Operația de raționalizare a numitorului unei fracții, exprimat printr-un număr irațional de forma \(a\sqrt{b}\) sau \(a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}\), \(a,c\in \mathbb{Q^{*}}\), \(b,d\in \mathbb{Q^{*}_{+}}\) este operația în urma căreia, prin amplificarea fracției cu un factor, numitorul obținut se transformă într-un număr rațional.
Se deosebesc două cazuri:
- Raționalizarea numitorului de forma \(a\sqrt{b}\), \(a\in \mathbb{Q^{*}}\), \(b\in \mathbb{Q^{*}_{+}}\).
Aplicăm regula:
\(^{\sqrt{b})}\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{ab}\), \(a\in \mathbb{Q^{*}}\), \(b\in \mathbb{Q^{*}_{+}}\)
Exemple:
\(^{\sqrt{3})}\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\)
\(^{\sqrt{6})}\frac{-24}{2\sqrt{6}}=-\frac{24\sqrt{6}}{12}=-2\sqrt{6}\)
- Raționalizarea numitorului de forma \(a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}\), \(a,c\in \mathbb{Q^{*}}\), \(b,d\in \mathbb{Q^{*}_{+}}\)
În acest caz folosim formula \(\left( a+b \right)\left( a-b \right)=a^{2}-b^{2}\), iar numitorul devine un număr rațional.
Exemple:
\(^{\sqrt{6}+\sqrt{2})}\frac{12}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{12\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}=\)
\(=\frac{12\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}{6-2}=\frac{12\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}{4}=\)
\(=3\left(\sqrt{6}+\sqrt{2} \ \right)\)