Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect
Numărul natural \(x\) se numește pătrat perfect dacă există numărul întreg \(a\) cu proprietatea că \(x^{2}=a\), unde \(a\in \mathbb{Z}\). Citim „rădăcina pătrată a lui \(x\) este egală cu \(a\) sau radical din \(x\) este egal cu \(a\)”. Numărul natural \(a\) se mai numește și radicalul de ordinul 2 al numărului \(x\).
Numărul \(\left| a \right|\) se numește rădăcina pătrată a numărului \(x\) și se notează cu \(\sqrt{a}\).
Observații:
Dacă \(x\) este un număr natural nenul, pătrat perfect, atunci există două numere distincte al căror pătrat este \(x\), și anume \(\sqrt{a}\) și \(-\sqrt{a}\). Evident că numai unul dintre ele este număr natural. De aceea, dacă \(a\in \mathbb{Z}\), atunci \(x^{2}=\left| a \right|\).
- \(x=a^{2}\) implică \(\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}}=\left| a \right|\)
- Dacă \(x\ge 0\), atunci \(\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}}=a\)
- Dacă \(a\in \mathbb{N}\) și \(a^*\), atunci \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Exemple:
\(\sqrt{100}=\sqrt{10^{2}}=\left| 10 \right|=10\)
\(\sqrt{64}=\sqrt{\left( -8 \right)^{2}}=\left| -8 \right|=8\)
\(\sqrt{25x^{2}y^{4}}=\sqrt{\left( 5xy^{2}\right)^{2}}=\left| 5xy^{2} \right|=5y^{2}\left| x \right|\)
Rădăcina pătrată a primelor 30 de numere naturale nenule
| \(1^{2}=1\) | \(\sqrt{1}=1\) |
| \(2^{2}=4\) | \(\sqrt{4}=2\) |
| \(3^{2}=9\) | \(\sqrt{9}=3\) |
| \(4^{2}=16\) | \(\sqrt{16}=4\) |
| \(5^{2}=25\) | \(\sqrt{25}=5\) |
| \(6^{2}=36\) | \(\sqrt{36}=6\) |
| \(7^{2}=49\) | \(\sqrt{49}=7\) |
| \(8^{2}=64\) | \(\sqrt{64}=8\) |
| \(9^{2}=81\) | \(\sqrt{81}=9\) |
| \(10^{2}=100\) | \(\sqrt{100}=10\) |
| \(11^{2}=121\) | \(\sqrt{121}=11\) |
| \(12^{2}=144\) | \(\sqrt{144}=12\) |
| \(13^{2}=169\) | \(\sqrt{169}=13\) |
| \(14^{2}=196\) | \(\sqrt{196}=14\) |
| \(15^{2}=225\) | \(\sqrt{225}=15\) |
| \(16^{2}=256\) | \(\sqrt{256}=16\) |
| \(17^{2}=289\) | \(\sqrt{289}=17\) |
| \(18^{2}=324\) | \(\sqrt{324}=18\) |
| \(19^{2}=361\) | \(\sqrt{361}=19\) |
| \(20^{2}=400\) | \(\sqrt{400}=20\) |
| \(21^{2}=441\) | \(\sqrt{441}=21\) |
| \(22^{2}=484\) | \(\sqrt{484}=22\) |
| \(23^{2}=529\) | \(\sqrt{529}=23\) |
| \(24^{2}=576\) | \(\sqrt{576}=24\) |
| \(25^{2}=625\) | \(\sqrt{625}=25\) |
| \(26^{2}=676\) | \(\sqrt{676}=26\) |
| \(27^{2}=729\) | \(\sqrt{729}=27\) |
| \(28^{2}=784\) | \(\sqrt{784}=28\) |
| \(29^{2}=841\) | \(\sqrt{841}=29\) |
| \(30^{2}=900\) | \(\sqrt{900}=30\) |
Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ
Numărul rațional nenegtiv \(a\) se numește rădăcina pătrată a unui număr nenegativ \(x\) dacă \(a^{2}=x\). Notăm \(\sqrt{x}=a\).
Exemple:
\[\sqrt{\frac{25 }{49}}=\frac{5 }{7}\]
\[\sqrt{\left( \frac{2}{5} \right)^{2}}=\frac{2 }{5}\]
\[\sqrt{\left( -\frac{3}{7} \right)^{2}}=\left|- \frac{3 }{7} \right|=\frac{3}{7}\]
Dacă numărul rațional pozitiv este scris sub formă de fracție zecimală finită, atunci extragerea rădăcinii pătrate se face folosind următoarele tehnici:
- Se scrie fracția zecimală sub forma ordinară
- Se extrage rădăcina pătrată ca la numerelor naturale, cu deosebirea că gruparea cifrelor două câte două se face începând de la virgulă spre stânga și spre dreapta, ultima grupă spre dreapta completându-se cu un zero dacă este formată dintr-o singura cifră, iar când ajunge în dreptul virgulei, se scrie virgula la rezultat.
Exemplu:
\[\sqrt{2,25}=\sqrt{\left( \frac{225}{100} \right) } =\sqrt{\left( \frac{15}{10} \right)^{2}}=\frac{15 }{10}=\frac{3}{2}=1,5\]
Proprietăți:
- \(\sqrt{x}\ge 0\), pentru orice \(x\in \mathbb{Q}_{+}\);
- \(\left( \sqrt{x} \right)^{2}= x\), pentru orice \(x\in \mathbb{Q}_{+}\);
- \(\sqrt{{x}^{2}}= \left| x \right|\), pentru orice \(x\in \mathbb{Q}\)
Exemple:
\[\sqrt{\frac{16}{9}}=\left( \frac{4}{3} \right)^{2}=\frac{4}{3}\]
\[\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}\]
\[\sqrt{1,69}=1,3\]