Oricare ar fi numerele naturale \(a\) și \(b\), cu \(b\neq 0\), există numerele naturale \(q\) și \(r\), unic determinate, astfel încât:
\[\underbrace{a}_\text{deimpartit} =\underbrace{b}_\text{impartitor}\cdot\underbrace{q}_\text{cat}+\underbrace{r}_\text{rest},\text{ }r\lt b\]
Dacă restul împărțirii lui a la b este zero, atunci se spune ca a se împarte excat la b și se scrie:
\[\underbrace{a}_\text{deimpartit} =\underbrace{b}_\text{impartitor}\cdot\underbrace{q}_\text{cat}\]
Operația prin care se obține câtul a două numere naturale se numește împărțire.
Observații:
- Într-un produs nenul (\(a\cdot b=p,\text{ }p\neq 0\)) se poate pune în evidență, prin împărțire orice factor al produsului:
\[a=p:b,\text{ }b=p:a\]
Cele trei egalitați sunt echivalente (din oricare rezultă celelalte două):
\[a\cdot b=p\Leftrightarrow a=p:b\Leftrightarrow b=p:a\]
- Într-un cât \(a:b=c,\text{ }a\neq 0,b\neq 0\) se poate pune în evidență:
- deîmpărțitul: \(a=c\cdot b\)
- împărțitorul: \(b=a:c\)
Cele trei egalități sunt echivalente:
\[a:b=c\Leftrightarrow a=c\cdot b\Leftrightarrow b=a:c\]
- În calcule se folosesc parenteze rotunde (mici), drepte (mari) și acolade. Dacă sunt numai operații de înmulțire și împărțire, acestea se fac în ordinea în care sunt scrise.
Exemplu:
\[\left[ \left( 900:3 \right):6 \right]\cdot 4=\left( 300:6 \right)\cdot 4=50\cdot 4=200\]
Observație:
- Împărțirea nu este comutativă.
Exemplu:
\(24:6\neq 6:24\)
\(24:6=4\), iar \(6:24\) nu se poate efectua în mulțimea numerelor reale.
Observație:
- Împărțirea nu este asociativă.
Exemplu:
\(\left( 24:4 \right):2=6:2=3\)
\(24:\left( 4:2 \right)=24:2=12\)
\(3\neq 12\)
Reguli de calcul
- Împărțirea la zero nu are sens, adică nu este definită. De aceea, se pune condiția ca împărțitorul sa fie diferit de zero. Dacă această condiție nu este pusă, atunci ea se subînțelege.
- Oricare ar fi numerele a,b și c nenule, avem:
\(a:a=1\);
\(0:a=0\);
\(a:1=a\);
\(\left( a+b \right):c=a:c+b:c\);
\(\left( a-b \right):c=a:c-b:c\);
dacă \(a=b,\text{ atunci }a:c=b:c\);
dacă \(a:c=b:c\), atunci \(a=b\);
dacă \(a=b\) și \(c=d\), atunci \(a:c=b:d\);
dacă \(a\lt b, \text{atunci }a:c\lt b:c\);
\(a:c\lt b:c, \text{ atunci } a\lt b\);
\(\left( a\cdot b \right):c=a\cdot \left( b:c \right)=b\cdot \left( a:c \right)\);
\(a:\left( b\cdot c \right)=\left( a:b \right):c=\left( a:c \right):b\).