Oricare ar fi două numere naturale \(a\) și \(b\), există \(s\), număr natural unic, numit suma numerelor \(a\) și \(b\). Notăm:
\[\underbrace{a}_\text{termen al sumei} +\underbrace{b}_\text{termen al sumei}=\underbrace{s}_\text{suma}\]
Operația prin care se obține suma a două numere naturale oarecare se numește adunarea numerelor naturale.
Proprietățiile adunării
1. Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi a, b și c numere naturale, atunci
\(a+(b+c)=(a+b)+c\)
(într-o sumă de mai mulți termeni, rezultatul nu se schimbă dacă asociem (grupăm) termenii diferit).
Exemplu:
\(23+\left( 17+10 \right)=\left( 23+17 \right)+10\)
\(23+27=50\)
sau
\(40+10=50\)
\(a+0=0+a=a\)
(dacă un termen al unei sume este 0, atunci suma este egală cu celălalt termen).Exemplu:
\(21+0=0+21\)
\(21+0=21\)
sau
\(0+21=21\)
3. Adunarea este comutativă, adică oricare ar fi numerele naturale a și b, atunci
\(a+b=b+a\)
(suma nu se schimbă dacă schimbăm ordinea termenilor).
Exemplu:
\(21+9=9+21\)
\(21+9=30\)
sau
\(9+21=30\)
Adunarea numerelor naturale, relația de egalitate „\(=\)” și relația de ordine „\( \le\)” sunt legate prin următoarele proprietăți:
Oricare ar fi numerele \(a, b, c\) și \(d\),
- dacă \(a=b\), atunci \(a+c=b+c\) (o egalitate se păstrează dacă adăugăm același număr fiecărui termen)
- dacă \(a=b\) și \(c=d\), atunci \(a+c=b+d\) (egalitățile pot fi adunate termen cu termen)
- dacă \(a\le b\), atunci \(a+c\le b+c\) (o inegalitate se păstrează dacă adăugam același număr fiecărui termen)
- dacă \(a\le b\) și \(c\le d\), atunci \(a+c\le b+d\) (inegalitățile de același tip pot fi adunate termen cu termen)
Observație:
Inegalitățile \(a\le b\) și \(c\ge d\) nu pot fi adunate deoarece nu sunt de același tip.
Suma primelor n numere naturale nenule. Suma lui Gauss
Teoremă:
Pentru orice număr natural \(n\ge 1\) are loc egalitatea:
\[1+2+3+…+\left( n-1 \right)+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\]
Explicație
Dacă notăm cu S suma primelor n numere naturale nenule, avem:
\[S=1+2+3+…+\left( n-2 \right)+\left( n-1 \right)+n\]
\[S=n+\left( n-1 \right)+\left( n-2 \right)+…3++2+1\]
Dacă adunăm membru cu membru cele două relații, obținem:
\[2S=\left( 1+n\right)+\left( 2+n-1 \right)+\left( 3+n-2 \right)+…+\left( n-1+2 \right)+\left( n+1 \right)\]
adică
\[2S=\underbrace{\left( n+1 \right)+\left( n+1 \right)\left( n+1 \right)+…+\left( n+1 \right)}_\text{n paranteze}=n\left( n+1 \right)\]
Teoremă:
Pentru orice număr natural \(n\ge 1\) are loc egalitatea:
\[1+2+3+…+\left( n-1 \right)+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\]
Explicație
Dacă notăm cu S suma primelor n numere naturale nenule, avem:
\[S=1+2+3+…+\left( n-2 \right)+\left( n-1 \right)+n\]
\[S=n+\left( n-1 \right)+\left( n-2 \right)+…3++2+1\]
Dacă adunăm membru cu membru cele două relații, obținem:
\[\displaylines{2S=\left(1+n\right)+\left( 2+n-1 \right)+\left( 3+n-2 \right)+…\\+\left( n-1+2 \right)+\left( n+1 \right)}\]
adică
\[\displaylines{2S=\underbrace{\left( n+1 \right)+\left( n+1 \right)\left( n+1 \right)+…+\left( n+1 \right)}_\text{n paranteze}\\
=n\left( n+1 \right)}\]
Exemplu:
Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 99
\[S=1+2+3+…+97+98+99\]
\[S=99+98+97+…+3+2+1\]
\[2S=\left( 1+99 \right)+\left( 2+98 \right)+\left( 3+97 \right)+…+(97+3)+\left( 98+2 \right)+\left( 99+1 \right)\]
\[2S=\underbrace{100+100+100+…+100+100+100}_\text{de 99 ori}=99\cdot 100\]
\[S=\frac{99\cdot 100}{2}=99\cdot 50=4950\]
Exemplu:
Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 99
\[S=1+2+3+…+97+98+99\]
\[S=99+98+97+…+3+2+1\]
\[\displaylines{2S=\left( 1+99 \right)+\left( 2+98 \right)+\left( 3+97 \right)+…\\+(97+3)+\left( 98+2 \right)+\left( 99+1 \right)=}\]
\[\displaylines{=\underbrace{100+100+100+…+100+100+100}_\text{de 99 ori}\\=99\cdot 100}\]
\[S=\frac{99\cdot 100}{2}=99\cdot 50=4950\]