Numere iraționale
Numerele care au partea zecimală infinită și neperiodică se numesc numere iraționale.
Dacă \(p\in \mathbb{N}^*\) și \(p\) nu este pătrat perfect, atunci \(\sqrt{p}\) este număr irațional.
Exemple:
\(\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{11},\sqrt{17}\)
Mulțimea numerelor reale
Reuniunea mulțimii numerelor iraționale cu mulțimea numerelor raționale este mulțimea numerele reale. Se notează cu \( \mathbb{R}\) mulțimea numerele reale și cu \( \mathbb{R}/\mathbb{Q}\) mulțimea numerele iraționale.
Avem șirul de incluziuni: \( \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\)
\({\mathbb{R}_+} = \left\{ x\in \mathbb{R}|x\gt 0 \right\}\)
\({\mathbb{R}_-}= \left\{ x\in \mathbb{R}|x\lt 0 \right\}\)
\(\mathbb{R}= {\mathbb{R}_+} \cup \left\{ 0 \right\}\cup {\mathbb{R}_-}\)
\(\mathbb{R}^*=\mathbb{R}- \left\{ 0 \right\}\)
Observații:
- Orice număr rațional este un număr real.
- Orice număr irațional este un număr real.
- Un număr nu poate fi simultan și rațional și rațional.
- Orice număr irațional poate fi scris în mod unic sub forma unei fracții zecimale infinite și neperiodice.
Modulul unui număr real
Modulul unui număr real este
\[|x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & \text{daca } \ x \geq 0 \\
-x & \text{daca } \ x < 0
\end{array} \right.\]
\(\left| x \right|\ge 0\), oricare ar fi \(x\in R\)
\(\left| x \right|=\left| -x \right|\), oricare ar fi \(x\in R\)
Reprezentarea pe axă a numerelor reale
Numim axă a numerelor reale o dreaptă, cu un punct fix numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură.
Oricărui număr real îi corespunde un singur punct pe axa numerelor și, reciproc, oricărui punct de pe axa numerelor îi corespunde un singur număr real.
Numerele iraționale se reprezintă pe axă în două moduri:
- Prin aproximare cu numere zecimale
- Prin utilizarea compasului și a construcției următoare:
Aproximarea și rotunjirea numerelor reale
Fie \(x\) și \(y\) două numere reale astfel încât \(x\) este la stânga lui \(y\) pe axa numerelor.
Spunem că \(x\) este mai mic decât \(y\) și scriem \(x\lt y\) sau spunem că \(y\) este mai mare decât \(x\) și scriem \(y\gt x\). Dacă \(x\lt y\) sau \(x\)=\(y\), spunem că \(x\) este mai mic sau egal cu \(y\) și scriem \(x\le y\) sau că \(y\) este mai mare sau egal cu \(x\) și scriem \(y\ge x\).
Dacă \(\left| x \right|\lt \left| y \right|\), atunci \(\sqrt{\left| x \right|}\lt \sqrt{\left| y \right|}\) și reciproc.
Partea întreagă a unui număr real \(x\), notată \([x]\), este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu \(x\).
Diferența \(x-[x]\) se numește partea fracționară a lui \(x\), notată \({x}\).
Exemple:
\([5,24]=5\)
\([-2,35]=-3\)
\(\left\{6,35\right\}=6,35-6=0,35\)
\(\left\{-3,75\right\}= -3,75-(-4)=-3,75+4=0,25\)