raza $7$ cm), chiar dacă e mai lungă.
3. Un con circular drept are raza bazei $11$ cm. Ce arie are baza lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $121\pi$ cm².
Conul are o singură bază, un disc de rază $11$ cm: $\pi\cdot11^2 = 121\pi$ cm².
4. Ce reprezintă o generatoare a unui cilindru circular drept?
1. Raza bazei
2. Diametrul bazei
3. Un segment paralel cu axa, care unește un punct al unei baze cu punctul corespunzător al celeilalte
4. Înălțimea unui triunghi
Arată răspunsul
Răspuns: Un segment paralel cu axa, care unește un punct al unei baze cu punctul corespunzător al celeilalte
Generatoarea este paralelă cu axa, congruentă cu ea și congruentă cu înălțimea, la cilindrul drept.
5. Suprafața laterală a unui cilindru cu raza $3$ cm și înălțimea $5$ cm se desfășoară într-un dreptunghi. Ce dimensiuni are dreptunghiul?
Arată răspunsul
Răspuns: $6\pi$ cm pe $5$ cm.
O latură este lungimea cercului bazei, $2\pi\cdot3 = 6\pi$ cm, iar cealaltă este înălțimea, $5$ cm.
6. Un cilindru circular drept are raza $4$ cm și înălțimea $9$ cm. Cât are o generatoare?
1. $4$ cm
2. $8$ cm
3. $9$ cm
4. $13$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cm
Generatoarea este paralelă cu axa și are lungimea înălțimii: $9$ cm. Raza nu intervine.
7. Rotești complet dreptunghiul $ABCD$ cu $AB = 7$ cm și $BC = 2$ cm, în jurul laturii $AB$ Ce rază are cilindrul obținut?
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cm.
$AB$ devine axa (înălțimea de $7$ cm), iar $BC$ perpendiculară pe axă, mătură baza: raza este $2$ cm.
8. Un con circular drept are raza $12$ cm și generatoarea $37$ cm. Cât este înălțimea?
Arată răspunsul
Răspuns: $35$ cm.
Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic: $h = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$ cm.
9. Care este lungimea laturii dreptunghiului din desfășurarea cilindrului, egală cu lungimea cercului bazei?
Arată răspunsul
Răspuns: $2\pi r$

Întrebări frecvente

Ce este, pe scurt, un corp rotund?

Un corp geometric obținut prin rotirea completă a unei figuri plane în jurul unei drepte fixe, axa de rotație. Cilindrul se obține din rotația unui dreptunghi, conul din rotația unui triunghi dreptunghic.

Care este diferența esențială dintre cilindru și con?

Cilindrul are două baze congruente și paralele, fără vârf. Conul are o singură bază și un vârf (apex), comun tuturor generatoarelor.

De ce sunt toate generatoarele unui cilindru sau con circular drept congruente?

Pentru că axa este perpendiculară pe planul (planele) bazei și trece exact prin centrul ei: la cilindru, fiecare generatoare este paralelă cu axa (lungime $h$ la con, fiecare generatoare este ipotenuza aceluiași triunghi dreptunghic, cu catetele $r$ și $h$

Cum știu ce relație leagă raza, înălțimea și generatoarea unui con?

Sunt laturile unui triunghi dreptunghic $VOA$ dreptunghic în $O$ $g^2 = r^2 + h^2$ unde $g$ este generatoarea, $r$ raza și $h$ înălțimea.

De ce lățimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului este

2\pi r

și nu

2r

Pentru că, la pliere, acea latură trebuie să „închidă” exact cercul bazei, deci lungimea ei este egală cu lungimea cercului, $2\pi r$ nu cu diametrul lui, $2r$

De ce nu se calculează aici aria sau volumul acestor corpuri?

Pentru că această lecție se oprește la elemente și desfășurări. Aria și volumul cilindrului și ale conului au propria lor lecție, mai târziu, în modulul de arii și volume.

Ai terminat lecția

Cilindrul și conul circular drept

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Cilindrul și conul circular drept

Ce vei învăța

Ideea de bază

Corpuri rotunde: obținute prin rotație

Cilindrul circular drept: elemente

Conul circular drept: elemente

Desfășurarea cilindrului

Desfășurarea conului

Cilindru sau con? Comparație

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ce corp obții rotind un dreptunghi

Exemplul 2: ce corp obții rotind un triunghi dreptunghic

Exemplul 3: elementele cilindrului din figură

Exemplul 4: generatoarea cilindrului, cunoscând înălțimea

Exemplul 5: elementele conului din figură

Exemplul 6: generatoarea conului, cunoscând raza și înălțimea

Exemplul 7: înălțimea conului, cunoscând raza și generatoarea

Exemplul 8: raza conului, cunoscând înălțimea și generatoarea

Exemplul 9: lățimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului

Exemplul 10: raza cilindrului, cunoscând lățimea dreptunghiului

Exemplul 11: unghiul sectorului din desfășurarea conului

Exemplul 12: raza conului, cunoscând unghiul sectorului

Exemplul 13: corectarea unei confuzii cilindru–prismă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a