Ne amintim că media aritmetică a două numere reale pozitive \(a\) și \(b\) este \(m_{a}=\frac{a+b}{2}\).
Formula generală este \(m_{a}=\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n},n\in \mathbb{N}\) și \(n\ge 2\).
Media aritmetică ponderată a numerelor
\(a_{1},a_{2},…,a_{n}\) cu ponderile \(p_{1},p_{2},…,p_{n}\) este
\(m_{ap}=\frac{a_{1}\cdot p_{1}+a_{2}\cdot p_{2}+…+a_{n}\cdot p_{n}}{p1+p_{2}+…+p_{n}},\) \(n\in \mathbb{N},n\ge 2\)
Media geometrică sau media proporțională a două numere nenegative este egală cu rădăcina pătrată din produsul lor:
\(a,b\gt 0\) atunci \(m_{g}=\sqrt{a\cdot b}\)
Dacă \(0\lt a\le b\Rightarrow a\le m_{g}\le b\).
Observații:
- Se numește media armonică a două numere nenegative \(a\) și \(b\), nenule, numărul
\(m_{h}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}\)
- Media pătratică a două numere nenegative \(a\) și \(b\) este
\(m_{p}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)
- dacă \(0\le a\le b\) avem șirul de inegalități:
\(a\le m_{h}\le m_{g}\le m_{a}\le m_{p}\le b\)
și inegalitatea mediilor \(m_{g}\le m_{a}\)
Exemple:
Avem numerele \(25\sqrt{3}\) și \(12\sqrt{3}\)
\(m_{g}=\sqrt{25\sqrt{3}\cdot 12\sqrt{3}}=\)
\(=\sqrt{25\cdot 12\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 36}=\)
\(=5\cdot 6=30\)
Avem numerele 6 și 54
\(m_{a}=\frac{6+54}{2}=\frac{60}{2}=30\)
\(m_{g}=\sqrt{6\cdot 54}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 9}=6\cdot 3=18\)
\(m_{h}=\frac{2\cdot 6\cdot 54}{6+54}=\frac{2\cdot 6\cdot 54}{60}=\frac{2\cdot 54}{10}=10,8\)
Verificare inegalitate
\(6\le 10,8\le 18\le 30\le 54\)