Pentru a compara două puteri a^{m}\text{ și }b^{n}, unde a, b, m și n sunt numere naturale, se folosesc următoarele reguli:
- Dacă puterile au aceeași bază , este mai mică puterea care are exponentul mai mic.
\[m\lt n\Rightarrow a^{m}\lt a^{n}\]
Exemplu:
\(2\lt 3\Rightarrow 4^{2}\lt 4^{3}\)
\(4^{2}=16\)
\(4^{3}=64\)
\(16\lt 64\)
- Dacă puterile au același exponent, atunci puterea cea mai mică este cea care are baza cea mai mică.
\[a\lt b\Rightarrow a^{m}\lt b^{m}\]
Exemplu:
\(2\lt 3\Rightarrow 2^{2}\lt 3^{2}\)
\(2^{2}=4\)
\(3^{2}=9\)
\(4\lt 9\)
Pentru a compara două puteri care au baze diferite și exponenți diferiți, dacă este posibil, se aduc puterile fie la aceeași bază, fie la același exponent, și apoi se compară după regulile enunțate mai sus.
Exemplu:
\(2^{53}\text{ și }4^{29}\)
\(4^{29}=\left( 2^{2} \right)^{29}=2^{58}\)
\(53\lt 58\)
\(2^{53}\lt 2^{58}\Rightarrow 2^{35}\lt 4^{29}\)
Observație:
În compararea puterilor cu baze și exponenți diferiți, intervin deseori relații precum cele de mai jos, care sunt valabile pentru orice \(k\ge 1\):
- \(8\lt 9\Leftrightarrow 2^{3}\lt 3^{2}\Leftrightarrow 2^{3-k}\lt 3^{2-k}\)
- \(25\lt 27\Leftrightarrow 5^{2}\lt 3^{3}\Leftrightarrow 5^{2-k}\lt 3^{3-k}\)
- \(27\lt 32\Leftrightarrow 3^{3}\lt 2^{5}\Leftrightarrow 3^{3-k}\lt 2^{5-k}\)
- \(121\lt 125\Leftrightarrow 11^{2}\lt 5^{3}\Leftrightarrow 11^{2-k}\lt 5^{3-k}\)
- \(243\lt 256\Leftrightarrow 3^{5}\lt 2^{8}\Leftrightarrow 3^{5-k}\lt 2^{8-k}\)
- \(1000\lt 1024\Leftrightarrow 10^{3}\lt 2^{10}\Leftrightarrow 10^{3-k}\lt 2^{10-k}\)