Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale
Operația de împărțire poate fi privită ca o scădere repetată. Numărul din care se scade se numește deîmpărțit, numărul care se scade se numește împărțitor, iar număr care ne arată de câte ori s-a repetat scăderea, se numește cât
\[\underbrace{a}_\text{deimpartit} :\underbrace{b}_\text{impartitor}=\underbrace{q}_\text{cat}\]
Împărțirea exactă (cu rest zero) este operație inversă înmulțirii. Ca și înmulțirea, împărțirea este o operație de ordinul al doilea. Proba împărțirii exacte se efectuează fie printr-o altă împărțire, fie printr-o înmulțire.
- Proba împărțirii prin altă împărțire: deîmpărțitul : cât = împărțitor
- Proba împărțirii prin înmulțire: deîmpărțitul = cât \(\cdot\) împărțitor
Observație:
Împărțirea la zero nu este posibilă (nu are sens), de aceea se pune condiția ca împărțitorul să fie nenul.
Exemplu:
\(18:3=6\)
\(18:6=3\)
\(18=6\cdot 3\)
Proprietățile împărțirii exacte
Fie numerele naturale \(a,b,m,\) cu \(m\neq 0\). Atunci:
- Dacă \(a=b\) atunci \(a:m=b:m\)
- Dacă \(a\lt b\) atunci \(a:m\lt b:m\)
(aceste proprietăți exprimă faptul că împărțind ambii termeni ai unei egalități / inegalități cu același număr, egalitatea / inegalitatea se păstrează).
Exemple:
\(12:3\lt 18:3\), unde \(12\lt 18\)
\(12:3=4\)
\(18:3=6\)
\(4\lt 6\)
- \(\left( a+b \right):m=a:m+b:m\)
- \(\left( a-b \right):m=a:m-b:m\)
(aceste proprietăți exprimă faptul că împărțirea unei sume/diferențe la același număr natural nenul este distributivă).
Exemple:
\(\left( 12+18 \right):3=12:3+18:3\)
\(30:3=4+6 \Longrightarrow 10=10\)
\(\left( 24-10 \right):2=24:2-10:2\)
\(14:2=12-5 \Longrightarrow 7=7\)
- Dacă \(a=b\) și \(m=n\), atunci \(a:m=b:n\).
- \(0:m=0\).
Împărțirea cu rest a numerelor naturale
Oricare ar fi numerele naturale \(a\) și \(b\), cu \(b\neq 0\), există numerele naturale \(q\) și \(r\), unic determinate, astfel încât:
\[\underbrace{a}_\text{deimpartitul}=\underbrace{b}_\text{impartitorul}\cdot\underbrace{q}_\text{catul}+\underbrace{r}_\text{restul}\]
unde \(r\lt b\).
Exemplu:
Fie numerele \(32\) și \(6\), există și sunt unice numerele naturale \(5\) și \(2\), astfel încât să avem:
\(32=6\cdot 5+2\)
\(32=30+2\)
\(32=32\)
Algoritmul de împărțire
1. Împărțitorul are o singură cifră
Exemplu:
Calculați câtul și restul împărțirii lui 17290 la 5.
Pasul 1: \(5\) nu se cuprinde în \(1\)
Pasul 2: \(5\) se cuprinde în \(17\) de \(3\) ori
Verificăm prin înmulțire, scădere și compararea câtului cu împărțitorul:
\(5\cdot 3=15\), \(17-15=2\), \(2\lt 5\).
Pasul 3: transformăm restul de mii în sute
\(20+2=22\) (de sute);
\(5\) se cuprinde în \(22\) de \(4\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(5\cdot 4=20\), \(22-20=2\), \(2\lt 5\)
Pasul 4: Transformăm restul de sute în zeci
\(20+9=29\) (de zeci);
\(5\) se cuprinde în \(29\) de \(5\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(5\cdot 5=25\), \(29-25=4\), \(4\lt 5\).
Pasul 5: transformăm restul de zeci în unități
\(40+0=40\) (de unități);
\(5\) se cuprinde în \(40\) de \(8\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(5\cdot 8=40\), \(40-40=0\), \(0\lt 5\).
Prin urmare, câtul împărțirii lui \(17290\) la \(5\) este \( 3458\), iar \(17290=5\cdot 3458+0\).
Deoarece restul împărțirii este zero, se scrie \(17290:5=3458\).
2. Împărțitorul are două cifre
Exemplu:
Calculați câtul și restul împărțirii lui 82362 la 43.
Pasul 1: \(43\) se cuprinde în \(82\) o singură dată.
Verificăm prin înmulțire, scădere și compararea câtului cu împărțitorul:
\(43\cdot 1=43\), \(82-43=39\), \(39\lt 43\).
Pasul 2: transformăm restul de mii în sute
\(390+3=393\) (de sute);
\(43\) se cuprinde în \(393\) de \(9\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(43\cdot 9=387\), \(393-387=6\), \(6\lt 43\)
Pasul 3: trasformăm restul de sute în zeci
\(60+6=66\) (de zeci);
\(43\) se cuprinde în \(66\) o singură dată.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(43\cdot 1=43\), \(66-43=23\),\(23\lt 43\).
Pasul 4: transformăm restul de zeci în unități
\(230+2=232\) (de unități);
\(43\) se cuprinde în \(230\) de \(5\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(43\cdot 5=215\), \(232-215=17\), \(17\lt 43\).
Prin urmare, câtul împărțirii lui \(82362\) la \(43\) este \(1915\), iar restul este \(17\).
Se scrie: \(82362=43\cdot 1915+17, 17\lt 43\).
3. Împărțitorul are mai mult de două cifre
Exemplu:
Calculați câtul și restul împărțirii lui 32185 la 157.
Pasul 1: \(157\) se cuprinde în \(321\) de \(2\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și compararea câtului cu împărțitorul:
\(157\cdot 2=314\), \(321-314=7\), \(7\lt 157\).
Pasul 2: transformăm sutele în zeci.
\(70+8=78\) (de zeci);
\(157\) nu se cuprinde în \(78\).
Pasul 3: transformăm zecile în unități.
\(780+5=785\) (de unități);
\(157\) se cuprinde în \(785\) de \(5\) ori.
Verificăm prin înmulțire, scădere și comparare:
\(157\cdot 5=785\), \(785-785=0\), \(0\lt 157\).
Prin urmare, câtul împărțirii lui \(32185\) la \(157\) este \(205\), iar restul este zero.
Se scrie \(32185:157=205\).