Produsul radicalilor
Dacă \(a\ge 0\) și \(b\ge 0,\) atunci \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\).
Consecință:
\(\left( \sqrt{a} \right)^{n}=\sqrt{a^{n}},n\in \mathbb{N}\).
\(\sqrt{a^{2}}=\left| a \right|,\text{ pentru orice } a\in \mathbb{R}\).
Dacă \(a\gt 0\) și \(b\gt 0,\) atunci \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\), dar nu avem niciodată \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}\). Această egalitate este falsă!
Exemple:
\(\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}\)
\(\sqrt{36}=2\cdot 3\)
6=6.
\(\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}\)
\(\sqrt{13}\neq 2+ 3\)
\(\sqrt{13}\neq 5\)
Câtul radicalilor
Oricare ar fi \[a\ge 0,b\gt 0,\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\text{ sau }\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]
Consecință:
\[\left( \sqrt{\frac{a}{b}} \right)^{n}=\frac{\left( \sqrt{a} \right)^{n}}{\left( \sqrt{b} \right)^{n}},n\in \mathbb{N}\]
Exemple:
\[\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{144}{4}}\]
\[\frac{12}{2}=\sqrt{36}\]
\[6=6\]
Scoaterea factorilor de sub radical
Dacă \(n\ge 0\text{ și }n=a^{2}b\), atunci \(\sqrt{n}=\sqrt{a^{2}b}=\left| a \right|\sqrt{b}\), dacă \(a\gt 0\) și \(\sqrt{n}=-a\sqrt{b}\), dacă \(a\lt 0\).
Exemple:
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}\)
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}\)
Introducerea factorilor sub radical
Dacă \(b\ge 0\), atunci \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}}b\), dacă \(a\gt 0\), și \(a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}\), dacă \(a\lt 0\).
Exemple:
\(2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}\)
\(5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\)
\(-7\sqrt{2}=-\sqrt{7^{2}\cdot 2}=-\sqrt{49\cdot 2}=-\sqrt{98}\)