Pătratul unui număr natural este rezultatul obținut prin înmulțirea numărului cu el însuși.
Exemplu:
Pătratul numărului \(4\) este \(4\cdot 4=4^{2}=16\)
Pătrate perfecte. Numerele naturale care pot fi scrise ca puterea a doua a unui număr natural se numesc pătrate perfecte.
Exemplu:
\(121=11^{2}\)
\(64=8^{2}\)
Cubul unui număr natural este rezultatul obținut prin înmulțirea numărului cu el însuși de trei ori.
Exemplu:
Cubul numărului \(2\) este \(2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8\)
Cuburi perfecte. Numerele naturale care pot fi scrise ca puterea a treia a unui număr natural se numesc cuburi perfecte.
Exemplu:
\(64=4^{3}\)
\(125=5^{3}\)
Șirul de numere \(0,1,4,9,16,25,36,…\) este șirul \(0^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}, …\) se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte.
Fie \(x\) un număr natural. Notăm cu \(U(x)\) ultima cifră a numărului \(x\).
\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
\(x^{2}\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
\(U\left( x^{2} \right)\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Pentru a afla ultima cifră a unui număr vom ține cont de:
\(U\left( x+y \right)=U\left( U\left( x \right)+U\left( y \right) \right)\)
\(U\left( x\cdot y \right)=U\left( U\left( x \right)\cdot U\left( y \right) \right)\)
\(U\left( x^{n} \right)=U\left[ \left( U\left( x \right) \right) ^{n}\right]\)
Exemple:
\(U\left( 15+23 \right)=U\left( U\left( 5 \right)+U\left( 3 \right) \right)=5+3=8\)
\(15+23=38\)
\(U\left( 38 \right)=8\)
\(8=8\)
\(U\left( 5\cdot 12 \right)=\)
\(=U\left( U\left( 5 \right)\cdot U\left( 12 \right) \right)=\)
\(=U\left( 5\cdot 2 \right)=U\left( 10 \right)=0\)
\(5\cdot 12=60\)
\(U\left( 60 \right)=0\)
\(0=0\)
Observații:
- Orice număr natural scris ca o putere pară este pătrat perfect.
- O putere cu exponent impar este pătrat perfect dacă baza poate fi scrisă ca o putere cu exponentul par.
- O putere cu exponent impar, a cărei bază nu poate fi scrisă ca o putere pară nu este pătrat perfect.
- Produsul a două sau mai multe pătrate perfecte este un pătrat perfect.
- Orice pătrat perfect are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă un număr are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8, atunci nu este pătrat perfect.
- Dacă un număr natural se află între două pătrate perfecte consecutive, atunci numărul nu este pătrat perfect.
Exemple:
\(3^{12}=\left( 3^{6} \right)^{2}\) – este pătrat perfect.
\(4^{3}=\left( 2^{2} \right)^{3}=\left( 2^{3} \right)^{2}\) – este pătrat perfect.
\(8^{7}=\left( 2^{3} \right)^{7}=2^{21}\) – nu este pătrat perfect.
\(25\cdot 121\cdot 49=5^{2}\cdot 11^{2}\cdot 7^{2}=\left( 5\cdot 11\cdot 7 \right)^{2}\) – este pătrat perfect.
\(64\lt 73\lt 81\Leftrightarrow 8^{2}\lt 73\lt 9^{2}\) – numărul 73 nu este pătrat perfect.